यूक्लिडियन Capacitated सुविधा स्थान समस्या

Question

में capacitated सुविधा स्थान समस्या (CFLP) , हम ग्राहकों का एक सेट दिए गए हैं$C$और संभावित सुविधाओं का एक सेट । प्रत्येक क्लाइंट डिमांड है जिसे एक या अधिक खुली सुविधाओं द्वारा सेवा दी जानी चाहिए। प्रत्येक सुविधा$F$$j \in C$$d_j$$i \in F$ एक प्रारंभिक लागत है $f_i$ और एक क्षमता है $u_i$, जो उस सुविधा की अधिकतम मांग है $i$सेवा कर सकता। ग्राहक की एक इकाई मांग की सेवा की लागत$j$ केंद्र में $i$ है $c_{ij}$। हम सुविधाओं का एक सबसेट खोलना चाहते हैं और ग्राहकों की मांग को खोलना चाहते हैं ताकि वे सभी ग्राहकों की मांगों को पूरा कर सकें, किसी भी तरह की क्षमता का उल्लंघन न हो और सुविधाओं को खोलने और ग्राहकों की सेवा करने की कुल लागत कम से कम हो। सेवा की लागत, गैर-सममित, सममित और त्रिकोण असमानता को संतुष्ट करती है।

अरोरा [ 1 , पृष्ठ 21] में कहा गया है कि "अरोड़ा, राघवन और राव [ 2 ] ज्यामितीय मामले के लिए एक PTAS देते हैं। वे एल्गोरिथ्म को कैपेसिटिव केस में विस्तारित करते हैं लेकिन अंतिम समाधान छोटी राशि द्वारा क्षमता की कमी का उल्लंघन कर सकता है।" उसे "छोटी राशि" से क्या मतलब है? मुझे लगता है कि इसका मतलब है कि वे पीटीएएस देते हैं जो कारक के भीतर क्षमता की कमी का उल्लंघन करता है$(1+\epsilon)$ एक मनमानी के लिए $\epsilon > 0$। क्या यह सही है?

जब मैंने [ 2 ] में देखा, तो मुझे जो एकमात्र संबंधित परिणाम मिला वह ए था$n^{O(\log^2 (n / \epsilon))}$ एक खोजने के लिए समय एल्गोरिथ्म $(1+\epsilon)$Capacitated के लिए -approximate समाधान $k$-समस्या की समस्या जब हमारे पास एक जैसी क्षमता हो। क्या अरोरा [ 1 ] में उपरोक्त परिणाम को संदर्भित करता है ?

[ १ ] एस। अरोड़ा एनपी-हार्ड ज्यामितीय अनुकूलन समस्याओं के लिए लगभग योजनाएं: एक सर्वेक्षण। गणित में। प्रोग्रामिंग, सेर। बी, वॉल्यूम। 97, पीपी 43-69, 2003।

[ २ ] एस। अरोड़ा, पी। राघवन, और एस। राव। यूक्लिडियन के-मेडियंस और संबंधित समस्याओं के लिए लगभग योजनाएं। प्रोक में। कम्प्यूटिंग के सिद्धांत पर 30 वें एसीएम संगोष्ठी, पीपी 106-113, 1998।

Answer 1

अगर मैं सही ढंग से rmemeber करता हूं, तो आपको प्रत्येक गेट से जुड़े क्लाइंट की संख्या का अनुमान लगाना होगा। अन्यथा, आपको तुरंत कुछ ऐसा मिलेगा$O(n^{O(g)})$, कहाँ पे $g$एक उपप्रकार में फाटकों की संख्या है। इस संख्या को अनुमानित करके$(1+\varepsilon/\log n)$ डायनेमिक प्रोग्रामिंग के दौरान एक प्राप्त कर सकते हैं $(1+\varepsilon)$अंत में त्रुटि। यह आपके द्वारा ऊपर बताए गए समय के समान चल रहा है।

Comments

अगर मुझे यह सही लगता है, तो आपका मतलब है कि उनका एल्गोरिथ्म एक QPTAS तक फैला हुआ है $(1+\epsilon)$समान समाई सुविधा स्थान की समस्या के लिए क्षमताओं का उल्लंघन। मुझे आश्चर्य है कि अगर कोई पीटीएएस है$(1+\epsilon)$इस समस्या का उल्लंघन है।

— बाबाक बेहज़ाज़

यह वास्तव में एक दिलचस्प सवाल है। उस समय ऐसा लग रहा था कि कोई ऐसा करने के लिए कोल्लिओपुलोस और राव पेपर का विस्तार कर सकता है।

— सारियल हर-पेलेड

मैं कुछ समय से ऐसा ही सोच रहा था, लेकिन जब मैंने कुछ महीने पहले [कोल्लिओपुलोस-राव-ईएसए 99] के प्रमेय 4 के प्रमाण को फिर से पढ़ा, तो मैंने पाया कि आप उस प्रमेय को एक ब्लैक बॉक्स के रूप में लागू नहीं कर सकते। कारण यह है कि प्रमाण में वे मानते हैं कि कोई ग्राहक को किसी भी खुली सुविधा के लिए असाइन कर सकता है जबकि कैपेसिटिव केस में आप इस संशोधन के साथ क्षमताओं का उल्लंघन कर सकते हैं। इसके आसपास एक सरल तरीका हो सकता है, मैंने इसके बारे में ज्यादा नहीं सोचा है।

— बेबाक बेहज़ाज़