प्रत्येक किनारे को छोटा करने वाले मार्ग

Question

मैं किसी भी संकेत या शर्तों की सराहना करता हूं जो मुझे सही दिशा में शुरू कर सकता है।

हम एक का निर्देशन किया है ग्राफ और लंबाई प्रत्येक बढ़त के लिए कि सकारात्मक माना जा सकता है। वहाँ एक विशेष शुरू नोड और अंत नोड ।$G=(V,E)$$l_{ij}$$ij$$s$$t$

प्रत्येक एज , हम से तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई की गणना करना चाहते हैं, जो एज उपयोग नहीं करता है ।$ij$$s$$t$$ij$

एक सरल जानवर बल एल्गोरिथ्म प्रत्येक किनारे के लिए एक छोटी पथ एल्गोरिथ्म चलाने के लिए है, हर बार मूल ग्राफ से एक अलग किनारे को हटाने। क्या एक अधिक कुशल एल्गोरिथ्म है जो इस तथ्य का लाभ उठाता है कि इस क्रूर बल एल्गोरिथ्म में बार-बार गणना हो रही है?

अग्रिम में धन्यवाद।

Answer 1

आपके द्वारा बताई गई समस्या को "प्रतिस्थापन पथ" कहा जाता है। यहाँ कुछ संदर्भ दिए गए हैं:

1. गॉथिल्फ़ और लेवेनस्टीन, के सरल लघु पथों के लिए बेहतर एल्गोरिदम और प्रतिस्थापन पथ समस्याएं। Inf। प्रोक। पत्र, १० ९ (:): ३५२-३५५, २०० ९। यह पत्र प्रतिस्थापन पथ की समस्या के लिए सबसे सटीक एल्गोरिदम को बताता है, जो समय में चल रहा है।$O(mn+n^2\log\log n)$ के साथ रेखांकन में समय $n$ नोड्स और $m$ किनारों।
2. ए। बर्नस्टीन। सामान्य रेखांकन में प्रतिस्थापन पथ और कश्मीर कम से कम सरल पथ सन्निकटन के लिए लगभग इष्टतम एल्गोरिथ्म। प्रोक में। सोडा, पृष्ठ ODA४२-5५५, २०१०। यह पत्र आश्चर्यजनक रूप से समस्या के लिए एक विलक्षण समय सन्निकटन योजना देता है।
3. जे। हर्शबर्गर, एस। सूरी और ए। भोंसले। कुछ छोटी पथ समस्याओं की कठिनाई पर। प्रोक में। STACS, पृष्ठ 343-354, 2003. यह पत्र दिखाता है कि प्रतिस्थापन पथ की समस्या को हल करने वाले किसी भी पथ-तुलना एल्गोरिथ्म को वास्तव में कम से कम लेना है$\Omega(m\sqrt{n})$ समय।
4. वी। वेसिलवेस्का डब्ल्यू।, आर। विलियम्स पथ, मैट्रिक्स और त्रिभुज समस्याओं के बीच उप-विषयक समीकरण। प्रोक में। FOCS, पृष्ठ 645-654, 2010. हम दिखाते हैं कि यदि आप ए$O(n^{3-\varepsilon})$ किसी भी निरंतर के लिए प्रतिस्थापन पथ के लिए समय सटीक एल्गोरिदम $\varepsilon>0$, तो यह एक में परिवर्तित किया जा सकता है $O(n^{3-\varepsilon'})$ निरंतरता के लिए सभी जोड़े सबसे छोटे रास्तों के लिए समय एल्गोरिथ्म $\varepsilon'>0$। सभी जोड़ों के सबसे छोटे रास्तों के लिए इस तरह का वास्तव में सबकुबिक एल्गोरिथ्म एक लंबे समय से खुली समस्या है।
5. ओ वीमन, आर। यस्टर फास्ट मैट्रिक्स गुणन के माध्यम से प्रतिस्थापन पथ। प्रोक में। एफओसीएस, पेज 655-662, 2010. और वी । वास्सिल्वस्का डब्ल्यू। फास्टर रिप्लेसमेंट पाथ्स। प्रोक में। सोडा, पृष्ठ १३३ODA-१३४६, २०११। ये कागजात बताते हैं कि कैसे तेजी से मैट्रिक्स गुणा का उपयोग करने के लिए अंतराल में पूर्णांक बढ़त भार के साथ रेखांकन में प्रतिस्थापन पथ खोजने के लिए$\{-M,\ldots, M\}$। बाद वाला पेपर सबसे अच्छा ज्ञात रनटाइम देता है,$\tilde{O}(Mn^\omega)$।

Answer 2

यदि आप प्रत्येक किनारे को बीच के सबसे छोटे मार्ग की लंबाई से जोड़ना चाहते हैं $s$ तथा $t$, आप पूरे ग्राफ में सबसे छोटे पथ की गणना के साथ शुरू कर सकते हैं, और प्रत्येक किनारे से संबद्ध कर सकते हैं सबसे कम पथ में नहीं जो आपने अभी वर्तमान सबसे कम पथ की लंबाई की गणना की है। उसके बाद, आपके पास सबसे अधिक है$n-1$ किनारों को छोड़ दिया जिसके लिए आप जवाब नहीं जानते।

Comments

धन्यवाद। मैंने अन्य उत्तर को स्वीकार कर लिया है, क्योंकि यह उस संदर्भ के बारे में अधिक जानकारी देता है जिसकी मुझे तलाश थी, लेकिन मैं संभवत: पहले पास कार्यान्वयन के लिए इस दृष्टिकोण का उपयोग करूंगा।

— dan_x