डिग्री 1 के एन बहुपदों को गुणा करना

समस्या बहुपद गणना करने के लिए है । मान लें कि सभी गुणांक एक मशीन शब्द में फिट होते हैं, अर्थात इकाई समय में हेरफेर किया जा सकता है। $(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n)$

आप एक पेड़ के फैशन में एफएफटी लागू करके समय कर सकते हैं । क्या आप कर सकते हैं ? $O(n \log^2 n)$ $O(n \log n)$

— मिहाई
स्रोत

अच्छा सवाल है, ऐसा लगता है कि मैंने किसी के ब्लॉग में ऐसा ही कुछ देखा है, लेकिन मुझे याद नहीं है कि यह कहाँ था।

— ग्रिगोरी यारोस्लावसेव

: लघु अवलोकन हम जानते हैं कि (क्यू, कहते हैं से अधिक काम कर रहे) n जड़ों

, तो समस्या के बराबर है: यह देखते हुए

, बहुपद की गणना

। (मुझे लगता है।)

α_{i} = - b_{i} / a_{i}

$\alpha_i = -b_i/a_i$

α_{1}, \dots, α_{n}

$\alpha_1, \dots , \alpha_n$

(x - α_{1}) \dots (x - α_{n})

$(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_n)$

— श्रीवत्सआर

क्या आप

परिणाम का संदर्भ दे सकते हैं ?

O (n \log^{2} n)

$O(n\log^2 n)$

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी

जैसा कि @ सुरेश ने उल्लेख किया है, यह एक सरल विभाजन और जीत का दृष्टिकोण है। इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि n polys में अलग-अलग डिग्री

, जिस स्थिति में आप हफ़मैन ट्री फैशन में विभाजित कर सकते हैं। स्ट्रैसन देखें: निरंतर अंशों की कम्प्यूटेशनल जटिलता।

d_{i}

$d_i$

— Zeyu

क्या हम समय

में निरंतर आयाम 2 के

वैक्टर के दृढ़ीकरण की गणना कर सकते हैं ?

n

$n$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— कावेह

चेतावनी: यह अभी पूर्ण उत्तर नहीं है। यदि प्रशंसनीय तर्क आपको असहज करते हैं, तो पढ़ना बंद कर दें।

मैं एक ऐसे संस्करण पर विचार करूंगा, जहां हम जटिल संख्याओं पर गुणा करना चाहते हैं (x - a_1) ... (x - a_n)।

समस्या एन बिंदुओं पर एक बहुपद का मूल्यांकन करने के लिए दोहरी है। हम जानते हैं कि यह बड़ी चतुराई से O (n log n) के समय किया जा सकता है जब अंक एकता की मूल जड़ें होते हैं। यह फास्ट पॉलीएर ट्रांसफॉर्मर को चालू करने वाले नियमित बहुभुज के समरूपता का आवश्यक लाभ उठाता है। यह परिवर्तन दो रूपों में आता है, जिसे पारंपरिक रूप से डिसीमिनेशन-इन-टाइम और डिक्मिशन-इन-फ्रीक्वेंसी कहा जाता है। मूलांक दो में वे सम-पक्षीय नियमित बहुभुज के समरूपता की एक दोहरी जोड़ी पर भरोसा करते हैं: इंटरलॉकिंग समरूपता (एक नियमित षट्भुज में दो इंटरलॉकिंग समबाहु त्रिभुज होते हैं) और पंखे के सामने सहानुभूति होती है (आधे हिस्से में एक नियमित रूप से षट्भुज काटें और पंखे जैसे टुकड़ों को प्रकट करें समबाहु त्रिकोण में)।

इस दृष्टिकोण से, यह अत्यधिक अनुमान है कि एक ओ (एन लॉग एन) एल्गोरिदम विशेष समरूपता के बिना एन बिंदुओं के एक मनमाने ढंग से सेट के लिए मौजूद होगा। इसका मतलब यह होगा कि जटिल विमान में बिंदुओं के यादृच्छिक सेट की तुलना में नियमित रूप से बहुभुज के बारे में कुछ भी असाधारण नहीं है।

— प्रति वोगसेन
स्रोत

दूसरी ओर, एक

इस तरह के एक प्राकृतिक समस्या के लिए बाध्य कम समान रूप से अकल्पनीय लगता है!

Ω (n \log^{2} n)

$\Omega(n\log^2 n)$

— जेफ

सच! काश मेरे पास और अधिक निश्चित जवाब होता। यह बहुत दिलचस्प है।

— प्रति वोगेसेन

बाउंटी ने सम्मानित किया!

— जेफ

@PerVognsen: क्या आप इस दृष्टिकोण के लिए एक संदर्भ दे सकते हैं: बहुभुज की समरूपता / इंटरलॉकिंग समरूपता? या अगर यह आपका खुद का अवलोकन है, तो क्या आप इस पर थोड़ा और विस्तार कर सकते हैं?

— जोशुआ ग्रूचो