सुस्त के साथ आयाम में कमी?

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जॉनसन-Lindenstrauss लेम्मा मोटे तौर पर कहा गया है कि किसी भी संग्रह के में अंक , वहां मौजूद एक नक्शा जहां ऐसा है कि सभी : यह ज्ञात है कि समान कथन मैट्रिक के लिए संभव नहीं हैं , लेकिन क्या यह ज्ञात है कि इस तरह के निचले हिस्से के आसपास पहुंचने का कोई तरीका है कमजोर गारंटी की पेशकश करके सीमाएं? उदाहरण के लिए, लिए उपरोक्त लेम्मा का एक संस्करण हो सकता है $S$ $n$ $\mathbb{R}^d$ $f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^k$ $k = O(\log n/\epsilon^2)$ $x, y \in S$

(1 - ε) | | च (एक्स) - च (y) | |_{2} \leq | | एक्स - y | |_{2} \leq (1 + ε) | | च (एक्स) - च (y) | |_{2}

$(1-\epsilon)||f(x)-f(y)||_2 \leq ||x-y||_2 \leq (1+\epsilon)||f(x)-f(y)||_2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{1}

$\ell_1$ मीट्रिक जो केवल अधिकांश बिंदुओं की दूरी को संरक्षित करने का वादा करता है, लेकिन कुछ मनमाने ढंग से विकृत हो सकता है? एक जो "बहुत करीब" हैं उन बिंदुओं के लिए कोई गुणात्मक गारंटी नहीं देता है?

— हारून रोथ
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इस तरह के सकारात्मक परिणाम के लिए मानक संदर्भ पिओट इंडिक के स्थिर वितरण पर कागज है:

http://people.csail.mit.edu/indyk/st-fin.ps

उन्होंने कहा कि के लिए एक आयाम में कमी तकनीक से पता चलता जहां अंक के किसी भी जोड़े के बीच की दूरी में वृद्धि नहीं करता (कारक की तुलना में अधिक से निरंतर संभाव्यता और दूरी (कारक की तुलना में अधिक से कमी नहीं है) के साथ ) उच्च संभावना के साथ। एम्बेडिंग का आयाम में घातांक होगा । $\ell_1$ $1+\epsilon$ $1-\epsilon$ $1/\epsilon$

संभवतः ऐसे कार्यों का अनुसरण किया जाता है जिनके बारे में मुझे जानकारी नहीं है।

— मोरित्ज़
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रिलैक्स्ड गारंटी पेपर के साथ मेट्रिक एंबेडिंग देखें, जिसमें ("शालीनता से अपमानजनक विकृति की स्थिति") और सामान्य एम्बेडिंग के परिणाम हैं। $\ell_1$ $\ell_p$

इसके अलावा पर देखने के आयाम में कमी के लिए व्यावहारिक प्रक्रिया में कागज। $\ell_1$

— spinxl39
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$\ell_1$ $O(n/\epsilon)$ $O(1/(\delta\epsilon))$ $1-\delta$

— येर
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$\ell_1$ $S$ $c$ $\mathbb{R}^d$ $k$ $c$ $c$ $V$ $\ell_1^d$ $L_1$ $f:\ell_1^d \rightarrow \ell_1^k$ $k = O(\epsilon^{-2}c\log c)$ $x, y \in V$ $(1-\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1 \leq \|x - y\|_1 \leq (1+\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1$ $f$ $S$

$f$ $S$ $k \times d$

— साशो निकोलोव
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