अधिकतम बढ़त भार को अधिकतम करना

Question

मैं सोच रहा था कि निम्नलिखित समस्या का कोई नाम, या इससे संबंधित कोई परिणाम है या नहीं।

चलो $G = (V,w)$ जहां एक भारित ग्राफ हो $w(u,v)$ के बीच के किनारे के वजन को दर्शाता है $u$ तथा $v$, और सभी के लिए $u,v \in V$, $w(u,v) \in [-1,1]$। समस्या उन शीर्षों का एक उपसमूह ढूंढना है जो उनके समीप के किनारों के भार का योग अधिकतम करता है:

$$\max_{S \subseteq V} \sum_{(u,v) : u \in S\ \textrm{or}\ v\in S} w(u,v)$$ ध्यान दें कि मैं उन दोनों किनारों को गिन रहा हूं जो सबसेट के अंदर हैं और जो सबसेट के बाहर हैं, जो कि इस समस्या को अधिकतम-कटौती से अलग करता है। हालांकि, यहां तक कि अगर दोनों और में हैं , मैं सिर्फ किनारे गणना करना चाहते हैं एक बार (बल्कि दो बार से) है, जो क्या केवल डिग्री का योग होने से उद्देश्य अलग करता है।$u$$v$$S$$(u,v)$

ध्यान दें कि समस्या तुच्छ है यदि सभी किनारे वजन गैर-नकारात्मक हैं - बस पूरे ग्राफ को लें!

Comments

आपकी परिभाषा बाद में डुप्लिकेट किनारों की गिनती नहीं करने के बारे में आपके नोट से मेल नहीं खाती। क्या आप ऑर्डर किए गए जोड़े या 2-तत्व सबसेट के समरूप हैं? (उत्तरार्द्ध आपको वह संपत्ति देगा जिसकी आपको ज़रूरत है, मुझे लगता है)

— सुरेश वेंकट

एक और ध्यान दें: एकमात्र किनारे का वजन नहीं गिना जाता है जो V \ S. के अंदर होते हैं, क्या आप कठोरता परिणाम या अनुमानों में रुचि रखते हैं, क्योंकि पूर्व मामले में, S '= V \ S के अंदर बढ़त भार का योग कम करना अधिक प्राकृतिक समस्या हो सकती है। ।

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश: प्रश्न में औपचारिक परिभाषा तब तक सही है जब तक सन्निकटन अनुपात का संबंध है। यह सिर्फ शब्दों से दुगनी उम्मीद करता है।

— त्सुयोशी इतो

@TsuyoshiIto: ओह मैं देख रहा हूँ, क्योंकि कट के किनारों को भी दो बार गिना जाता है।

— सुरेश वेंकट

सटीक समस्या एनपी-हार्ड है, क्योंकि सुरेश ने अपनी टिप्पणी में लिखा है, समस्या अप्रतिबंधित {0,1} द्विघात प्रोग्रामिंग के बराबर है, जो एनपी-हार्ड है।

— त्सुयोशी इतो

Answer 1

वास्तव में समाधान नहीं बल्कि कुछ अवलोकन।

यह निम्नलिखित समस्या का एक विशेष मामला है: एक ब्रह्मांड , और सेट का एक संग्रह , और एक वजन फ़ंक्शन , सेट को खोजें जैसे कि को अधिकतम किया जाता है (एक सेट का वजन इसके तत्वों का कुल वजन है)। आपकी समस्या उस स्थिति से मेल खाती है जहां का प्रत्येक तत्व ठीक दो सेटों में दिखाई देता है (लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि इस प्रतिबंध का फायदा कैसे उठाया जाए, हालांकि यह मदद कर सकता है)।$U = \{1, \ldots, m\}$$S_1, \ldots, S_n \subseteq U$$w:U \rightarrow [-1, 1]$$I \subseteq [n]$$w(\bigcup_{i \in I}{S_i})$$U$

यह एक कवरेज समस्या है: मैक्स-के-सेट-कवर करने के लिए समान है, लेकिन उपयोग करने के लिए प्रतिबंध के बिना सेट और नकारात्मक वजन के साथ अनुमति दी। मैक्स-के-सेट-कवर का लालची अंदाजा (प्रत्येक स्टेप आउटपुट पर सेट जो खुला तत्वों का अब तक का सबसे बड़ा वजन है) सेट के एक क्रम को आउटपुट करता है जैसे कि पहले सेट सन्निकटन हैं। इष्टतम (तो यह सभी के लिए एक साथ अनुमान होता है )। दुर्भाग्य से, हमेशा की तरह, इसका विश्लेषण करने में समस्या है जब वजन नकारात्मक हो सकता है। लालची एल्गोरिथ्म के विश्लेषण का मूल अवलोकन यह है कि यदि पहला सेट है जो आउटपुट है, तो ($k$$k$$1 + 1/e$$k$$S_1$$w(S_1) \geq OPT_k/k$$OPT_k$ सेट द्वारा अधिकतम वजन को कवर किया जा रहा है ), क्योंकि इष्टतम समाधान में सेट के भार से कम है , और उनमें से प्रत्येक का वजन से कम है । हालांकि, नकारात्मक भार के साथ यह अब सच नहीं है कि इष्टतम समाधान में वजन के योग से कम है। सामान्य तौर पर, एक संघ बाध्य अब सच नहीं है।$k$$OPT_k$$k$$w(S_1)$$OPT_k$

Answer 2

FWIW, आपकी समस्या किसी भी लिए के गुणक कारक के भीतर लगभग कठिन है ।$n^{1-\epsilon}$$\epsilon>0$

हम दिखाते हैं कि इंडिपेंडेंट सेट से एक अनुमान-संरक्षण में कमी करके, जिसके लिए अनुमान की कठोरता को जाना जाता है।

स्वतंत्र सेट से कटौती

अप्रत्यक्ष ग्राफ को स्वतंत्र सेट का एक उदाहरण बनाते हैं। बता दें कि ने में वर्टेक्स की डिग्री को दर्शाया है । आज्ञा देना संख्या की संख्या में ।$G=(V,E)$$d_v$$v$$G$$n$$G$

निर्माण किनारे-भारित ग्राफ से के रूप में इस प्रकार है। वजन में प्रत्येक किनारे दें प्रत्येक गैर-पृथक वर्टेक्स , नए किनारों को जोड़ें , प्रत्येक का वजन , नए सिरे तक। प्रत्येक पृथक वर्टेक्स लिए, एक नए वर्टेक्स में वजन 1 के एक नए किनारे को जोड़ें।$G'=(V',E')$$G$$E$$v\in V$$d_v-1$$-1$$d_v-1$$v\in V$

(नोट: प्रत्येक नया शीर्ष ( लेकिन नहीं ) का एक पड़ोसी है, जो ।)$G'$$G$$G$

लेम्मा। का एक स्वतंत्र सेट है iff (आपकी समस्या के उदाहरण के रूप में) में कम से कम का मान है ।$G$$k$$G'$$k$

सबूत। को में कोई स्वतंत्र सेट होने दें । फिर, चूंकि में में स्वतंत्र हैं, इसलिए में का मान (आपके उद्देश्य से) में $S$$G$$S$$G'$$S$$G'$

$$\sum_{v\in S} d_v - (d_v-1) ~=~ |S|.$$

इसके विपरीत, को कम से कम के मान के समाधान होने दें । सामान्यता के नुकसान के बिना, मान लें कि में कोई नया वर्टिकल नहीं है। (प्रत्येक नया शिखर एक भी किनारे पर है । तो में अलग नहीं किया गया था , तो बढ़त का वजन है , इसलिए हटाने के से की कीमत बढ़ जाती है । यदि पृथक किया गया है, तो बढ़त के वजन 1, इसलिए दूर करने है से और जोड़ने के मान का कहना है ।)$S$$G'$$k$$S$$v'$$(v',v)$$v$$G$$-1$$v'$$S$$S$$v$$v'$$S$$v$$S$

सामान्यता के नुकसान के बिना, मान लें कि , में एक स्वतंत्र सेट है । (अन्यथा, जाने एक बढ़त ऐसी है कि हो सकता है और में हैं का कुल वजन। के में घटना किनारों है , इसलिए कुल के वजन की घटना अन्य की तुलना में किनारों सबसे शून्य पर है। इस प्रकार, को हटाने से के मूल्य में वृद्धि नहीं होगी ।)$S$$G$$(u,v)$$u$$v$$S$$v$$G'$$d_v - (d_v-1) = 1$$v$$(u,v)$$v$$S$$S$

अब, प्रमाण के प्रारंभ में उसी गणना से, का मान है। यह इस प्रकार है । QED$S$$|S|$$|S| \ge k$

एक तरफ के रूप में, आप इसके बजाय एक योजक सन्निकटन के लिए पूछ सकते हैं , कहते हैं, या । $O(n)$$\epsilon m$

यह मेरे लिए संभव है कि आपकी समस्या के लिए भी यह तय करना कि क्या सकारात्मक मूल्य का समाधान एनपी-हार्ड हो सकता है।