प्लानर डिस्टेंस प्रेसरवर का अस्तित्व?

14

बता दें कि G एक n- नोड अप्रत्यक्ष ग्राफ है, और T को V (G) का नोड सब्मिट कहा जाता है । एक दूरी परिरक्षक (जी, टी) की संपत्ति को संतोषजनक एक ग्राफ एच है

d_{H} (u, v) = d_{G} (u, v)

$d_H(u,v) = d_G(u,v)$

सभी नोड्स u के लिए, V में T. (ध्यान दें कि H आवश्यक रूप से G का उपसमूह नहीं है)

उदाहरण के लिए, G निम्नलिखित ग्राफ (a) है और T बाहरी चेहरे पर नोड्स है। फिर ग्राफ (b) (G, T) की दूरी पर स्थित है।

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

विभिन्न मापदंडों के साथ दूरी परिरक्षक मौजूद हैं। मैं विशेष रूप से निम्नलिखित गुणों के साथ एक में रुचि रखता हूं:

जी प्लेनर और अनवीटेड है (यानी, G के सभी किनारों का वजन एक है),
T का आकार , और है $O(n^{0.5})$
एच का आकार (नोड्स और किनारों की संख्या) । (यह अच्छा होगा यदि हमारे पास $o(n)$ ।) $O(\frac{n}{\log\log n})$

क्या इतनी दूरी प्रेस्वर है?

यदि कोई उपरोक्त गुणों को पूरा नहीं कर सकता है, तो किसी भी प्रकार के आराम का स्वागत किया जाता है।

संदर्भ:

स्पार्स स्रोत-वार और जोड़ी-वार दूरी संरक्षक , डॉन कोपरस्मिथ और माइकल एलकिन, SIDMA, 2006।
स्पार्स डिस्टेंस प्रिज़र्वर्स और एडिटिव स्पैनर्स, बेला बोल्लोबेस, डॉन कोपरसमिथ, और माइकल एलकिन, एसआईडीएमए, 2005।
स्पीनर्स और एमुलेटर सबलाइनर एरर , मिकेल थोरुप और उरी ज़्विक, सोडा, 2006।
एडिटिव स्पैनर्स, एमुलेटर और मोरे के लिए लोअर बाउंड्स , डेविड पी। वुड्रूफ़, एफओसीएस, 2006।

डिस्टेंस प्रेज़रवर को एक एमुलेटर के रूप में भी जाना जाता है ; कई संबंधित कार्य इंटरनेट पर स्पैनर शब्द खोज कर प्राप्त किए जा सकते हैं , जिसके लिए H को G का उपसमूह होना आवश्यक है। लेकिन मेरे अनुप्रयोगों में हम अन्य ग्राफ़ का भी उपयोग कर सकते हैं, जब तक H, T के बीच की दूरी को G में सुरक्षित रखता है।

— ह्सियन-चिह चांग h h
स्रोत

इस तरह की आकृति के लिए JPEG का उपयोग करने के लिए JP1! (सिर्फ मजाक कर रहे हैं, लेकिन PNG आमतौर पर छवि की गुणवत्ता और सरल आंकड़ों के लिए फ़ाइल आकार दोनों में बहुत बेहतर है)

— 20y30 पर Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: उपयोगी सुझावों के लिए धन्यवाद! मुझे यह नहीं पता था कि :)

— ह्सियन-चीह चांग ''

4

कई सालों बाद ऐसा लग रहा है कि ओपी ने आखिरकार अपने ही सवाल का जवाब दे दिया है: नियर- ऑप्टिमल डिस्टेंस एमुलेटर फॉर प्लानर ग्राफ्स फॉर एचएसएन-चिह चांग, पावेल गव्रीचोव्स्की, शाय मोजेस, और ओरेन वीमेन अभी-अभी अक्सीव पर तैनात थे।

$\widetilde{O}(\min\{t^2, \sqrt{tn}\})$ $|T| =: t$ $\widetilde{O}(n^{3/4})$ $\widetilde{O}(n)$

(कम औपचारिक नोट पर, मुझे यह परिणाम वास्तव में आश्चर्यजनक लगता है। बधाई हो!)

— GMB
स्रोत

1

उत्तर के रूप में पोस्ट करने के लिए धन्यवाद @GMB। यहां एक छोटी सी पकड़ यह है कि प्रेस्वर निर्देशित है ; यह एक खुला सवाल है कि क्या एक अप्रत्यक्ष (लेकिन अभी भी जरूरी नहीं कि प्लांटर) उप-आकार के एमुलेटर मौजूद हैं। लेकिन इन सभी वर्षों के बाद एक पुराने सवाल का जवाब जानने के लिए यह काफी संतोषजनक है :)

— Hsien-Chih Chang

2

आप क्लेन के प्लेनर सबसेट स्पैनर को देखना चाहते हैं, जो 1 + एप्सिलॉन कारक तक की दूरी को संरक्षित करता है।

प्लानर ग्राफ़ के लिए एक सबसेट स्पैनर, सबसेट टीएसपी के लिए आवेदन के साथ http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620

— क्रिश्चियन सोमेर
स्रोत

धन्यवाद, मैंने पेपर पढ़ा है, और उसके निर्माण और हमारी आवश्यकताओं के बीच एक अंतर है। ऐसा लगता है कि कोई भी स्पैनर तब तक काम नहीं करेगा, जब तक कि वह मूल ग्राफ़ का सबग्राफ न हो; एक काउंटर-उदाहरण के रूप में ग्रिड ग्राफ ले सकता है। लेकिन ग्रिड ग्राफ़ के लिए एमुलेटर हैं।

— Hsien-Chih चांग 張顯 '

एक और निर्माण विचार, शायद यह काम करता है? 1) पुनरावर्ती रूप से लघु-पथ विभाजक (थोरुप, FOCS'01) 2) लागू करें प्रत्येक शीर्ष के लिए ईपीएस-कवर [पहले दो चरण दूरी लेबल का निर्माण करें] वहाँ sqrt {n} टर्मिनल हैं, प्रत्येक का आकार O (लॉग n /) के लेबल के साथ है eps), अधिकांश sqrt {n} * की कुल संख्या से कनेक्ट होकर n पथ और 1 / eps गुणा अधिक पोर्टल्स 3) भारित किनारों द्वारा पथों पर पोर्ट शॉर्टकट करें और किनारों द्वारा पोर्टल्स के कनेक्शनों को शार्टकट करें जिसके परिणामस्वरूप ग्राफ मोटे तौर पर होना चाहिए sqrt {n} * n कोने और किनारों (eps तक) पर लॉग इन करें और सटीक दूरी के लिए 1 + eps सबसे छोटे रास्तों का प्रतिनिधित्व करें, जो मुझे नहीं पता ...

— ईसाई सोमेर