रचनात्मक मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए निश्चित बिंदु प्रमेय?

बानाच के निश्चित बिंदु प्रमेय में कहा गया है कि यदि हमारे पास एक गैर-रिक्त पूर्ण मीट्रिक स्थान $A$ , तो कोई समान रूप से संकुचनशील कार्य $f : A \to A$ में एक विशिष्ट निश्चित बिंदु $\mu(f)$ । हालांकि, इस प्रमेय का सबूत पसंद का स्वयंसिद्ध की आवश्यकता है - हम एक मनमाना तत्व चयन करने की आवश्यकता $a \in A$ पुनरावृत्ति शुरू करने के लिए $f$ से, कॉची अनुक्रम प्राप्त करने के लिए $a, f(a), f^2(a), f^3(a), \ldots$ ।

रचनात्मक विश्लेषण में निश्चित बिंदु प्रमेयों को कैसे कहा जाता है?
इसके अलावा, क्या रचनात्मक मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए कोई संक्षिप्त संदर्भ हैं?

मेरे द्वारा पूछे जाने का कारण यह है कि मैं सिस्टम एफ के एक मॉडल का निर्माण करना चाहता हूं जिसमें प्रकार अतिरिक्त रूप से मीट्रिक संरचना (अन्य चीजों के बीच) ले जाए। यह उपयोगी है कि रचनात्मक सेट सिद्धांत में, हम सेट एक परिवार को पका सकते हैं $U$ , जैसे कि $U$ उत्पादों, घातांक और $U$ -indexed परिवारों के तहत बंद है , जो सिस्टम एफ का एक मॉडल देना आसान बनाता है।

यह बहुत अच्छा होगा यदि मैं रचनात्मक अल्ट्रामेट्रिक रिक्त स्थान के समान परिवार को पका सकता हूं। लेकिन चूंकि रचनात्मक सेट सिद्धांत में विकल्प जोड़ने से यह शास्त्रीय हो जाता है, जाहिर है मुझे निश्चित बिंदु प्रमेयों के बारे में अधिक सावधान रहने की आवश्यकता है, और शायद अन्य सामान भी।

— नील कृष्णस्वामी
स्रोत

आप के लिए परिकल्पना को बदल सकते हैं

एक किया जा रहा बसे हुए सेट । आप अपनी पसंद के स्वयंसिद्ध लागू लेने के लिए नहीं कर रहे हैं

।

A

$A$

a \in A

$a\in A$

— कॉलिन मैकक्लिअन

पसंद की स्वयंसिद्ध का उपयोग तब किया जाता है जब "चीजों" का संग्रह होता है और आप प्रत्येक "चीज़" के लिए एक तत्व चुनते हैं। अगर संग्रह में सिर्फ एक चीज है, तो यह पसंद का स्वयंसिद्ध नहीं है। हमारे मामले में हमारे पास केवल एक मीट्रिक स्थान है और हम इसमें एक बिंदु "चुन" रहे हैं। ताकि चारा नहीं अस्तित्व परिमाणक के उन्मूलन, यानी की स्वयंसिद्ध नहीं है, हम एक परिकल्पना है और हम कहते हैं कि "चलो ऐसी हो कि "। दुर्भाग्य से, लोग अक्सर कहते हैं " $\exists x \in A . \phi(x)$ $x \in A$ $\phi(x)$ $x \in A$ ", जो तब पसंद के स्वयंसिद्ध अनुप्रयोग के समान दिखता है। $\phi(x)$

संदर्भ के लिए, यहां बानाच के निश्चित बिंदु प्रमेय का एक रचनात्मक प्रमाण है।

प्रमेय: एक आबाद पूर्ण मीट्रिक स्थान पर संकुचन का एक विशिष्ट निश्चित बिंदु होता है।

प्रमाण। मान लीजिए कि एक पूर्ण निवास स्थान है और एक संकुचन है। क्योंकि एक संकुचन है वहां मौजूद ऐसी है कि और सभी के लिए $(M,d)$ $f : M \to M$ $f$ $\alpha$ $0 < \alpha < 1$ $d(f(x), f(y)) \leq \alpha \cdot d(x,y)$ $x, y \in M$ ।

मान लीजिए कि और , का निश्चित बिंदु हैं । फिर हम है जिसमें से यह इस प्रकार है कि $u$ $v$ $f$

d (u, v) = d (f (u), f (v)) \leq α d (u, v)

$d(u,v) = d(f(u), f(v)) \leq \alpha d(u,v)$

0 \leq d (u, v) \leq (α - 1) d (u, v) \leq 0

$0 \leq d(u,v) \leq (\alpha - 1) d(u,v) \leq 0$ , इसलिए

और

। यह साबित करता है कि

में एक निश्चित बिंदु पर है।

d (u, v) = 0

$d(u,v) = 0$

u = v

$u = v$

f

$f$

यह एक निश्चित बिंदु के अस्तित्व को साबित करने के लिए बनी हुई है। क्योंकि का निवास है वहां मौजूद । द्वारा पुन: अनुक्रम परिभाषित करें हम प्रेरण कि द्वारा साबित कर सकते हैं । इससे वह इस प्रकार है $M$ $x_0 \in M$ $(x_i)$

x_{i + 1} = f (x_{i}) .

$x_{i+1} = f(x_i).$

d (x_{i}, x_{i + 1}) \leq α^{i} \cdot d (x_{0}, x_{1})

$d(x_i, x_{i+1}) \leq \alpha^i \cdot d(x_0, x_1)$

एक कौची अनुक्रम है। क्योंकि

पूरा हो गया है, अनुक्रम में

सीमा है। चूंकि

एक संकुचन है, यह समान रूप से निरंतर है और इसलिए यह अनुक्रम की सीमाओं के साथ शुरू होता है:

(x_{i})

$(x_i)$

M

$M$

y = lim_{i} x_{i}

$y = \lim_i x_i$

f

$f$

इस प्रकार

का एक निश्चित बिंदु है। QED

f (y) = f (lim_{i} x_{i}) = lim_{i} f (x_{i}) = lim_{i} x_{i + 1} = lim_{i} x_{i} = y .

$f(y) = f(\lim_i x_i) = \lim_i f(x_i) = \lim_i x_{i+1} = \lim_i x_i = y.$

y

$y$

f

$f$

टिप्पणियों:

मैं सावधान था कि " चुनें " और " " नहीं। इस तरह की बातें करना आम है, और वे सिर्फ भ्रम को जोड़ते हैं जो सामान्य गणितज्ञों को यह बताने में सक्षम होने से रोकता है कि पसंद का स्वयंसिद्ध क्या है और क्या नहीं। $\alpha$ $x_0$
$u$ $v$ $f$ $\lnot\lnot (u = v)$ $u = v$
$(x_i)$ $x_0$ $\exists x \in M . \top$ $x_0$ $M$
$M$ $\exists x \in M . \top$ $M$ $\lnot\forall x \in M . \bot$
$\mathrm{fix}_M$ $M$ $M$ $\forall\exists$
अंत में, निम्नलिखित निश्चित-बिंदु प्रमेयों के रचनात्मक संस्करण हैं:
- नॉट-टार्स्की पूर्ण अक्षांशों पर मोनोटोन मानचित्रों के लिए निश्चित-बिंदु प्रमेय
- एक पूर्ण मीट्रिक स्थान पर संकुचन के लिए बानाच का निश्चित-बिंदु प्रमेय
- Knaster-Tarski dcpos पर मोनोटोन नक्शों के लिए निश्चित-बिंदु प्रमेय (पटैरिया द्वारा सिद्ध)
- डोमेन सिद्धांत में विभिन्न निश्चित-बिंदु प्रमेयों में आमतौर पर रचनात्मक प्रमाण होते हैं
- रिकर्सन प्रमेय निश्चित-बिंदु प्रमेय का एक रूप है और इसका एक रचनात्मक प्रमाण है
- मैंने साबित कर दिया कि चेन-कम्प्लीट पोज़ पर मोनोटोन मैप के लिए नॉटस्टर - टार्स्की फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय का रचनात्मक प्रमाण नहीं है। इसी तरह, चेन-पूर्ण पॉसेट पर प्रगतिशील नक्शों के लिए बोर्बकी-विट फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय रचनात्मक रूप से विफल हो जाता है। बाद के एक के लिए काउंटर-उदाहरण प्रभावी टॉपोस से आता है: प्रभावी टॉपोस ऑर्डिनल्स (उपयुक्त रूप से परिभाषित) में एक सेट होता है और उत्तराधिकारी के नक्शे प्रगतिशील होते हैं और इसमें कोई निश्चित बिंदु नहीं होते हैं। वैसे, अध्यादेशों के उत्तराधिकारी का नक्शा प्रभावी शीर्ष में एकरस नहीं है ।

अब यह आपके द्वारा मांगी गई जानकारी से अधिक है।

— प्रेमिका बाउर
स्रोत

क्या मीट्रिक रिक्त स्थान के किसी भी स्वयंसिद्ध सुधार की आवश्यकता है?

— नील कृष्णास्वामी

यह अभी तक एक और अच्छा जवाब है, प्रेमिका!

— सुरेश वेंकट

@ नील: नहीं, स्वयंसिद्ध शास्त्रीय मामले में समान हैं।

— बेफ़िक बाउर

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x = λ M . λ f . f ({f i x}_{M} (f))

$\mathrm{fix} = \lambda M . \lambda f . f(\mathrm{fix}_M(f))$

M

$M$

f

$f$ पर संकुचन है

M

$M$ (यदि आप नीचे लिखते हैं तो आप बहुरूपता को देखेंगे

M

$M$ )।

— लेडी बाउर