स्थिर विवाह समस्या के उदाहरण के लिए स्थिर विवाह की अधिकतम संख्या क्या है?

Question

स्थिर विवाह समस्या: http://en.wikipedia.org/wiki/Stable_marriage_problem

मुझे पता है कि एसएमपी के उदाहरण के लिए, गेल-शप्पी एल्गोरिथ्म द्वारा लौटाए गए के अलावा कई अन्य स्थिर विवाह संभव हैं। हालांकि, अगर हमें केवल , पुरुषों / महिलाओं की संख्या दी जाती है, तो हम निम्नलिखित प्रश्न पूछते हैं - क्या हम एक वरीयता सूची का निर्माण कर सकते हैं जो अधिकतम विवाह की संख्या देती है? ऐसी संख्या पर ऊपरी बाध्यता क्या है?$n$

Answer 1

पुरुषों और n महिलाओं के साथ एक उदाहरण के लिए , तुच्छ ऊपरी सीमा n है ! , और बेहतर कुछ भी नहीं जाना जाता है। एक बाध्य निचले हिस्से के लिए, नुथ (1976) के साथ उदाहरणों की एक अनंत परिवार देता है Ω ( 2.28 एन ) स्थिर matchings, और Thurber (2002) सभी को यह परिवार फैली एन ।$n$$n$$n!$$\Omega(2.28^n)$$n$

Comments

वास्तव में, मेरा मानना ​​है कि उदाहरणों (दो की शक्तियों के लिए) का यह परिवार इरविंग और लेदर के कारण है और नूथ ने साबित कर दिया है कि इस परिवार द्वारा संतुष्ट पुनरावृत्ति संबंध $\Omega(2.28^n)$

— gstat

आरडब्ल्यू इरविंग और पी। चमड़ा। स्थिर विवाहों की गणना की जटिलता। कम्प्यूटिंग पर SIAM जर्नल, 15: 655-667,1986

— gstat

Answer 2

एक स्थिर विवाह उदाहरण के लिए स्थिर मिलानों की अधिकतम संख्या पर एक ऊपरी सीमा मेरे मास्टर की थीसिस में दी गई है और इसे स्थिर रूममेट समस्या के रूप में अच्छी तरह से विस्तारित किया गया है। बाध्य परिमाण और यह हो सकता है! दिखाया गया कि यह वास्तव में परिमाण O ( ( n ! ) $O(n!/2^n)$।$O\left((n!)^\frac{2}{3}\right)$

दस्तावेज़ पृष्ठ संख्या 97 पर थीसिस है। http://mpla.math.uoa.gr/msc/

Answer 3

में एक एक्सपोनेंशियल अपर बाउंड दिया गया है अन्ना आर कार्लिन, शायन Oveis Gharan, रोबी वेबर: एक सीधे शब्दों में घातीय ऊपरी पर अधिकतम स्थिर matchings की संख्या बाउंड ।

Answer 4

यह सर्वविदित है कि पुरुषों / महिलाओं के एक उदाहरण में स्थिर मिलान की एक घातीय संख्या ( O ( 2 n ) ) हो सकती है, लेकिन एक तंग ऊपरी बाउंड देना अभी भी खुला है। एल्गोरिदम का विश्वकोश देखें http://www.amazon.com/dp/0387307702$n$$O(2^n)$

Comments

$x_n = 3x^2_{n/2} - 2x^4_{n/4}$

Answer 5

इस मुद्दे पर दिलचस्प परिणाम पुस्तक के पेज 24 और 25 पर मिल सकते हैं: द स्टेबल मैरिज प्रॉब्लम डैन गुसफील्ड और रॉबर्ट इरविंग, एमआईटी प्रेस, 1989।