उत्तल बहुभुज में आयतों को पैक करना लेकिन बिना घुमाव के

Question

मुझे ओवरलैप के बिना उत्तल (2 आयामी) बहुभुज में (2 आयामी) आयतों की समान प्रतियों को पैक करने की समस्या में दिलचस्पी है। मेरी समस्या में आपको आयतों को घुमाने की अनुमति नहीं है और यह मान सकते हैं कि वे कुल्हाड़ियों के साथ समानांतर रूप से उन्मुख हैं। आपको बस एक आयत के आयाम और बहुभुज के कोने दिए गए हैं और पूछा गया है कि आयत की कितनी समान प्रतियां बहुभुज में पैक की जा सकती हैं। यदि आपको आयतों को घुमाने की अनुमति है तो इस समस्या को एनपी-हार्ड माना जाता है। हालांकि, अगर आप नहीं कर सकते तो क्या जाना जाता है? कैसे के बारे में अगर उत्तल बहुभुज बस एक त्रिकोण है? अगर वास्तव में एनपी-हार्ड समस्या है, तो क्या अनुमानित सन्निकटन एल्गोरिदम हैं?

अब तक का सारांश (21 मार्च '11)। पीटर शोर का मानना ​​है कि हम इस समस्या को एक उत्तल बहुभुज में पैकिंग इकाई वर्गों में से एक के रूप में मान सकते हैं और यह समस्या एनपी में है यदि आप पैक किए जाने वाले वर्गों / आयतों की संख्या पर एक बहुपद बाध्य करते हैं। सरियल हर-पेलेड बताते हैं कि एक ही बहुपत्नी बद्ध मामले के लिए एक PTAS है। हालांकि, सामान्य तौर पर पैक किए गए वर्गों की संख्या इनपुट के आकार में घातीय हो सकती है, जिसमें केवल पूर्णांकों के जोड़े की संभवतः छोटी सूची होती है। निम्नलिखित प्रश्न खुले दिखाई देते हैं।

क्या एनपी में पूर्ण अनबाउंड संस्करण है? क्या अनबाउंड संस्करण के लिए कोई PTAS है? क्या P या NPC में बहुपत्नी बद्ध मामला है? और मेरा व्यक्तिगत पसंदीदा, क्या यह समस्या किसी भी आसान है अगर आप अपने आप को एक वर्ग में पैकिंग करने के लिए सीमित कर रहे हैं?

Comments

1x3 आयतों के साथ पैकिंग एनपी-पूर्ण (रोटेशन के साथ) है और मुझे लगता है कि यदि हम घुमावों को अस्वीकार करते हैं तो यह आसान हो जाता है। आप प्रत्येक पंक्ति (या स्तंभों) के लिए आयतों की अधिकतम संख्या पाते हैं और पैक की गई आयतों की समग्र अधिकतम संख्या प्राप्त करने के लिए उन्हें जोड़ते हैं।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

मुझे यकीन नहीं है कि आयामों को ठीक करना 1x3 (या कुछ और) मेरी समस्या के लिए बहुत मदद करता है? उत्तल बहुभुज के पास कुल्हाड़ियों के समानांतर कोई पक्ष नहीं है और आपको अभी भी यह तय करने की आवश्यकता है कि आयतों को कहां रखा जाए। आप उन्हें पहले y- अक्ष में सबसे कम जगह दे सकते हैं, फिर एक उचित विधर्मी के रूप में बाईं ओर जायज़ ठहराया जा सकता है लेकिन आप उदाहरणों का निर्माण आसानी से कर सकते हैं जहाँ यह इष्टतम नहीं है।

— राफेल

आप सभी आयतों को बनाने के लिए एक affine परिवर्तन लागू कर सकते हैं । तो समस्या पैकिंग वर्ग के बराबर है। $1 \times 1$

— पीटर शोर

@turkistany: क्या आप मुझे एक संदर्भ देंगे जो 1x3 आयतों के लिए NP-पूर्णता दिखाता है? या, अवलोकन करना आसान है?

— योशियो ओकामोटो 12

पीटर शोर के अवलोकन के आधार पर खोज करने से maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P56.html आता है जो दिलचस्प है। हालांकि यह सामान्य साधारण बहुभुजों पर केंद्रित है (अर्थात वे अवतल हो सकते हैं)।

— राफेल

Answer 1

एक उत्तल बहुभुज के अंदर अधिकतम अंक लेने के रूप में समस्या का सुधार किया जा सकता है, जैसे कि उनमें से प्रत्येक जोड़ी दूरी ( मीट्रिक के तहत ) एक दूसरे से कम से कम 1 है (बस वर्गों के केंद्रों के बारे में सोचें) । यह बदले में उसी समस्या से संबंधित है जहां कोई नियमित यूक्लिडियन दूरी का उपयोग करता है। यह बदले में मेशिंग से संबंधित है, जहां एक बहु-व्यवहार वाले क्षेत्रों में बहुभुज को तोड़ने में रुचि रखता है (यानी, आप केंद्रों के वोरोनोई आरेख लेते हैं [देखें सेंट्रोएडल वोरोनोई टेसल्यूशन])।$L_\infty$$1$

वैसे भी, -प्रतिरोध काफी आसान है। आप बेतरतीब ढंग से sidelength का एक ग्रिड स्लाइड हे ( 1 / ε ) । बहुभुज को ग्रिड में क्लिप करें, और बहु ​​बल के उपयोग से ग्रिड के साथ बहुभुज के प्रतिच्छेदन के प्रत्येक टुकड़े के अंदर समस्या को हल करें। समय चल रहा है के साथ एक एल्गोरिथ्म हे ( एम * एन ओ मैं रों ई ( ε ) ) आसानी से पालन करना चाहिए, जहां एम अंक (यानी, आयत) की संख्या है, और एन ओ मैं रों ई ( ε $(1-\epsilon)$$O(1/\epsilon)$$O(M*noise(\epsilon))$$M$$noise(\epsilon)$कुछ भयावह कार्य है जो केवल पर निर्भर करता है ।$\epsilon$

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धन्यवाद। क्या मैं यह सोचने में सही हूं कि उस मामले में भी जहां हमारे पास आयतों / वर्गों की संख्या पर एक बहुपद है, यह अभी भी स्पष्ट नहीं है कि क्या समस्या पी में है?

— राफेल

यहां अनुमान लगाने / अनुमान लगाने के मेरे 2 सेंट हैं ... यदि यह पी में है तो आश्चर्य की बात होगी - आपको इष्टतम समाधान के कुछ अतिरिक्त गुणों को दिखाने की आवश्यकता होगी। हालांकि, मेरा अनुमान है कि एनपी-कठोरता का एक औपचारिक प्रमाण पहुंच से बाहर है - समस्या में बहुत अधिक संरचना है। फेडर और ग्रीन ने दिखाया कि के-सेंटर क्लस्टरिंग एक निश्चित कारक के भीतर एनपी-हार्ड है। मुझे लगता है कि अनुमान लगाया जा सकता है कि उनके प्रमाण का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि उपरोक्त समस्या एनपी-हार्ड है यदि बहुभुज में छेद हो ...

— Sariel Har-Peled

Answer 2

ये दो पेपर आपकी समस्या का समाधान करते हैं:

ईजी बिरगिन और आरडी लोबेटो, " आइसोट्रोपिक उत्तल क्षेत्रों के भीतर समान आयतों की ऑर्थोगोनल पैकिंग ", कंप्यूटर और औद्योगिक इंजीनियरिंग 59, पीपी 595-602, 2010। 

ईजी बिरगिन, जेएम मार्टिनेज, एफएच निशिहारा और डीपी रोनकोनी, "नॉनलाइनियर ऑप्टिमाइज़ेशन द्वारा मनमाना उत्तल क्षेत्रों के भीतर आयताकार वस्तुओं की ऑर्थोगोनल पैकिंग ", कंप्यूटर और ऑपरेशंस रिसर्च 33, पीपी। 355-354848, 2006।

 

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ये कागज व्यवहार में समस्या को हल करने के लिए देखते हैं। जहां तक ​​मैं बता सकता हूं, यह सवाल पूछ रहा है कि क्या समस्या एनपी-हार्ड होने के लिए जानी जाती है।

— आंद्रेस सलामन

यह एनपी में दिखाना काफी आसान है। मान लीजिए कि मैं आपको इष्टतम पैकिंग का एक आरेख देता हूं, जो आपको बताता है कि कौन से वर्ग बहुभुज के किन पक्षों को छू रहे हैं, और कौन से वर्ग अन्य वर्गों के ऊपर / नीचे / बाएं / दाएं से ऊपर / नीचे हैं। इस सवाल का कि क्या आप वर्गों के एक सेट के लिए निर्देशांक पा सकते हैं जो बिल्कुल उसी तरह से पैक करते हैं जो एक रैखिक कार्यक्रम है, और इसलिए आप यह सत्यापित कर सकते हैं कि यह एक व्यवहार्य पैकिंग के लिए एक आरेख है।

— पीटर शोर

यदि आपके बहुभुज के सभी कोने पूर्णांक (या तर्कसंगत) हैं, तो रैखिक कार्यक्रमों पर एक मानक परिणाम कहता है कि आपको एक बहुपद की अतिरिक्त मात्रा की आवश्यकता नहीं है, और रैखिक कार्यक्रम को बहुपद समय में बिल्कुल हल किया जा सकता है। माफी यदि आप पहले से ही जानते थे, लेकिन मैं आपकी टिप्पणी से ऊपर नहीं बता सकता - और यहां तक ​​कि अगर आपने किया, तो कुछ लोग नहीं करेंगे।

— पीटर शोर

धन्यवाद। मुझे पता था कि एक बार लेकिन यह याद दिलाने के लिए अच्छा था। यह भी लगता है कि आप बहुभुज में पैक किए गए वर्गों की एक घातीय संख्या हो सकती है, इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि आप वास्तव में उन सभी को सूचीबद्ध कर सकते हैं। शायद वहाँ कुछ स्केलिंग है जो आप इसे गोल करने के लिए कर सकते हैं?

— राफेल

@ राफेल: मैं (औचित्य के बिना) मान रहा था कि आपके पास वर्गों की संख्या पर एक बहुपद है। यदि आप घातीय आकार के बहुभुज की अनुमति देते हैं, तो चीजें बहुत पेचीदा हो जाती हैं।

— पीटर शोर

Answer 3

पीटर शोर ने देखा कि rescaling के द्वारा, यह समस्या उत्तल बहुभुज में इकाई वर्ग पैकिंग के बारे में बन जाती है।

संपादित करें: इस उत्तर का शेष लागू नहीं होता है, क्योंकि यह स्पष्ट रूप से बताई गई आवश्यकता को गिरा देता है कि पैक किए जाने वाले आकार सभी एक ही आकार के हैं।

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संबंधित प्रश्न ऑर्थोगोनल पैकिंग समस्या के एक विशेष मामले की एनपी-कठोरता पहले प्रश्न के लिए आवश्यक परिणाम के साथ एक पेपर का उल्लेख करती है:

• एक वर्ग में पैकिंग वर्ग, जोसेफ YT। लेउंग, टॉमी डब्ल्यू। टैम, सीएस वोंग, गिल्बर्ट एच। यंग और फ्रांसिस वाईएल चिन, जर्नल ऑफ पैरेलल एंड डिस्ट्रीब्यूटेड कम्प्यूटिंग 10 271-275। ( लिंक )

कागज से:

हम बताते हैं कि 3-विभाजन की समस्या को कम करके वर्ग पैकिंग समस्या एनपी-पूर्ण रूप से मजबूत है।

इसलिए समस्या एनपी-हार्ड है यहां तक ​​कि विशेष मामले के लिए भी जहां पैक किए जाने वाले आयत कंटेनर के समान हैं । (इस पत्र के लेखकों के विपरीत, मैं पूरी तरह से आश्वस्त नहीं हूं कि समस्या एनपी में है, क्योंकि पदों को बड़ी मात्रा में सटीकता के लिए निर्दिष्ट करना पड़ सकता है, जिसके कारण इनपुट आकार में अब सत्यापन बहुपद नहीं हो सकता है। )

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कागज को देखते हुए, आरेखों से यह प्रतीत होता है कि पैक किए जाने वाले वर्ग सभी समान आकार के नहीं हैं।

— पीटर शोर

@ पेटर: आप सही कह रहे हैं, यह पेपर राफेल की समस्या के बारे में कुछ भी नहीं बताता है।

— आंद्रेस सलामोन

Answer 4

हो सकता है कि यह पेपर आपके लिए रूचिकर हो:

FOCS 92 में केन्याई और केन्याई द्वारा आयतों के साथ एक बहुभुज टाइलिंग ।

Comments

धन्यवाद। हालांकि अगर मैं सही ढंग से समझूं, तो एक टाइलिंग बहुभुज को कवर करती है। यह मेरे मामले में लगभग कभी भी संभव नहीं होगा (कुछ मनमाने ढंग से अभिविन्यास पर एक मनमाना त्रिकोण पर विचार करें) जो मेरी अनुकूलन समस्या को मौलिक रूप से अलग बनाने के लिए लगता है।

— राफेल

वास्तव में, यह वही समस्या नहीं है, मेरी गलती है।

— सिल्वेन पायरोननेट

Answer 5

यदि बहुभुज जिसमें आप पैक करना चाहते हैं, जरूरी नहीं कि उत्तल हो, तो मुझे लगता है कि समस्या एनपी-हार्ड हो गई है। यहाँ एक बहुत ही संक्षिप्त साक्ष्य है। कमी कुछ प्लानर-3-एसएटी प्रकार की समस्या से है। प्रत्येक चर के लिए आपके पास 1.1 x 1 स्थान हो सकता है, इस क्षेत्र में जहां आप एक वर्ग रखते हैं, उसके आधार पर यह निर्धारित करेगा कि आपका चर गलत है या नहीं। इसके अलावा, अगर आप .1 क्षेत्र को बाएं / दाएं छोड़ते हैं, तो आप दो अन्य वर्गों को थोड़ा और अंदर ले जा सकते हैं, और उनके पीछे वाले लोगों को भी, अंततः एक और .1 मुक्त स्थान दे सकते हैं जो अब एक साथ चार वर्गों और इतने पर प्रभावित करते हैं। आपके पास संबंधित शाब्दिक की घटनाओं के रूप में कई प्रतियां होने के बाद, आप इन ट्यूबों को संबंधित खंड घटक से जोड़ते हैं और फिर से कुछ समान गैजेट का उपयोग करते हैं ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि तीन अंतर्ग्रहण ट्यूबों से कम से कम एक .1 अतिरिक्त स्थान होना चाहिए।

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यह प्रशंसनीय लगता है। ध्यान दें कि रैफेल ने एक टिप्पणी में एक लिंक प्रदान किया था maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P56.html जो वास्तविक कमी के साथ एक पेपर के लिए एक सूचक के साथ है।

— आंद्र सलामन

ओह, मैंने ध्यान नहीं दिया, thx।

— डोमटॉर्प