ऑर्थोगोनल पैकिंग समस्या के एक विशेष मामले की एनपी-कठोरता

Question

चलो $V$ का एक सेट हो $D$-आयामी आयामी आयताकार। के लिए और , की लंबाई का वर्णन आयाम में । कंटेनर लिए समान संकेतन का उपयोग किया जाता । आयामी ओर्थोगोनल पैकिंग समस्या (OPP- ) तय करने के लिए है अगर कंटेनर में फिट ओवरलैपिंग के बिना। औपचारिक रूप से, समस्या यह पता लगाना है कि क्या कोई फ़ंक्शन मौजूद है , जैसे कि और$d \in \{1,...,D\}$$v \in V$$w_d(v) \in \mathbb{Q}^{+}$$v$$d$$C$$D$$D$$V$$C$$\forall d \in \{1,...,D\}$$f_d:V\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$$\forall v \in V, f_d(v)+w_d(v) \leq w_d(C)$$\forall v_1,v_2 \in V$ , , ।$(v_1 \neq v_2)$$[f_d(v_1),f_d(v_1)+w_d(v_1)) \cap [f_d(v_2),f_d(v_2)+w_d(v_2)) = \emptyset$

समस्या एनपी-पूर्ण है (देखें फेकेट एसपी, शेपर्स जे। "उच्च-आयामी पैकिंग I: मॉडलिंग" पर। तकनीकी रिपोर्ट 97-288, यूनिवर्सिटी ऑफ ज़ू कोलन, 1997)। समस्या लिए भी एनपी-पूर्ण है । मुझे आश्चर्य हो रहा है, क्या वस्तुओं की एक सीमित संख्या (अर्थात प्रत्येक आयाम में आकार) के लिए ऑर्थोगोनल पैकिंग समस्या अभी भी एनपी-पूर्ण है या नहीं। अब तक मुझे एक वर्ग में पैकिंग वर्गों की एनपी-पूर्णता के बारे में कुछ कागजों में एक परिणाम मिला (देखें JOSEPH YT। LEUNG, TOMMY W। TAM, और CS WONG, "पैकिंग वर्ग एक वर्ग में", समानांतर और वितरित कम्प्यूटिंग के जर्नल। वॉल्यूम 10 अंक 3, नवंबर 1990) जो पहले से ही एक प्रतिबंध है लेकिन मुझे अभी भी नहीं पता है कि जब वस्तुओं के प्रकारों की संख्या होती है तो क्या होता है।$D=2$

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद,

Comments

क्या आप मूल समस्या बता सकते हैं?

— सुरेश वेंकट

ऑर्थोगोनल पैकिंग की समस्या क्या है?

— त्सुशी जोतो

(1) मैं इस विषय का विशेषज्ञ नहीं हूं, लेकिन क्या यह समस्या इसकी जटिलता का विश्लेषण करने के लिए भी नहीं है? (२) कृपया अधिक टिप्पणियाँ जोड़ने के बजाय, अपने प्रश्न को संपादित करके अपने लोगों को बेहतर बनाने के लिए अन्य लोगों की टिप्पणियों का उपयोग करने का प्रयास करें। अधिकांश लोग केवल प्रश्नों को समझने के लिए टिप्पणियों में चर्चा का पालन नहीं करना चाहते हैं।

— त्सुयोशी इतो

हो सकता है कि आपके प्रश्न को संपादित करके (ऊपर दिए गए संपादन बटन पर क्लिक करें), और जो संदर्भ मिले हैं, उसे कठोरता से परिभाषित करने का प्रयास करें। यह समुदाय को यह समझने में मदद करेगा कि आपने क्या जाना है, और आप क्या जानना चाहते हैं। आपकी सहायता में हमारी मदद करें!

— हिसियन-चीह चांग। '16

(मेरी टिप्पणी और Hsien-Chih की टिप्पणी ने

— पूछने वाले

Answer 1

मुझे लगता है कि क्लाऊस जेनसन और रॉबर्टो सोलिस-ओबा द्वारा लिखित " एन ऑप्ट + 1 एल्गोरिथ्म इन द कटिंग स्टॉक प्रॉब्लम विथ कांस्टेंट नंबर ऑफ़ ऑब्जेक्ट लेंथ " का आपके प्रश्न का आंशिक उत्तर है। वे आपकी समस्या के एक विशेष मामले पर विचार करते हैं जिसे काटना स्टॉक समस्या कहा जाता है जब di object erent ऑब्जेक्ट प्रकार की संख्या स्थिर और परिभाषित होती है:

में काटने शेयर समस्या हम एक सेट दिए गए हैं$T = \{T_1,T_2,\dots,T_d\}$ वस्तु प्रकारों की, जहाँ प्रकार की वस्तुएँ $T_i$ सकारात्मक पूर्णांक लंबाई है $p_i$। डिब्बे के प्रत्येक set नीट सेट में, प्रत्येक पूर्णांक क्षमता को देखते हुए$\beta$समस्या एक सेट को पैक करने की है $\mathcal{O}$ का $n$इस तरह से डिब्बे की न्यूनतम संभव संख्या में वस्तुएँ इस प्रकार होती हैं कि डिब्बे की क्षमता पार नहीं होती है; सेट में$\mathcal{O}$ वहां $n_i$ प्रकार की वस्तुएं $T_i$, सबके लिए $i =1,\dots,d$।

लेखकों का दावा है कि

यह ज्ञात नहीं है कि क्या कटिंग स्टॉक समस्या को हर known xed मान के लिए बहुपद समय में हल किया जा सकता है $d$।

और उन्होंने प्रपोज कर दिया $OPT+1$ सन्निकटन बहुपद-समय एल्गोरिथ्म जब $d$ निश्चित है।

चूंकि यह साबित नहीं हुआ है कि यह विशेष मामला है $P$, यह सबूत है कि आपकी समस्या है $NP$-मुश्किल।

परिशिष्ट: यह ज्ञात है कि दो वस्तु प्रकारों के साथ मामला ($d=2$) बहुपद है, लेकिन के लिए $d=3$ वहाँ केवल जाना जाता है $OPT+1$-approximation।

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। में साबित नहीं हुआ था$P$, लेकिन न तो एनपी-हार्ड सही है? वैसे भी, जैसा कि आपने कहा था कि यह मुझे एक आंशिक जवाब देता है और मुझे लगता है कि ओपीपी -2 के लिए यह शायद सबसे अधिक अध्ययन नहीं किया गया था।

— पेट्रू

मुझे लगता है कि आप शायद सही हैं कि आपकी समस्या का अध्ययन नहीं किया गया था। जैसा कि आपने कहा "यह पी में साबित नहीं हुआ था, लेकिन न तो एनपी-हार्ड" और मैं इसे इस तरह से भी समझता हूं।

— ऑलेक्ज़ेंडर बॉन्डारेंको

हो सकता है कि इस समस्या को "पी में होने या एनपीसी होने के लिए ज्ञात नहीं" समस्याओं की सूची में जोड़ा जा सकता है।

— ह्सियन-चीह चांग। '17