यूक्लिडियन-स्क्वॉयर कम आयामों में अधिकतम कटौती

Question

चलो विमान में अंक हो । बिन्दुओं के साथ और किनारे भार के साथ पूर्ण ग्राफ़ पर विचार करें । क्या आप हमेशा वजन में कटौती कर सकते हैं जो कुल वजन का कम से कम \ frac 2 3 है? यदि नहीं, तो किस स्थिरांक को \ frac 2 3 को बदलना चाहिए ?$x_1, \ldots, x_n$$\mathbb{R}^2$$\|x_i - x_j\|^2$$\frac 2 3$$\frac 2 3$

सबसे खराब उदाहरण मैं पा रहा हूँ एक समबाहु त्रिभुज पर 3 अंक हैं, जो \ frac 2 3 को प्राप्त करता है $\frac 2 3$। ध्यान दें कि एक यादृच्छिक विभाजन \ frac 1 2 का उत्पादन करेगा $\frac 1 2$, लेकिन यह सहज रूप से स्पष्ट लगता है कि कम आयामों में, कोई यादृच्छिक रूप से बेहतर क्लस्टर कर सकता है।

K> 2 के लिए अधिकतम-कट के लिए क्या होता है? कैसे एक आयाम d> 2 के बारे में? क्या ऐसे सवालों का जवाब देने के लिए एक ढांचा है? मुझे Cheeger की असमानताओं के बारे में पता है, लेकिन वे बहुत कम कटौती (अधिकतम-कटौती नहीं) पर लागू होते हैं और केवल अन्य ग्राफ़ के लिए काम करते हैं।

(प्रश्न विचरण को कम करने के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में प्रकाश स्रोतों को क्लस्टर करने की समस्या से प्रेरित है)।

Comments

मैक्स के-कट के लिए एक सरल 1-2 / k सन्निकटन है, और k> 2 के लिए आप एक अच्छा बड़ा कट पा सकते हैं, लेकिन k = 2 के लिए आप www-math.mit.edu/~goemans/PAPERS/maxcut देख सकते हैं -jacm.pdf और संबंधित विषयों, मुझे लगता है कि यदि आप उच्च संभावना के साथ एक अच्छा कटौती पाते हैं तो आप कह सकते हैं कि 2/3 के साथ एक कटौती है या नहीं, कम से कम संभावना की सीमा सीमित होगी।

— सईद

हालाँकि, ध्यान दें कि यहाँ वजन फ़ंक्शन, सक्लेड यूक्लिडियन दूरी है, जो कि मीट्रिक नहीं है।

— सुरेश वेंकट

मुझे लगता है कि अधिकतम कटौती में इन उदाहरणों के लिए एक ptas, या शायद एक पॉलीटाइम एल्गोरिथ्म भी है, लेकिन विशिष्ट प्रश्न बहुत दिलचस्प है। क्या यह स्पष्ट है कि जब कोने एक चक्र के साथ समान दूरी पर होते हैं तो अधिकतम कटौती क्या होती है, और इस वर्ग में उदाहरण जो अधिकतम कटौती को कम करता है, वह तीन समान रूप से लंबित कोने हैं? क्योंकि एक तर्क हो सकता है जो यह दर्शाता है कि अंकों के प्रत्येक विन्यास को अधिकतम भार में कुल भार के अनुपात में वृद्धि के बिना एक 'सममित' विन्यास में परिवर्तित किया जा सकता है, और इसलिए यह केवल अत्यधिक सममितीय विन्यास को समझने के लिए पर्याप्त हो सकता है

— लुका ट्रेविस

इसके अलावा, एक आयाम में क्या होता है? ऐसा कॉन्फ़िगरेशन ढूंढना संभव है जिसके लिए अधिकतम भार कुल वजन का लगभग 2/3 है (एक बिंदु -1 है, एक बिंदु +1 है, 4 अंक शून्य के बहुत करीब हैं; कुल वजन 12 है और इष्टतम 8) है। 2/3 1 आयाम में कुल वजन में अधिकतम कटौती का सबसे छोटा संभव अनुपात है?

— लुका ट्रेविसन

@ लुका: हाँ, 1 डी भी तुच्छ नहीं है। सहज रूप से, आयाम बढ़ने के साथ निरंतर 1/2 के करीब होना चाहिए। 2 डी मामले के लिए, हम मान सकते हैं कि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र (0,0) पर है और यह सभी बिंदु इकाई सर्कल के भीतर फिट होते हैं। कुछ "बिंदु प्रतिकर्षण" तर्क हो सकता है जो कटे हुए वजन को नहीं बढ़ाते हुए यूनिट सर्कल की ओर बिंदुओं को धक्का देता है, जो मदद करेगा, लेकिन मैं इसे पिन नहीं कर सका।

— मिलोस हसन

Answer 1

आयाम बढ़ने पर निरंतर 1/2 हो जाता है। D आयामों में, आप एक दूसरे से दूरी पर d + 1 अंक प्राप्त कर सकते हैं, इसलिए दूरी-वर्ग का योग और अधिकतम कट अधिकतम , जो कि कुल वजन का एक अंश है${d+1 \choose 2}$$(d+1)^2/4$$\frac 12 \cdot \frac {d+1}{d}$

Comments

ठीक है, लेकिन एक दूसरे से दूरी 1 पर d + 1 अंक का विन्यास सबसे खराब स्थिति क्यों है? यह प्रशंसनीय लगता है, लेकिन क्या यह स्पष्ट है? (और डी = 1 के लिए, एक दूसरे से दूरी 1 पर दो बिंदु स्पष्ट रूप से सबसे खराब स्थिति नहीं हैं; आपके द्वारा दिया गया 6-पॉइंट कॉन्फ़िगरेशन बदतर है। क्या ऐसा हो सकता है कि डी = 1 केवल रोग संबंधी मामला है, और यह काम करता है। d> = 2?) के लिए

— मिलोस हसन

@milos मुझे यकीन नहीं है कि मैं समझ गया हूँ। हम जानते हैं कि 0.5 प्राप्त करने योग्य है, और यह उदाहरण दिखाता है कि आप बेहतर नहीं कर सकते। हालांकि यह विमान के लिए 2/3 अनुमान को नहीं तोड़ता है।

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश: जो मैं वास्तव में था, वह साबित कर रहा है कि आप कम आयामों में बेहतर कर सकते हैं, यानी मैं विशेष रूप से कम डी के लिए सबसे खराब स्थिरांक के वास्तविक मूल्यों के अनुक्रम में दिलचस्पी रखता हूं।

— मिलोस हसन

मैं वास्तव में कम d के लिए 1/2 और 2/3 के बीच एक वास्तविक अंतर साबित करना चाहता था। इसका दिलचस्प परिणाम होगा, यानी कि आप मोंटे कार्लो योग / एकीकरण को हरा सकते हैं (अपनी समस्या को बेतरतीब ढंग से उप-समस्याओं में विभाजित करके), यदि आपकी समस्या आंतरिक रूप से कम-आयामी (कोई भी हो) है।

— मिलोस हसन

हालांकि यह केवल बड़े घ के लिए एक उत्तर है, यह दर्शाता है कि छोटे-घ मामले के विश्लेषण में किस तरह की कठिनाइयां आ सकती हैं। मान लीजिए कि, 2 आयामों में, आपके पास पाँच बिंदु हो सकते हैं जिनकी जोड़ीदार दूरी-चौकोर 1 और 1.1 के बीच है। फिर कुल वजन कम से कम 10 और अधिकतम कटौती अधिकतम 6.6 है। यदि 2/3 दो आयामों के लिए सही उत्तर है, तो आपको यह दिखाने में सक्षम होना चाहिए कि यदि आपके पास पाँच बिंदु हैं जैसे कि सभी युग्मक यूक्लिडियन दूरी कम से कम एक हैं, जोड़ीदार यूक्लिडियन दूरी में से एक कम से कम । आप यह कैसे तर्क देते हैं? $\sqrt {1.1}$

— लुका त्रेविसन

Answer 2

एक समबाहु त्रिभुज पर 3 अंक A, B, C लें और केंद्र में 3 और बिंदु D, E, F जोड़ें। यह स्पष्ट है कि आप कट के एक तरफ ए, बी, सी में से दो चाहते हैं, तो मान लें कि इन तीन बिंदुओं पर कटौती (एबी; सी) है। अब, डी, ई, एफ में से प्रत्येक को कट के सी तरफ जाना है, इसलिए इष्टतम कटौती (एबी; सीडीईएफ) है, और अनुपात आसानी से 2/3 होने की जाँच की जाती है।

अब, एक छोटे से समबाहु त्रिभुज को बनाने के लिए प्रत्येक बिंदु D, E, F को केंद्र से थोड़ा दूर ले जाएँ। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वे किस दिशा में हैं, जब तक वे केंद्र के चारों ओर सममित न हों। यदि आप उन्हें एक छोटे से पर्याप्त दूरी पर स्थानांतरित करते हैं, तो इष्टतम कटौती अभी भी होनी है (एबी; सीडीईएफ)। इस कट की लंबाई पर विचार करें। किनारों (एसी, बीसी) किनारों की कुल लंबाई (एबी, बीसी, एसी) के 2/3 रूप हैं। समरूपता द्वारा, किनारों की कुल लंबाई (AD, AE, AF, BD, BE, BF) किनारों की लंबाई के 2/3 (AD, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE, CF) हैं )। लेकिन किनारों में से कोई भी (डीई, ईएफ, डीएफ) कट में नहीं है। तो इस कट का अनुपात सख्ती से 2/3 से कम है।

आपको कॉन्फ़िगरेशन खोजने के लिए इस निर्माण को अनुकूलित करने में सक्षम होना चाहिए जहां इष्टतम कटौती 2/3 से काफी कम है। इसे आजमाते हुए, मुझे लगता है कि यदि आप एक ही केंद्र वाले दो समबाहु त्रिभुजों में व्यवस्थित छह बिंदुओं को लेते हैं, तो छोटे वाले बड़े के आकार का, फिर अधिकतम। -कट बन जाता है। बजाय कुल वजन ।0.64082/$(\sqrt{6}-1)/5 \approx .2899$$.6408$$2/3$

Comments

अच्छा है, तुम सही हो! खैर, एक और सुरुचिपूर्ण अनुमान धूल को काटता है ... यह अभी भी एक खुला सवाल है कि क्या विमान में निरंतरता 1/2 से अधिक है, या क्या आप समूहों के साथ प्राप्त कर सकते हैं। , जहां । मैं इसके बारे में अधिक सोचूंगा। k α > $1 - O(k^{-\alpha})$$k$$\alpha > 1$

— मिलोस हसन

मेरा अनुमान है कि सही जवाब कुछ ऐसा है जो कि .64 की तुलना में बहुत कम नहीं है, लेकिन मुझे इस बात का कोई अंदाजा नहीं है कि कम बाउंड दिखाने के बारे में कैसे जाना जाता है।

— पीटर शोर