क्या कोई P = NP को P = PH से आगे बढ़ा सकता है?

में वर्णनात्मक जटिलता , Immerman है

कोरोलरी 7.23। निम्नलिखित स्थितियां समतुल्य हैं:
1. पी = एनपी।
2. ओवरनाइट, ऑर्डर की गई संरचनाएं, एफओ (एलएफपी) = एसओ।

इसे "जटिलता" पी = एनपी के रूप में माना जा सकता है कि यह एक बड़े पैमाने पर जटिलता वर्गों के बराबर बयान (संभवतः) है। ध्यान दें कि SO बहुपद-काल-पदानुक्रम PH को कैप्चर करता है, और FO (LFP) P को कैप्चर करता है, इसलिए इसे P = NP iff P = PH माना जा सकता है।

(इसका दिलचस्प हिस्सा यह कथन है कि P = NP का अर्थ है P = PH; यह तुच्छ है कि P = CC का तात्पर्य किसी भी वर्ग CC के लिए P = NP से है, जिसमें NP है। Immerman बस टिप्पणी करता है "यदि P = NP तो PH = NP है" , संभवतः क्योंकि पी = एनपी का उपयोग पीएच की ओरेकल परिभाषा के साथ किया जा सकता है ताकि यह दिखाया जा सके कि पूरे पदानुक्रम ढह गए हैं।)

मेरा सवाल यह है कि:

इस तरह से पी = एनपी को कितना बढ़ाया जा सकता है?

विशेष रूप से, सबसे बड़ा ज्ञात वर्ग CC 'ऐसा है कि P = NP का तात्पर्य P = CC' है, और सबसे छोटा वर्ग CC, जो P = NP का अर्थ है CC = NP? यह P = NP को समतुल्य प्रश्न CC = CC 'द्वारा प्रतिस्थापित करने की अनुमति देगा। पी एक बल्कि शक्तिशाली वर्ग प्रतीत होता है, जो इसे एनपी से अलग करने की कोशिश कर रहे तर्कों के लिए थोड़ा "wiggle कमरा" प्रदान करता है: विगेल रूम को कितनी दूर तक बढ़ाया जा सकता है?

मैं निश्चित रूप से एक ऐसे तर्क में भी दिलचस्पी लूंगा जो दिखाता है कि पी = पीएच इस दृष्टिकोण की सीमा है।

संपादित करें: बारीकी से संबंधित प्रश्न पर ध्यान दें कि पी = एनपी का मतलब पी = एपी (यानी पी = PSPACE) क्यों नहीं है? जो दूसरी दिशा पर ध्यान केंद्रित करता है, हमारे पास ऐसा प्रमाण क्यों नहीं है कि P = PSPACE। केव और पीटर शोर के उत्तर में तर्क दिया गया है कि विकल्प की संख्या निश्चित है। एक अन्य संबंधित प्रश्न एक निर्णय समस्या है जो पीएच में होने के लिए ज्ञात नहीं है, लेकिन पी में होगा यदि पी = एनपी जो एक उम्मीदवार की समस्या के लिए पूछता है; इस प्रश्न के उत्तर का निर्माण करने के लिए भी उत्तर का उपयोग किया जा सकता है, हालांकि ये वर्ग कुछ हद तक कृत्रिम हैं (शुक्रिया जो इस बात की ओर इशारा करते हैं। एक अधिक सामान्य सेटिंग में, एक्सपटाइम और अल्टरनेशन के कोलैपिंग ने ट्यूरिंग मशीन को बाध्य किया यह पूछता है कि क्या एक प्रत्यावर्तन पदानुक्रम में किसी भी स्तर पर एक स्थानीय पतन एक ऊर्ध्व पतन को प्रेरित करता है, जैसा कि बहुपद-काल के पदानुक्रम के साथ होता है।

— आंद्रस सलामन
स्रोत

संबंधित (बेशर्म आत्म-प्रचार): एक निर्णय समस्या जिसे पीएच में नहीं जाना जाता है, लेकिन पी में होगा यदि पी = एनपी ।

— त्सुयोशी इटो

पी = एनपी में कौन सी भाषाएं हैं, इसे औपचारिक रूप देने के रूप में, रेगन ने जटिलता वर्ग एच को पेश किया। एक भाषा एच में है अगर और केवल अगर एल पी में है तो प्रत्येक ओरेकल सापेक्ष ताकि पी = एनपी । इस प्रकार, H में है यदि कथन P = NP P P से है। PH H वैकल्पिक-समय । टोडा के प्रमेय, और टोडा के प्रमेय में से कुछ , यह भी सत्य है कि H P हर । (मूल रूप से, किसी भी संभोग संतोषजनक पी

L

$L$

^{O}

$^O$

O

$O$

^{O}

$^O$

^{O}

$^O$

L

$L$

⟹ L \in

$\implies L \in$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

(O (\log \log n), p o l y)

$(O(\log \log n), \rm{poly})$

\subseteq

$\subseteq$

^{{m o d}_{q} P}

$^{\rm{mod}_q \rm{P}}$

q

$q$

^{O}

$^O$ = NP H पर एक नई ऊपरी सीमा देता है। यह खुला है कि क्या H = PH।)

^{O}

$^O$

— रसेल इम्पेग्लियाज़ो

@ रसेल: धन्यवाद! यह टिप्पणी एक उत्तर की तरह लगती है।

— एन्द्रस सलामोन

अंत में केन रेगन की कक्षा का संदर्भ मिला : "इंडेक्स सेट्स एंड प्रेजेंटेशन ऑफ कॉम्प्लेक्सिटी क्लासेस" की परिभाषा 6.3 देखें, जो यहां उपलब्ध है: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi/10.1.1.32.8927 । आधिकारिक संस्करण यहाँ: dx.doi.org/10.1016/0304-3975(95)00146-8

H

$H$

— जोशुआ ग्रोचो

चलो एफ (एन) किसी भी अनबाउंड फ़ंक्शन हो। H अल्टरनेशन-टाइम (f (n), पॉली) में समाहित नहीं है और यदि आप P = NP को सिद्ध कर सकते हैं P =

— अल्टरनेशन

जवाबों:

रसेल इम्पेग्लियाज़ो की टिप्पणी से :

औपचारिक रूप से यह कि कौन-सी भाषाएँ अगर , Regan ने जटिलता वर्ग । एक भाषा में है यदि और केवल यदि में है हर ओरेकल के सापेक्ष ताकि । इस प्रकार, में है अगर बयान relativizes। $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{H}$ $L$ $\mathsf{H}$ $L$ $\mathsf{P}^O$ $O$ $\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$ $L$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies L\in\mathsf{P}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{H} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\lg\lg n),\mathsf{poly})$ । टोडा के प्रमेय से, और टोडा के प्रमेय में से कुछ , यह भी सत्य है कि हर । मूल रूप से, कोई भी oracle संतोषजनक एक नया अपर बाउंड देता है जो । यह खुला है कि क्या । $\mathsf{H} \subseteq \mathsf{P}^{\mathsf{mod}_q \mathsf{P}}$ $q$ $\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{H}=\mathsf{PH}$

और लांस फोर्टन की टिप्पणी से :

चलो किसी भी अनबाउंड फ़ंक्शन हो। में निहित नहीं है और यदि आप साबित हो सकता है का तात्पर्य तत्कालीन से भिन्न है । $f(n)$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{L}$

की परिभाषा के लिए में परिभाषा 6.3 देखें $\mathsf{H}$

केनेथ डब्ल्यू रेगन, " इंडेक्स सेट और प्रेजेंटेशन ऑफ कॉम्प्लेक्सिटी क्लासेस ", 1999

— Kaveh
स्रोत

@ जोश, लांस की टिप्पणी के बारे में, मुझे लगता है कि मुझे कुछ याद आ रहा है क्योंकि अनबाउंडेड है और AltTime (f, poly) में Russel की टिप्पणी के अनुसार H शामिल है।

f (n) = \lg \lg n

$f(n) = \lg \lg n$

— केवह

मैं किसी बात को लेकर उलझन में हूं। इस विषय पर जोश ग्रूचो के पहले वाले सवाल का जवाब क्यों नहीं है ( cstheory.stackexchange.com/a/2039/1575 ) रेगन के सवाल का भी अनिवार्य रूप से जवाब दें? यानी, यह एक ऐसी भाषा का उदाहरण नहीं देता है जो कि पी में है अगर पी = एनपी एक सापेक्ष तर्क द्वारा, लेकिन यह पी में नहीं है अगर पी! = एनपी। और यह क्यों नहीं दिखाता है कि यदि पी! = एनपी है, तो एच पीएच से कड़ाई से बड़ा है?

— स्कॉट

वास्तव में, एक संभावित जवाब मेरे पास होता है। क्या यह मुद्दा है कि, ग्रूचो के निर्माण में, भाषा L की बहुत परिभाषा ओरेकल O पर निर्भर करेगी?

— स्कॉट

@ संकेत: वास्तव में, आपका संभावित उत्तर सही है, क्योंकि स्ट्रिंग्स का उपयोग विकर्ण के लिए किया जाता है (और वास्तव में, क्या एल में या बाहर रखा जाता है) ओरेकल पर निर्भर करेगा। अधिक विस्तार से, यदि , भाषा परिमित है, तो भिन्न लिए भिन्न केवल सूक्ष्म रूप से भिन्न है। लेकिन अगर हम सभी ऐसे मानते हैं कि , तो इन अलग-अलग लिए भी P- समतुल्य नहीं हो सकता है, क्योंकि यह सेट का घना उपसमूह है ।

P^{O} = N P^{O}

$P^O = NP^O$

L

$L$

L

$L$

O

$O$

O

$O$

P^{O} \neq N P^{O}

$P^O \neq NP^O$

L

$L$

O

$O$

2^{Σ^{*}}

$2^{\Sigma^*}$

— जोशुआ ग्रूचो

जैसा कि मैंने दूसरे प्रश्न के उत्तर में लिखा था कि आइए हम एक एल्गोरिथ्म देकर वैकल्पिक विकल्पों की संख्या में तर्क को रचनात्मक और समान बनाते हैं, जो यह है कि यह मानते हुए कि हमारे पास SAT के लिए एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म है और देखें कि हमें क्या मिलेगा स्थिर नहीं है। $\Sigma^P_k$ $k$

बता दें कि दो इनपुट और साथ एक DTM है । इसे एक समस्या के लिए एक सत्यापनकर्ता के रूप में सोचें । $M$ $x$ $y$ $\mathsf{NP}$

चलो एक एल्गोरिथ्म है कि एक टीएम धर्मान्तरित हो आकार का एक सर्किट के लिए जो गणना करता है आकार के इनपुट पर चरणों के लिए । $Cook(M, \vec{n}, t)$ $M$ $s(\vec{n},t) \in \mathsf{poly}$ $M$ $\vec{n}$ $t$

मान लें कि और एक नियतात्मक एल्गोरिथ्म है है कि में समय सर्किट-सैट प्रमाण पत्र विस्तार समस्या का हल । $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $A$ $p\in\mathsf{poly}$

इन अवयवों के साथ हम TQBF के लिए एक एल्गोरिथ्म को परिभाषित करते हैं, जो एक मात्राबद्ध बूलियन सूत्र दिया गया है, जो आंतरिक रूप से सबसे अधिक मात्रा को हटाता है और इसे एक क्वांटिफायर मुक्त के साथ बदल देता है। बता दें कि th स्टेप पर सूत्र का आकार है , फिर हमारे पास । यदि सूत्र में मात्रा है, तो हम साथ समाप्त होते हैं, जहां इनपुट के रूप में दिए गए TQBF सूत्र का आकार है। $s_i$ $i$ $s_{i+1} = s\circ p(s_i)$ $k$ $q(n) = (s \circ p)^k(n)$ $n$

यदि स्थिर है, तो । चूंकि सर्किट-वैल्यू इसलिए हमारे पास एक बहुपद-काल एल्गोरिदम है। $k$ $q(n) \in \mathsf{poly}$ $\mathsf{P}$

यदि तब बहुपद समय नहीं है, तो हम एक एल्गोरिथ्म प्राप्त करते हैं जो । जैसे यदि हमें एक क्वासिपोलिनोमियल-टाइम एल्गोरिथ्म मिलता है। के लिए हम कुछ भी nontrivial नहीं मिलता है। $k \in \omega(1)$ $q(n)$ $n^{2^{O(k)}}$ $k = \lg \lg n$ $k = \lg n$

मुझे लगता है कि हम वास्तव में जिस चीज में रुचि रखते हैं, वह सबसे बड़ा वर्ग जैसे कि जहां हमारे सभी वर्तमान को औपचारिक रूप देने के लिए एक मजबूत पर्याप्त सिद्धांत है। परिणाम (जैसे आप इसे ले सकते हैं ) क्योंकि इन परिणामों का मुख्य बिंदु को सिद्ध करना आसान है । $C$

T ⊢ P = N P \to P = C

$T \vdash \mathsf{P} = \mathsf{NP} \to \mathsf{P}=C$

T

$T$

Z F C

$\mathsf{ZFC}$

P \neq N P

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

यदि हम कमजोर सिद्धांत लेते हैं, तो परिणाम अभी भी दिलचस्प हो सकता है, हालांकि यह वास्तव में के सबसे बड़े मूल्य पर एक ऊपरी बाध्य नहीं । जब रेगन relativization का उपयोग को परिभाषित करने के लिए करता है, तो वह अनिवार्य रूप से उन लोगों के लिए तर्कों को प्रतिबंधित कर रहा है, जो उन्हें relativize करते हैं। हम जिसके परिणामस्वरूप relativize नहीं है कि हम तुलना में एक बड़ा वर्ग मिल सकता है का उपयोग करते हैं कि के बराबर होगा अगर । $C$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

अधिक दार्शनिक नोट के रूप में, मैं व्यक्तिगत रूप से वैकल्पिक वास्तविकताओं या दुनिया के रूप में सापेक्षता के बारे में सोचने के विचार को नापसंद करता हूं। खुद से "रिलेटिव वर्ल्ड्स" में स्टेटमेंट्स हमें असंबद्ध सेटिंग में स्टेटमेंट के बारे में कोई जानकारी नहीं देते हैं। इस उदाहरण के एक उदाहरण के रूप में take जिसे हममें से अधिकांश लोग सच नहीं मानते हैं, लेकिन संबंधित संस्करण सच है प्रायिकता के साथ एक यादृच्छिक 1. जैसा कि एक अन्य उदाहरण टेक जो सच है, लेकिन प्रायिकता 1 के साथ एक यादृच्छिक संख्या में गलत wrt बन जाता है। $\mathsf{BPP} = \mathsf{PP}$ $\mathsf{IP} = \mathsf{PSpace}$

मुझे यह भी पता चलता है कि एक जटिलता वर्ग समस्याग्रस्त से संबंधित होने का केवल एक ही सही तरीका है जो बहुत सारी गलतफहमी पैदा करता है (जैसे कि उनके बहुआयामी अर्थों में जटिलता वर्गों पर एक कार्यात्मक संचालन के रूप में सापेक्षताकरण, एक सापेक्षताकरण एक गणना मॉडल का एक संशोधन है नहीं, कार्यों या भाषाओं का एक वर्ग)। मुझे लगता है कि सापेक्षता को संशोधित (संवादात्मक) संगणना के ढांचे के रूप में देखना अधिक उपयोगी है। इस तरह एक जटिलता वर्गों (इसके इरादे में) से संबंधित होने के कई उपयोगी तरीके हैं। एक संबंधित ढांचे से असंबंधित सेटिंग के बारे में कोई भी जानकारी प्राप्त करने के लिए हमें गैर-मानक विश्लेषण में हस्तांतरण सिद्धांत के समान किसी प्रकार के हस्तांतरण सिद्धांत की आवश्यकता होती है। ध्यान दें कि कक्षाओं के लिए सापेक्षता के कुछ विशेष तरीके को चुनना जो कक्षाओं के बीच ज्ञात संबंधों को संरक्षित करता है, हमें एक हस्तांतरण सिद्धांत नहीं देता है (यह मुख्य रूप से साहित्य में उपयोग किया जाने वाला मुख्य मानदंड है जो यह तय करने के लिए उपयोग किया जाता है कि "" एक वर्ग का सही संबंध है)।

— कावेह
स्रोत

मैं एक निश्चित तरीके से "एक सापेक्ष कम्प्यूटेशनल ढांचे के रूप में एक सापेक्ष गणना के रूप में देखने से सहमत हूं"। सामान्यतया सापेक्षता की प्रस्तुति को उस स्थिति के साथ शुरू करके समझने के लिए अधिक सहज बनाया जा सकता है जहां मशीन (एस) (इंटरेक्टिव ओरेकल एक्सेस के साथ) पहले दी गई है, और एक प्रतिद्वंद्वी को ऑरेकल के लिए एक भाषा का चयन करने की अनुमति है। फिर एक स्थिति पर स्विच किया जाता है जहां एक (जटिल) ओरेकल भाषा पहले दी जाती है, और मशीनों को अब विशिष्ट ऑरेकल द्वारा दी गई दुनिया के लिए अनुकूलित किया जा सकता है।

— थॉमस क्लिंपेल