कुलपति-परिमाण का अनुमान लगाना

निम्नलिखित समस्या के बारे में क्या जाना जाता है?

फ़ंक्शंस के संग्रह को देखते हुए , वीसी-डायमेंशन लिए बाधा के अधीन सबसे बड़ा कुछ पूर्णांक । $C$ $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $S \subseteq C$ $(S) \leq k$ $k$

क्या इस समस्या के लिए अनुमानित एल्गोरिदम या कठोरता परिणाम हैं?

— हारून रोथ
स्रोत

कार्यों को अधिकतम करने में कोई भूमिका नहीं लगती है | S |

— सुरेश वेंकट

फ़ंक्शंस का चुनाव एस के वीसी-आयाम को निर्धारित करता है समस्या यह है कि जितना संभव हो उतने बड़े फ़ंक्शंस की क्लास लगाएं, जो कि वीसी-आयाम बाधा के अधीन हो।

— हारून रोथ

समझा। तो "ज्यामिति भूमि" के लिए अनुवादित, आपको श्रेणियों का एक संग्रह दिया जाता है (एक विशिष्ट कार्य के रूप में कार्य करता है) और आप बंधे हुए कुलपति आयाम का एक सबसे बड़ा उप-विभाजन चाहते हैं।

— सुरेश वेंकट

प्रश्न का उत्तर देने में दूसरी समस्या: C को कैसे प्रस्तुत किया जाता है? हम जानते हैं कि Sauer के लेम्मा द्वारा का अधिकतम संभव आकार है, और में एक फ़ंक्शन को भी लिखने के लिए बिट्स की आवश्यकता होती है ।

S

$S$

O (2^{n k})

$O(2^{nk})$

C

$C$

n

$n$

— सुरेश वेंकट

सही। मैं किसी भी प्रतिनिधित्ववादी शासन में परिणामों में रुचि रखता हूं। आप सोच सकते हैं कि को प्रस्तुत किया गया हैमैट्रिक्स, जिस स्थिति में चलने का समययह `` कुशल 'होगा (हालांकि समय , जो कि अंक के सभी संग्रह बिखर गए थे , इसे पूरी तरह से जांचना होगा )। यदि कोई भी एल्गोरिथम परिणाम केवल ब्लैक-बॉक्स क्वेरी के में फ़ंक्शन तक पहुंच संभव , तो यह और भी बेहतर होगा।

C

$C$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n \times k}

$2^{n\times k}$

k

$k$

C

$C$

— एरॉन रोथ

जवाबों:

संपादित करें : मूल समस्या -H है जब लगभग जहां सेट की संख्या को दर्शाता है। $n^{1-\epsilon}$ $k=1$ $n$

दोहरी एक hypergraph के किनारों के साथ कोने का आदान प्रदान, और घटनाओं के संरक्षण द्वारा प्राप्त की है। यह समस्या को समझने के लिए जब हम ध्यान दें एक hypergraph वीसी आयाम 1 है कि iff अपनी दोहरी पार मुक्त (है सभी के लिए आसान है में , की कम से कम एक में खाली है)। $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

द्वंद्व से मूल समस्या (के लिए ) बराबर करने के लिए, एक hypergraph दिया है , एक अधिकतम आकार को खोजने के साथ क्रॉस-फ़्री। $k=1$ $(V, \mathcal{S})$ $U \subseteq V$ $(U, \{S \cap U \mid S \in \mathcal{S}\})$

वास्तव में, यह (दोहरी) समस्या तब भी बहुत कठिन है, जब सभी सेट में आकार 2 है: तब यह एक ग्राफ है और हम एक अधिकतम-आकार वाले शीर्ष आकार की तलाश कर रहे हैं जिसका प्रेरित उपसमूह जिसमें कोई दो न हो -वे रास्ता (यह देखना मुश्किल नहीं है यह एकमात्र तरीका है जिससे एक क्रॉसिंग जोड़ी पैदा हो सकती है, यह मानते हुए कि ग्राफ़ में कम से कम 4 लंबवत हैं)। लेकिन यह संपत्ति वंशानुगत और अनैतिक है और इस प्रकार हम कठोरता दिखाने के लिए फीगे और कोगन के परिणाम का उपयोग कर सकते हैं । $\mathcal{S}$

मूल उत्तर

के लिए दोहरी समस्या (अधिकतम आकार को खोजने के ऐसी है कि के दोहरे वीसी आयाम सबसे 1 पर है) के भीतर अनुमान लगाने के लिए कठिन है (के साथ एक परिवार में सेट)। $k=1$ $S$ $S$ $n^{1-\epsilon}$ $\Theta(n)$

इसका कारण यह है कि एक परिवार के दोहरे वीसी-आयाम निम्न के अनुसार 1 iff है: सभी में , कम से कम खाली है। (यानी वीसी-मंद = 1 को दोहरी कहा जाता है जिसे अक्सर क्रॉसिंग-फ्रिनेस कहा जाता है।) $A$ $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

हम स्वतंत्र सेट से अधिकतम आकार के क्रॉस-फ़्री सबफ़ैमिली की गणना करने के लिए कम करते हैं। एक ग्राफ को देखते हुए कुछ डमी तत्व लिए एक हाइपरग्राफ जहां । के प्रत्येक शीर्ष के लिए , हम निम्नलिखित सेट को : जोड़ते हैं, $G=(V, E)$ $H=(X, S)$ $X = V \uplus E \uplus \{0\}$ $0$ $v$ $G$ $T_v$ $S$

{v} \cup {e ∣ e is an edge incident to v} .

$\{v\} \cup \{e \mid e \textrm{ is an edge incident to }v\}.$

यह एक परिवार को दिखाने के लिए मुश्किल नहीं है पार मुक्त iff है में स्वतंत्र है । $\{T_v\}_{v \in U}$ $U$ $G$

लेकिन मूल (मौलिक) समस्या के लिए, ऐसा लगता है कि कुछ और विचार की आवश्यकता है ... दिलचस्प लग रहा है!

— daveagp
स्रोत

कुछ प्रासंगिक संबंधित कार्य: वीसी-आयाम का अनुमान लगाना (अपने प्रतिनिधित्व में अकेले बंधे हुए वीसी-आयाम के साथ एक बड़े सबकोलेक्शन को खोजने के लिए) लॉगएनपी-पूर्ण है (एनओडीएनपी नॉनडेटर्मिनिज़्म के लॉग बिट्स के लिए एनपी प्रतिबंधित है)। वीसी-आयाम का अनुमान लगाने और अनुमान लगाने पर संबंधित काम का एक सा हिस्सा है जब रेंज स्पेस की प्रस्तुति अधिक कॉम्पैक्ट होती है (अच्छी तरह से भीतर संदर्भ देखें)

— सुरेश वेंकट
स्रोत