अखंडता अंतर और सन्निकटन अनुपात

जब हम एक कम से कम समस्या के लिए एक अनुमान एल्गोरिथ्म पर विचार करते हैं, तो इस समस्या के लिए एक आईपी सूत्रीकरण की अभिन्नता अंतर एल्गोरिदम के कुछ वर्ग (जैसे कि गोलाई या मौलिक-दोहरी एल्गोरिथ्म) के लिए एक अनुमान अनुपात का एक कम बाउंड देता है। वास्तव में, ऐसी कई समस्याएं हैं जिनका सबसे अच्छा सन्निकटन अनुपात अभिन्नता के अंतर से मेल खाता है।

कुछ एल्गोरिथ्म में कुछ समस्या के लिए अभिन्नता अंतर की तुलना में बेहतर सन्निकटन अनुपात हो सकता है, लेकिन मुझे नहीं पता कि ऐसा कोई उदाहरण मौजूद है या नहीं। यदि उत्तर हाँ है, तो क्या आप कुछ उदाहरण दे सकते हैं?

मुझे पता है कि कुछ समस्याएं कई गणितीय योगों को स्वीकार करती हैं। ऐसे मामलों में, गणितीय निरूपण को सबसे छोटी अभिन्नता के अंतर के साथ समझें, जब तक कि इसे बहुपद समय में हल किया जा सकता है (शायद कुछ योगों में जुदाई oracles का उपयोग किया जा सकता है)।

यह प्रश्न [प्रश्न: अखंडता गैप का महत्व] से संबंधित है ।

— Snowie
स्रोत

मुझे लगता है कि ज्यामितीय टीएसपी इस तरह की समस्या का एक उदाहरण होगा, लेकिन मेरे पास कोई संदर्भ नहीं है।

— 1948 को जुका सूमेला

और उन समस्याओं के बारे में जो शिफ्टिंग रणनीति का उपयोग करके पीटीएएस स्वीकार करते हैं? क्या उनमें से किसी के पास एक आईपी फॉर्मूलेशन है जो एक मनमाने ढंग से छोटे इंटीग्रिटी गैप के साथ है?

— जुका सुओमेला

@ जक्का ज्यामितीय टीएसपी एक अच्छा उदाहरण है। 4/3 समाकलन खाई उदाहरण एक समतल ग्राफ पर एक छोटा-पथ मीट्रिक है, और यह इयूक्लिडियन TSP या का एक उदाहरण में बदलने के लिए संभव हो जाना चाहिए

एक साथ विमान में TSP

खाई

ℓ_{1}

$\ell_1$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— लुका ट्रेविसान

मैंने इसे एक दिलचस्प खुले प्रश्न के रूप में उल्लेख किया है कि क्या प्लानर रेखांकन पर समस्याओं के लिए PTASs को शेराली-एडम्स या लासेरे विश्राम के स्तरों की निरंतर संख्या का उपयोग करके महसूस किया जा सकता है। (जहां स्थिरांक उस सन्निकटन राशन पर निर्भर करता है जिसे कोई प्राप्त करना चाहता है।) यह ज्ञात होना चाहिए, या कम से कम वर्तमान तकनीकों के साथ साबित हो सकता है, कि ग्राफ़ की समस्याएं जिनमें घने रेखांकन में पीटीएएस हैं (जैसे अधिकतम कटौती) भी बहुपद का एक परिवार है मनमाने ढंग से छोटे अभिन्न अंतराल के साथ आकार आराम।

— लुका ट्रेविसन

संबंधित प्रश्न: क्या कोई समस्या है जो यह साबित करती है कि कोई भी बहुपद-आकार एलपी वर्तमान सर्वश्रेष्ठ ज्ञात सन्निकटन अनुपात नहीं दे सकता है? क्या कुछ प्रतिबंधित प्रकार के एलपी के लिए भी इस तरह की बात को साबित करना संभव है?

— दानू

जवाबों:

जैसा कि बताया गया है, इसके कुछ उदाहरण हैं।

एक शास्त्रीय उदाहरण अधिकतम मिलान है, जहां "प्राकृतिक" विश्राम (विषम सेट बाधाओं के बिना) में 2 का अंतर है, जबकि निश्चित रूप से एक कुशल एल्गोरिदम है। यह पूरी तरह से योग्य नहीं है, क्योंकि एक घातीय आकार एलपी है जिसे दीर्घवृत्त के माध्यम से हल किया जा सकता है।

एक पेचीदा एक सुविधा सुविधा है। यहाँ पर प्राकृतिक विश्राम में एकात्मता का अंतर है। फिर भी स्थानीय खोज आधारित एल्गोरिदम निरंतर कारक सन्निकटन देते हैं।

एक और बहुत दिलचस्प एक (हालांकि यह एक अधिकतम समस्या है) यह पेपर है: http://www.cis.upenn.edu/~sanjeev/postscript/FOCS09_MaxMin.pdf । यहां एलपी का एक बड़ा अंतर है, और फिर भी एक एल्गोरिथ्म जो एलपी का उपयोग कर सकता है वह बेहतर कर सकता है।

— कुणाल
स्रोत

आपका बहुत बहुत धन्यवाद। इस उत्तर में मैं क्या देख रहा था, विशेष रूप से चक्रवर्ती एट अल द्वारा लिखित एफओसीएस पेपर। (यह पेपर मुझे बहुत रुचिकर लगता है)। इसलिए मैंने इस उत्तर को स्वीकार किया। मैं अभी भी अधिक उदाहरणों की तलाश कर रहा हूं और इसलिए जो कोई अन्य उदाहरण दे सकता है, उसे बहुत सराहना मिलेगी।

— स्नोइ

ऐसे कई उदाहरण हैं जिनमें एक अर्ध-प्रोग्रामिंग प्रोग्रामिंग विश्राम एक सन्निकटन की अनुमति देता है जो रैखिक प्रोग्रामिंग आराम के लिए ज्ञात अभिन्नता अंतराल से बेहतर है।

उदाहरण के लिए, अधिकतम कटौती के मानक रेखीय प्रोग्रामिंग विश्राम में 1/2 की एक अंतर है, और यह बहुत अधिक परिष्कृत रैखिक प्रोग्रामिंग छूट (cf de la Vega-केन्याई और Schoenebeck-Trevisan-Tulsiani) के लिए भी सही है, लेकिन Goemans -विलियम्सन एसडीपी एल्गोरिथ्म में सन्निकटन है ।878 ...

$\Omega(\log n)$ $O(\sqrt{\log n})$

शायद कम ही जाना जाता है, कार्लॉफ़ और ज़्विक से पता चलता है कि एसडीपी का उपयोग कर मैक्स 3 एसएटी को लगभग अनुमानित किया जा सकता है, इस संस्करण में क्लॉस में 7/8 के भीतर 1, 2 या 3 शाब्दिक हो सकते हैं, जबकि गोएम्स और विलियमसन ने रैखिक प्रोग्रामिंग विश्राम का अध्ययन किया है कि वे 3/4 सन्निकटन सिद्ध करने के लिए उपयोग किया जाता है (यानाकिस ने अन्य तरीकों से पहले 3/4 सन्निकटन दिया था), और मैक्स 3 एसएटी के गोएम्स-विलियम्सन एलपी छूट को आसानी से 3/4 अभिन्नता दिखाई देती है।

— लुका ट्रेविसन
स्रोत

GF_2 पर रैखिक प्रणालियों को हल करने पर अनुदान द्वारा एक परिणाम भी है। एक अच्छे समाधान के साथ समीकरण प्रणालियों के लिए, आपके पास 2 के एसडीपी इंटीग्रिटी गैप (बहुत मजबूत रूप में) है जबकि आप समस्या को हल करने के लिए गॉसियन एलिमिनेशन का उपयोग कर सकते हैं।

— YI WU
स्रोत