अभिन्नता गैप का महत्व

Question

मुझे हमेशा इंटिग्रिटी गैप (आईजी) के महत्व को समझने और उस पर सीमाएं लगाने में परेशानी हुई । IG समस्या के विश्राम का एक इष्टतम वास्तविक समाधान (a) का एक इष्टतम पूर्णांक उत्तर (गुणवत्ता) का अनुपात है। एक उदाहरण के रूप में शीर्ष कवर (VC) पर विचार करें। वीसी को रेखीय समीकरणों के निम्नलिखित सेट का एक इष्टतम पूर्णांक समाधान खोजने के रूप में कहा जा सकता है:

हम शून्य / एक महत्वपूर्ण चर है $x_v$ प्रत्येक शिखर के लिए रों $v \in V(G)$ ग्राफ के $G$ । समीकरणों हैं: $0 \leq x_v \leq 1$ के लिए $v\in V(G)$ , और $1 \leq x_v+x_u$ प्रत्येक बढ़त के लिए $uv \in E(G)$ । हम मान जो कम कर देंगे के लिए देख रहे $\sum_{v \in V(G)} x_v$ ।

इस समस्या की छूट $0$ और बीच वास्तविक मूल्यों की अनुमति देती है, $1$इसलिए समाधान का स्थान बड़ा है और एक इष्टतम वास्तविक समाधान एक इष्टतम पूर्णांक समाधान से छोटा हो सकता है जिसे हम खोजना चाहते हैं। इसलिए हमें पूर्णांक समाधान खोजने के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग से प्राप्त इष्टतम वास्तविक उत्तर पर "गोलाई" प्रक्रिया करने की आवश्यकता है। इष्टतम पूर्णांक समाधान इष्टतम वास्तविक समाधान और गोलाई प्रक्रिया के परिणाम के बीच होगा। आईजी एक इष्टतम पूर्णांक समाधान का एक इष्टतम वास्तविक समाधान का अनुपात है और गोलाई प्रक्रिया के बारे में कुछ नहीं कहता है। गोलाई प्रक्रिया (सिद्धांत में) वास्तविक समाधान की पूरी तरह से अनदेखी कर सकती है और सीधे इष्टतम पूर्णांक समाधान की गणना कर सकती है।

क्यों लोग आईजी पर सीमा साबित करने में रुचि रखते हैं?

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दो गैर-उत्तर: (1) अनुभवजन्य कंप्यूटर विज्ञान। बहुत बार (निश्चित रूप से हमेशा नहीं!) यह मामला प्रतीत होता है कि अभिन्नता of सन्निकटन की कठोरता, कम से कम कुछ मान्यताओं के तहत। इसलिए यदि आपको कोई अंदाजा नहीं है कि लगभग समस्या एक्स के लिए कितनी कठिन है, तो अभिन्नता अंतराल पर तंग सीमा साबित करना आपको एक शिक्षित अनुमान दे सकता है। आपके पास कम से कम एक अनुमान है जिसे आप साबित करने की कोशिश कर सकते हैं। (२) यदि आपका एल्गोरिथ्म अभिन्नता की खाई को तोड़ता है, तो यह संकेत हो सकता है कि आपका एल्गोरिथ्म कुछ दिलचस्प कर रहा है (जैसे विशिष्ट समस्या के अच्छे दहनशील गुणों का दोहन)।

— जुका सुओमेला

चार्ल्स, इंटीग्रिटी गैप्स इन दिनों जटिलता सिद्धांत के भीतर एक सक्रिय क्षेत्र है। अक्सर लोग विश्राम के बड़े परिवारों के लिए अंतराल साबित करते हैं (केवल एक छूट के बजाय)। इस मामले में आप ऐसे परिणामों के बारे में सोच सकते हैं जो एक दिलचस्प कम्प्यूटेशनल मॉडल के खिलाफ कम सीमा साबित करते हैं। प्रूफ जटिलता के गहरे संबंध भी हैं।

— मोरिट्ज़

Answer 1

इंटीग्रिटी गैप अनिवार्य रूप से पूर्णांक प्रोग्राम को अनुमानित करने में एक विशेष रैखिक या उत्तल छूट की अंतर्निहित सीमाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। आम तौर पर, यदि किसी विशेष छूट का अभिन्नता अंतर , तो उस छूट के आधार पर कोई भी सन्निकटन एल्गोरिथ्म एक x -approximation से बेहतर करने की उम्मीद नहीं कर सकता है । इसलिए बहुत कम से कम, इंटीग्रिटी गैप एल्गोरिदम डिज़ाइनरों के लिए रुचि रखते हैं क्योंकि वे कुछ तकनीकों में सीमाएँ सुझाते हैं। $x$$x$

तो क्यों नहीं बस एक और एलपी छूट या अन्य तकनीकों पर स्विच करें और आगे बढ़ें? रैखिक और उत्तल प्रोग्रामिंग सन्निकटन एल्गोरिदम के लिए केंद्रीय साबित हुए हैं; कई समस्याओं के लिए एक प्राकृतिक एलपी या एसडीपी सूत्रीकरण की अभिन्नता अंतराल सबसे अच्छा एल्गोरिथ्म के अनुमानित अनुपात के साथ-साथ सन्निकटन अनुपात की कठोरता के बराबर है। यह केवल एक अनुभवजन्य अवलोकन है, लेकिन इसका मतलब है कि एक अभिन्नता की खाई को साबित करना एक बेहतर एल्गोरिथ्म या कम बाध्य के बहुत मजबूत परिणामों का सुझाव दे सकता है।

इस घटना के गहरे और अधिक कठोर कारण हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, अद्वितीय खेलों के अनुमान को मानते हुए, यह ज्ञात है कि बाधा संतोष समस्याओं के लिए सन्निकटन अनुपात और अनुपयुक्तता अनुपात एक साधारण एसडीपी छूट के अभिन्न अंतर के बराबर है ( हर सीएसपी के लिए इष्टतम एल्गोरिदम और अनुपयुक्तता परिणाम देखें ? प्रसाद राघवेंद्र द्वारा)

अंत में, अभिन्नता अंतराल बिना शर्त निचले सीमा का प्रतिनिधित्व करते हैं । आमतौर पर, हम अप्रमाणित मान्यताओं (जैसे पर भरोसा करने की जरूरत ) अगर हम कम सीमा में किसी भी प्रगति करने के लिए चाहते हैं, लेकिन गणना के प्रतिबंधित मॉडल के लिए कभी-कभी हम दूर इसके बिना (देखें प्राप्त कर सकते हैं व्याख्यान नोट्स लुका ट्रेविसान द्वारा)। इंटीग्रिटी गैप, कम्प्यूटेशनल के बजाय विशुद्ध रूप से ज्यामितीय होने के नाते, अतिरिक्त मान्यताओं के सामान के बिना काफी शक्तिशाली निचले सीमा प्राप्त करने का एक तरीका है।$P \neq NP$

Answer 2

$a$$c$$a/c$$a$$1/c$

$I$$I$

Answer 3

इंटीग्रिटी गैप एक उपयोगी संकेतक है कि आईपी कितनी अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है। अनौपचारिक, सहज तरीके से इसके बारे में सोचना बेहतर हो सकता है। एक उच्च अभिन्नता अंतर का अर्थ है कि कुछ तरीके काम नहीं करेंगे। उदाहरण के लिए, कुछ प्राच्य / दोहरी विधियाँ, एक छोटे अभिन्न अंतर पर निर्भर करती हैं। मानक प्राणिक वर्टेक्स कवर एलपी के लिए, दोहरी एलपी अधिकतम मिलान के लिए कहता है। इस मामले में, हम निम्नलिखित कर सकते हैं:

• दोहरी एलपी (अधिकतम भिन्न मिलान) के लिए एक इष्टतम आंशिक समाधान$\boldsymbol{y}$
• 2 के एक कारक द्वारा समाधान को गुणा करें (सभी किनारे भार )$\boldsymbol{y}$
• यह एक इंटीग्रल के लिए primal LP में कनवर्ट करें (प्रत्येक किनारे वेक्टर से अपने वजन का आधा हिस्सा वेक्टर में प्रत्येक समापन बिंदु पर देता है , फिर प्रत्येक है) साथ बदल दिया गया )।$\boldsymbol{x}$$2\boldsymbol{y}$$\boldsymbol{x}$$x_i$$\min(\lfloor x_i\rfloor, 1)$

इस मामले में यह सरल रणनीति काम करती है और हम प्राण एलपी के लिए एक संभव अभिन्न समाधान के साथ समाप्त होते हैं, जिसका वजन दोहरे एलपी के लिए संभव समाधान के दोगुने से अधिक नहीं है। चूंकि दोहरे एलपी के लिए एक संभव समाधान का वजन ऑप्ट के लिए एक कम बाध्य है, यह 2-अनुमानित एल्गोरिथ्म है।

अब, कहां अंतरंगता में अंतर आता है? इस मामले में IG 2 है, लेकिन अकेले इसका मतलब यह नहीं है कि एल्गोरिथ्म काम करेगा। बल्कि, यह सुझाव देता है कि यह काम कर सकता है। और यदि IG 2 से अधिक था, तो यह गारंटी देगा कि सरल रणनीति हमेशा काम नहीं करेगी । बहुत कम से कम हमें आईजी द्वारा दोहरे समाधान को गुणा करना होगा। इसलिए एकात्मता अंतर कभी-कभी हमें बताता है कि क्या काम नहीं करेगा । अभिन्नता की खाई यह भी बता सकती है कि हम किस प्रकार के सन्निकटन कारक की आशा कर सकते हैं। एक छोटी सी अभिन्नता गैप से पता चलता है कि राउंडिंग रणनीतियों आदि की जांच करना एक सार्थक दृष्टिकोण हो सकता है।

एक और दिलचस्प उदाहरण के लिए, हिटिंग सेट समस्या और -nets (Brönnimann & Goodrich, 1995) का उपयोग करके समस्या को समझने की शक्तिशाली तकनीक पर विचार करें । कई समस्याओं को हेटिंग सेट के उदाहरणों के रूप में तैयार किया जा सकता है, और कई समस्याओं के लिए एक रणनीति जो सफल रही है, ऐसा करने के लिए है, तो बस एक अच्छा नेट फाइंडर ढूंढें, अर्थात, छोटे -nets के निर्माण के लिए एक एल्गोरिथ्म , और सब कुछ क्रैंक करें बी एंड जी मेटा-एल्गोरिदम। इसलिए लोग (स्वयं शामिल) हेट सेट के प्रतिबंधित उदाहरणों के लिए नेट फ़ाइंडर खोजने की कोशिश करते हैं, जो कि किसी भी , आकार -net का निर्माण कर सकता है , जहाँ फ़ंक्शन$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$f(1/\varepsilon)$$f$जितना संभव हो उतना छोटा होना चाहिए। बीत रहा है एक ठेठ लक्ष्य है, यह एक -प्रकार प्रदान करेगा।$f(1/\varepsilon) = \mathcal{O}(1/\varepsilon)$$\mathcal{O}(1)$

जैसा कि यह पता चला है, सबसे अच्छा संभव फ़ंक्शन हिटिंग सेट (सम, रावित्ज़, शाहर, 2005) के लिए एक निश्चित एलपी की अभिन्नता अंतराल से घिरा हुआ है । विशेष रूप से, इष्टतम अभिन्न और आंशिक समाधान । हिटिंग सेट के अप्रतिबंधित उदाहरणों के लिए, इंटीग्रिटी गैप , लेकिन जब एक और समस्या हिटिंग सेट के रूप में होती है, तो IG कम हो सकता है। में इस उदाहरण लेखकों लगाने के लिए कैसे दिखाने के आकार के -nets$f$$\mathrm{OPT}_I \leq f(\mathrm{OPT}_f)$$\Theta(\log(m))$$\varepsilon$$\mathcal{O}((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$हिटिंग सेट के प्रतिबंधित उदाहरणों के लिए जो अक्ष-समानांतर बक्से मारने की समस्या के अनुरूप हैं। इस तरह वे उस समस्या के लिए सबसे अच्छा ज्ञात सन्निकटन कारक में सुधार करते हैं। यह एक खुली समस्या है कि इसमें सुधार किया जा सकता है या नहीं। अगर, इन प्रतिबंधित हिटिंग सेट के उदाहरणों के लिए, हिटिंग सेट एलपी के लिए IG , तो शुद्ध खोजक की गारंटी देना असंभव होगा, जिसका आकार -नेट्स है। , ऐसा करने के बाद से एक एल्गोरिथ्म का अस्तित्व होगा जो आकार अभिन्न हिट सेट की गारंटी देता है , लेकिन चूंकि$\Theta(\log \log m)$$\varepsilon$$o((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$$o(\mathrm{OPT}_f \log\log \mathrm{OPT}_f)$$\mathrm{OPT}_f\leq m$यह एक छोटा अभिन्न अंतर होगा। इसलिए यदि अभिन्नता का अंतर बड़ा है, तो यह साबित करने से लोगों को अपना समय बर्बाद करने से रोका जा सकता है।

Answer 4

जब आप कुछ एनपी-हार्ड अधिकतमकरण समस्या के लिए एक सन्निकटन एल्गोरिथ्म के साथ आ रहे हैं, तो कई मान हैं जिनकी आपको परवाह हो सकती है: OPT, आपकी समस्या का इष्टतम मूल्य है, जो कि OPT (IP) के समान है, इष्टतम आपकी समस्या के किसी भी सही आईपी सूत्रीकरण का मूल्य। ऑप्ट (एलपी) भी है, आपके आईपी के रैखिक छूट का इष्टतम मूल्य।

$OPT(LP) \geq OPT(IP)$

अंत में, वी है, एलपी समाधान को गोल करके आपके द्वारा प्राप्त समाधान का मूल्य। आप यह साबित करने में सक्षम होना चाहते हैं कि यह दिखाने के लिए कि आपका एल्गोरिथ्म एक सन्निकटन है, लेकिन अक्सर यह सीधे संभव नहीं है, क्योंकि आपके पास कोई नहीं है समाधान स्थान पर पकड़। इसके बजाय, जो लगभग हमेशा सिद्ध होता है, वह है । यह निश्चित रूप से तात्पर्य है , लेकिन मजबूत है। विशेष रूप से, यदि आपके आईपी फॉर्मूलेशन की इंटीग्रिटी गैप से बड़ी है , तो उपरोक्त कथन सामान्य रूप से गलत होगा, क्योंकि आपकी गोलाई प्रक्रिया एक अभिन्न समाधान के साथ समाप्त होती है।$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$$V \geq \frac{OPT(LP)}{c}$$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$

तो क्रुक्स यह है: एलपी आपको एक समाधान देता है जिसे आप जानते हैं कि "अच्छा" है, और आप इसे उस चीज़ के लिए गोल करना चाहते हैं जो "लगभग उतना ही अच्छा" हो। यदि अभिन्नता का अंतर बड़ा है, तो यह सामान्य रूप से असंभव है, क्योंकि कभी भी एक ऐसी प्रक्रिया नहीं होगी जिसे एक अभिन्न समाधान प्राप्त करने की गारंटी दी जाती है जो कि एलपी समाधान के रूप में "जितना अच्छा हो" - क्योंकि कभी-कभी, ये मौजूद नहीं होते हैं!

Answer 5

आप सही कह रहे हैं कि विश्राम की अभिन्नता में किसी भी गोलाई एल्गोरिदम के साथ ऐसा कुछ नहीं है। ये दो अलग-अलग धारणाएँ हैं। अभिन्नता अंतर एक विशेष छूट का गुण है। यही है, इष्टतम अभिन्न मूल्य की तुलना में उस छूट का मूल्य कितना बड़ा है?

हम रैखिक / उत्तल विश्राम की परवाह क्यों करते हैं? एक अभिन्न मूल्य को कुशलतापूर्वक अनुमानित करने के लिए। इसलिए, हम केवल उन मामलों में छूट के बारे में बात करते हैं जहां इष्टतम मूल्य की गणना करना मुश्किल है और हम कुशल सन्निकटन में रुचि रखते हैं। अखंडता अंतराल हमें ऐसी तकनीकों द्वारा प्राप्त की जा सकने वाली अंतर्निहित सीमाओं को दिखाते हैं।

तो, हम विश्राम के शीर्ष पर एल्गोरिदम को गोल करने की परवाह क्यों करते हैं? हम पास के इष्टतम समाधान को खोजने के लिए एल्गोरिथम की समस्या को हल करने के लिए गोलाई के एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं, क्योंकि एक इष्टतम समाधान के मूल्य का अनुमान लगाने के लिए । इसके अलावा, अक्सर गोलाई के एल्गोरिदम का उपयोग पहली जगह में एक विश्राम की अभिन्नता को सीमित करने के लिए किया जाता है।

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वास्तव में, ऐसा लगता है कि लोग मूल समस्याओं के लिए सन्निकटन एल्गोरिदम के कारण आईपी योगों और उनके आराम में रुचि रखते हैं, लेकिन मुझे समझ में नहीं आता है कि हम आईजी पर एक बाध्यता साबित करके परिणामी सन्निकटन एल्गोरिदम के बारे में क्या सीखते हैं।

— केवह

Answer 6

तकनीकी रूप से, अभिन्नता अंतर एक विशिष्ट आईपी फॉर्मूलेशन के लिए है, न कि (जैसा कि आपने इसे तैयार किया है) सबसे अच्छा रैखिक विश्राम और इष्टतम समाधान (जो सभी आईपी योगों पर मात्रा निर्धारित करता है) के बीच का राशन।

एक अभिन्नता का अंतर महत्वपूर्ण है क्योंकि यह विशेष रूप से इस्तेमाल किए जा रहे एलपी फॉर्मूलेशन की सीमाओं को दर्शाता है। तो मुझे पता है कि एक विशेष विश्राम का एक समाकलन खाई है कि , तो मैं भी जानते हैं कि अगर मैं पहले से कहीं बेहतर की एक बाध्य साबित करने के लिए आशा है कि , मुझे कोई दूसरी निर्माण का उपयोग करना होगा।$c$$c$

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हाय सुरेश। धन्यवाद, मुझे पता था कि आईजी एक विशिष्ट आईपी फॉर्मूलेशन के लिए है, क्षमा करें यदि मैंने इसे सही ढंग से नहीं बताया है। जो मुझे समझ में नहीं आता है वह सन्निकटन एल्गोरिदम के साथ आईजी का संबंध है और अंतिम उत्तर हमें गोलाई प्रक्रिया के अंत में मिलता है। यह मुझे लगता है कि आईजी मूल समस्या के लिए एक विशिष्ट वास्तविक छूट की एक ज्यामितीय संपत्ति है और इसका अनुमान लगाने के लिए एल्गोरिदम का संबंध मेरे लिए स्पष्ट नहीं है। मैं उन कारणों के बारे में अधिक जानना चाहता हूं जो आईजी पर सीमाएं दिलचस्प बनाते हैं, विशेष रूप से सन्निकटन एल्गोरिदम के बारे में।

— केवह

हाय केव, मैंने अपने उत्तर में विशेष रूप से उन बिंदुओं को स्पष्ट करने की कोशिश की। शायद यह मदद करता है।

— मोरिट्ज़

आपके प्रश्न का विशेष रूप से आकर्षक उत्तर टीएसपी के लिए एक रैखिक कार्यक्रम बनाने की कोशिश के माध्यम से पी बनाम एनपी पर स्वार्ट हमला है जिसमें पूर्णांक समाधान थे। मिहलिस यानाकिस ने यह सुंदर पत्र लिखा था, जिसमें पता चला कि टीएसपी के सं सममित छूट ने पूर्णांक समाधान ( dx.doi.org/10.1016/0022-0000(91)90024-Y ) के साथ एक पाली आकार सूत्रीकरण को स्वीकार किया ।

— सुरेश वेंकट

Answer 7

एक बहुत ही दिलचस्प पेपर था "नेटवर्क थ्रूपुट में सुधार के लिए नेटवर्क कोडिंग के लाभ पर" जिसमें पता चला कि स्टाइनर ट्री समस्या के लिए "बिडाइरेक्टेड कट छूट" की अभिन्नता अंतराल नेटवर्क संचार में "कोडिंग लाभ" के एक प्रकार के बराबर होती है। मैं अन्य समान कागजात का एक बहुत कुछ पता नहीं है। हालांकि, एक को यह भी ध्यान देना चाहिए कि स्टीनर ट्री समस्या के लिए बेहतर एलपी छूट ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए एसटीओसी 2010 में बायरका अल अल के नए हाइपरग्राफिक एलपी-आधारित अनुमानित एल्गोरिथ्म देखें, मैं भी बेशर्मी से स्वयंसेवक हूं जो हाइपरोग्राफिक का अध्ययन करने वाले कुछ हालिया कागजात को कोट करता है। एलपी)।

Answer 8

अधिकांश जवाबों ने पहले से ही अभिन्नता अंतर के बारे में परवाह करने के मुख्य कारण को संबोधित किया है, अर्थात्, एक सन्निकटन एल्गोरिदम पूरी तरह से छूट द्वारा प्रदान की गई बाउंड का उपयोग करने पर आधारित होता है, जो कि इंटीग्रिटी गैप से बेहतर अनुपात साबित होने की उम्मीद नहीं कर सकता है। मुझे दो अन्य मेटा कारण बताएं कि इंटिग्रिटी गैप एक उपयोगी गाइड क्यों है। कॉम्बीनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन समस्याओं के एक बड़े वर्ग के लिए अलगाव और अनुकूलन की समता को दर्शाता है कि सटीक एल्गोरिदम समस्या के लिए संभव समाधान के उत्तल पतवार से संबंधित हैं। इस प्रकार ज्यामितीय और एल्गोरिथम परिप्रेक्ष्य बहुत निकटता से बंधे हुए हैं। इसी तरह की औपचारिक समानता सन्निकटन एल्गोरिदम के लिए नहीं जानी जाती है, लेकिन यह एक उपयोगी मार्गदर्शिका है - एल्गोरिदम ज्यामितीय विश्राम के साथ हाथ से चलते हैं। एल्गोरिथम इनोवेशन तब होता है जब लोगों के पास सुधार करने के लिए एक ठोस लक्ष्य होता है।