क्यों अंतर सन्निकटन अनुपात अच्छी तरह से अध्ययन नहीं किया जाता है, जो उनके दावा किए गए लाभों के बावजूद मानक की तुलना में है?

Question

एक मानक सन्निकटन सिद्धांत है जहां सन्निकटन अनुपात ( MIN उद्देश्यों के साथ समस्याओं के लिए ), A - कुछ एल्गोरिथम A और OPT द्वारा लौटाया गया मान - एक इष्टतम मान। और एक अन्य सिद्धांत, विभेदक सन्निकटन, जहां सन्निकटन अनुपात \ inf \ frac {\ Omega-A} {\ Omega-OPT} , \ Omega - दिए गए उदाहरण के लिए संभव समाधान का सबसे खराब मूल्य है। लेखकों इस सिद्धांत का दावा है यह शास्त्रीय एक पर कुछ निश्चित लाभ है कि के। उदाहरण के लिए:$\sup\frac{A}{OPT}$$MIN$$A$$A$$OPT$$\inf\frac{\Omega-A}{\Omega-OPT}$$\Omega$

• यह इस तरह की समस्याओं के लिए एक ही सन्निकटन अनुपात देता है जैसे कि न्यूनतम शीर्ष कवर और अधिकतम स्वतंत्र सेट जो एक ही समस्या के अलग-अलग अहसास के रूप में जाने जाते हैं;
• यह एक ही समस्या के अधिकतम और न्यूनतम संस्करणों के लिए समान अनुपात देता है। उसी समय हम मानक सिद्धांत में जानते हैं कि न्यूनतम TSP और MAX TSP में बहुत भिन्न अनुपात होते हैं।
• यह न केवल इष्टतम के लिए बल्कि pessimum \ Omega के लिए दूरी को मापता है $\Omega$। तो वर्टेक्स कवर के मामले में मानक अनुमान सिद्धांत कहता है कि $2$ सबसे अच्छा ऊपरी बाध्य है। लेकिन अनिवार्य $2$ इष्टतम और इष्टतम के बीच अधिकतम अनुपात है। इस प्रकार इस तरह के एल्गोरिदम को सबसे खराब मूल्य के साथ समाधान का उत्पादन करने की गारंटी है।

मेरा तर्क समर्थक है: स्पर्शोन्मुख विश्लेषण में हम विचार स्थिरांक और निम्न-क्रम की शर्तों को नहीं लेते हैं (यहां मैंने एविए विडरसन द्वारा उद्धरण को याद किया: "हम सफल हैं क्योंकि हम अमूर्त के सही स्तर का उपयोग करते हैं") और यह है। एल्गोरिथ्म के संसाधनों के उपयोग की तुलना करने के लिए अमूर्तता का स्तर। लेकिन जब हम सन्निकटन का अध्ययन करते हैं तो हम किसी कारण से उन स्थानों में अंतर का परिचय देते हैं जहां हम इससे बच सकते हैं।

मेरा सवाल यह है कि

क्यों अंतर सन्निकटन सिद्धांत इतना खराब अध्ययन किया। या इसमें शामिल तर्क पर्याप्त मजबूत नहीं हैं?

Comments

मैंने इस धारणा को पहले कभी नहीं देखा है और लगता है कि यह कम से कम दिलचस्प है। जवाब के लिए बहुत उत्सुक! (हालांकि असली कारण "दोहे जितना तुच्छ हो सकता है, कभी इस बारे में नहीं सोचा" या "सबूत कठिन हो रहे हैं" या "जब मैं शुरू करता हूं तो अन्य परिणामों से इसकी तुलना नहीं कर सकता"

— राफेल

Answer 1

दावे की दो व्याख्याएं हैं "एल्गोरिथ्म एक पाता है α समस्या का -approximation पी "$A$$\alpha$$P$ :

1. समस्या है आसान के बाद से हम एक एल्गोरिथ्म है कि एक अच्छा सन्निकटन पाता है, काफी अच्छी तरह से हल करने के लिए।$P$
2. एल्गोरिथ्म है अच्छा है, क्योंकि यह एक अच्छा सन्निकटन पाता है,।$A$

मुझे लगता है कि सन्निकटन कारक की शास्त्रीय परिभाषा पहली व्याख्या पर जोर देती है। हम समस्याओं को वर्गीकृत करते हैं कि वे कितनी अच्छी तरह से हल करने में आसान हैं।

विभेदक सन्निकटन अनुपात दूसरी व्याख्या पर थोड़ा अधिक भार डालता है: हम तुच्छ एल्गोरिथम (जैसे एल्गोरिदम) को "पुरस्कृत" नहीं करना चाहते हैं, जो केवल एक खाली सेट, या सभी नोड्स के सेट का उत्पादन करते हैं।

बेशक, दोनों वैध दृष्टिकोण हैं, लेकिन वे अलग - अलग दृष्टिकोण हैं।

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हम प्रश्न का अध्ययन थोड़ा अधिक व्यावहारिक दृष्टिकोण से भी कर सकते हैं। दुर्भाग्य से, शीर्ष कवर में ऐसा नहीं है जो कई प्रत्यक्ष उपयोग करता है, लेकिन तर्क के लिए, आइए हम इन दो (कुछ विपरीत) अनुप्रयोगों पर विचार करें:

• वर्टेक्स कवर: नोड्स कंप्यूटर हैं और किनारों संचार लिंक हैं; हम सभी संचार लिंक की निगरानी करना चाहते हैं और इसलिए प्रत्येक किनारे के कम से कम एक समापन बिंदु को एक विशेष प्रक्रिया को चलाना है।

• स्वतंत्र सेट: नोड्स श्रमिक हैं और उनकी गतिविधियों के बीच किनारों मॉडल संघर्ष; हम एक साथ किए जाने वाले गतिविधियों का एक संघर्ष-मुक्त सेट ढूंढना चाहते हैं।

अब दोनों समस्याओं का एक तुच्छ समाधान है: सभी नोड्स का सेट एक शीर्ष आवरण है, और खाली सेट एक स्वतंत्र सेट है।

महत्वपूर्ण अंतर यह है कि वर्टेक्स कवर समस्या के साथ, तुच्छ समाधान काम करता है । निश्चित रूप से, हम आवश्यकता से अधिक संसाधनों का उपयोग कर रहे हैं, लेकिन कम से कम हमारे पास एक समाधान है जिसे हम व्यवहार में उपयोग कर सकते हैं। हालांकि, स्वतंत्र सेट समस्या के साथ, तुच्छ समाधान पूरी तरह से बेकार है । हम बिल्कुल भी प्रगति नहीं कर रहे हैं। कोई कुछ नहीं कर रहा है। कार्य कभी पूरा नहीं होता है।

इसी तरह, हम लगभग तुच्छ समाधानों की तुलना कर सकते हैं: शीर्ष कवर जिसमें एक अधिकतम मिलान के समापन बिंदु होते हैं, और स्वतंत्र सेट I जो सी का पूरक है । फिर, सी निश्चित रूप से हमारे आवेदन में काम करता है, और इस बार हम कारक दो से अधिक द्वारा संसाधनों को बर्बाद नहीं कर रहे हैं। हालांकि, मैं फिर से एक खाली सेट हो सकता हूं , जो पूरी तरह से बेकार है।$C$$I$$C$$C$$I$

इसलिए सन्निकटन गारंटी की मानक परिभाषा सीधे हमें बताती है कि समाधान उपयोगी है या नहीं। वर्टेक्स कवर के 2-अंदाजे से काम हो जाता है। किसी भी अनुमान के बिना एक स्वतंत्र सेट पूरी तरह से बेकार हो सकता है।

एक मायने में, विभेदक सन्निकटन अनुपात "कितना गैर-तुच्छ" उपाय है, यह मापने की कोशिश करता है, लेकिन क्या यह इन अनुप्रयोगों में से किसी में भी मायने रखता है? (क्या यह किसी भी आवेदन में मायने रखता है?)

Comments

मुझे दूसरे भाग में आपकी बात नहीं आती। वर्टिकल का कोई भी अतिव्यापी विकल्प एक व्यवहार्य शीर्ष आवरण है, हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि एल्गोरिथ्म इसके लिए एक 2-सन्निकटन है। दूसरी ओर, यहां तक ​​कि स्वतंत्र सेट के लिए 2-सन्निकटन बहुत अच्छी तरह से एक अप्रभावी समाधान प्राप्त कर सकते हैं। तो ऐसा प्रतीत होता है कि समस्या का खतरा समस्या से बंधा हुआ है, न कि (संयुक्त) ज्ञात सन्निकटन सीमा के लिए।

— राफेल

@ रिपेल: अधिकतम स्वतंत्र सेट का 2-सन्निकटन, परिभाषा के अनुसार, एक स्वतंत्र सेट (और काफी बड़ा; निश्चित रूप से एक खाली नहीं) है।

— जुल्का सुमेला

कोई बात नहीं, बहुत जल्दी पढ़ो। लेकिन फिर भी, मुझे लगता है कि आपकी बात को ऐसे ही तय किया जाना चाहिए: बिना किसी गारंटी के एक एल्गोरिथ्म वीसी के मामले में काम करता है, लेकिन आईएस में नहीं। (आप सेब और नाशपाती की तुलना कर रहे हैं, क्या आप नहीं हैं?) लेकिन फिर, यह अध्ययन गारंटी के विकल्प से कैसे संबंधित है ? या तो संभव समाधान प्राप्त करने के लिए करना होगा।

— राफेल

@Raphael: नहीं, मैं कह रहा हूँ तुच्छ कुलपति कि है एक परिमित सन्निकटन गारंटी (की तरह कुछ ), और जब मामूली बात है है कि यह, काम किया हो जाता है नहीं एक परिमित सन्निकटन गारंटी है, और इसे करता है नहीं मिलता है काम हो गया। इसलिए अनुमानित गारंटी कम से कम कुछ बताती है कि समाधान कितना उपयोगी है। $O(\Delta)$

— जुल्का सुमेला

+1 क्योंकि उदाहरण मजेदार हैं। मुझे नहीं लगता कि "समस्या आसान है" और "एक अच्छा एल्गोरिथ्म है" के बीच एक अच्छी तरह से परिभाषित अंतर है, लेकिन मैं इसे अस्पष्ट स्तर पर समझता हूं।

— त्सुयोशी इतो

Answer 2

मैं अंतर सन्निकटन की धारणा से परिचित नहीं हूं, और मेरे पास कोई सिद्धांत नहीं है कि यह अच्छी तरह से अध्ययन क्यों नहीं है। हालांकि, मैं यह बताना चाहता हूं कि एक एकल माप द्वारा अनुमानित सन्निकटन के प्रदर्शन का वर्णन करना हमेशा वांछनीय नहीं होता है। इस अर्थ में, मुझे सहमत होना मुश्किल है कि कुछ उपाय दूसरे की तुलना में बेहतर है।

उदाहरण के लिए, जैसा कि आपने कहा, न्यूनतम शीर्ष कवर एक बहुपद-समय 2-सन्निकटन एल्गोरिथ्म को स्वीकार करता है, जबकि यह एनपी-हार्ड है जो किसी भी निरंतर अनुपात में अधिकतम स्वतंत्र सेट को अनुमानित करता है। यद्यपि मैं समझता हूं कि यह पहली नजर में आश्चर्यचकित कर सकता है, इसका एक वैध अर्थ है: (1) न्यूनतम शीर्ष कवर को अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है जब यह छोटा होता है (2) यह बड़े होने पर अच्छी तरह से अनुमानित नहीं किया जा सकता है। जब हम कहते हैं कि किसी भी सकारात्मक निरंतर अंतर सन्निकटन अनुपात के साथ न्यूनतम वर्टेक्स कवर (और अधिकतम स्वतंत्र सेट) के लिए एनपी-हार्ड है, तो हम प्रभावी रूप से संपत्ति (1) की अनदेखी कर रहे हैं। संपत्ति (1) को नजरअंदाज करना कुछ उद्देश्यों के लिए पर्याप्त रूप से अच्छा है, लेकिन निश्चित रूप से हमेशा ऐसा नहीं होता है।

ध्यान दें कि हम हमेशा सन्निकटन एल्गोरिदम के प्रदर्शन का वर्णन करने के लिए सन्निकटन अनुपात का उपयोग नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, पीसीपी प्रमेय के आधार पर एक अनुपयुक्तता परिणाम को उसकी पूरी व्यापकता में बताने के लिए, हमें गैप समस्याओं के आधार पर सूत्रीकरण की आवश्यकता है। देखें एक और सवाल के लिए मेरा उत्तर जानकारी के लिए। इस मामले में, न तो मानक सन्निकटन अनुपात का उपयोग करना और न ही अंतर सन्निकटन अनुपात का उपयोग करना हमें पूर्ण सामान्यता में परिणाम का वर्णन करने की अनुमति देता है।

Comments

$0$$2$$OPT\geqslant n/2$

@ ऑलेक्ज़ेंडर: "वर्टेक्स कवर के मामले में हालांकि सन्निकटन सबसे खराब समाधान के साथ मेल खाता है, जब OPT⩾n / 2 का हमारे पास अनुपात 2 है।" चाहे आप इसे एक नुकसान के रूप में मानते हैं या नहीं। कोई यह तर्क दे सकता है कि यदि प्रत्येक समाधान में 2 के कारक के भीतर उद्देश्य मूल्य है, तो यह बहुत मायने नहीं रखता है कि कौन सा समाधान एक एल्गोरिदम का उत्पादन करता है। मानक सन्निकटन अनुपात इस तरह की स्थिति को मॉडल करता है।

— त्सुयोशी इतो

यदि 2 या किसी अन्य छोटे कारक का यह कारक सबसे खराब समाधान है, तो ऐसा परिणाम बहुत कम उपयोग का है।

— ओलेकांद्र बोंडारेंको

@ ऑलेक्ज़ेंडर: जैसा कि मैंने कहा, यह एक दृष्टिकोण है।

— त्सुयोशी इतो

Answer 3

जैसा कि त्सुयोशी बताते हैं, यह मुद्दा इस बात के लिए हो सकता है कि आप किस तरह के तर्क का इस्तेमाल करना चाहते हैं। निम्नलिखित में, मैं दो अलग-अलग प्रेरणाओं को विकसित करने का प्रयास करूंगा।

प्रपत्र मानक अनुपात$\alpha = \frac{A}{OPT}$

$\alpha = \frac{\Omega - A}{\Omega - OPT}$$\alpha\cdot 100\%$

तो, व्युत्पन्न बाध्य वापस किस तरह के बयान पर निर्भर करता है, आपको उचित विकल्प चुनना चाहिए।

$[\Omega, OPT]$