सख्त सकारात्मकता के पीछे अंतर्ज्ञान?

Question

मैं सोच रहा था कि कोई मुझे पीछे अंतर्ज्ञान दे सकता है कि आगमनात्मक डेटा प्रकारों की सख्त सकारात्मकता मजबूत सामान्यीकरण की गारंटी क्यों देती है।

स्पष्ट होने के लिए, मैं देखता हूं कि नकारात्मक घटनाएँ किस तरह से विचलन की ओर ले जाती हैं, अर्थात् परिभाषित करके:

data X where Intro : (X->X) -> X

हम एक विचलन समारोह लिख सकते हैं।

लेकिन मैं सोच रहा हूँ, हम कैसे साबित कर सकते हैं कि कड़ाई से सकारात्मक प्रेरक प्रकार विचलन के लिए अनुमति नहीं देते हैं? यानी कुछ प्रेरण उपाय है जो हमें मजबूत-सामान्यीकरण (तार्किक संबंधों या इसी तरह का उपयोग करके) के प्रमाण का निर्माण करने देता है? और नकारात्मक घटनाओं के लिए ऐसा सबूत कहां टूट जाता है? क्या कोई अच्छा संदर्भ हैं जो आगमनात्मक प्रकारों वाली भाषा के लिए मजबूत सामान्यीकरण दिखाते हैं?

Comments

मुझे लगता है कि विचार सख्ती से सकारात्मक प्रकार है, डब्ल्यू प्रकार में बदल सकता है, वैचारिक रूप से। इसके अलावा गैर-सख्त-सकारात्मक प्रकार Coq vilhelms.github.io/posts/… के साथ असंगत है । यह टिप्पणी की गई है कि सकारात्मक प्रकार Agda के अनुरूप है, लेकिन मैं एक वैचारिक स्पष्टीकरण भी देखना चाहता हूं ...

— molikto

@molikto धन्यवाद, यह उपयोगी है। लेकिन मुझे लगा कि डब्ल्यू-प्रकारों ने एक प्रेरक सिद्धांत में वांछित प्रेरण सिद्धांत नहीं दिए हैं? हम एक आयामी सिद्धांत में कड़ाई से सकारात्मक प्रेरकों के लिए मजबूत सामान्यीकरण कैसे साबित कर सकते हैं?

— jmite

Answer 1

ऐसा लगता है कि आप सकारात्मक डेटाटाइप्स के साथ टाइप सिस्टम के लिए सामान्यीकरण तर्कों का अवलोकन चाहते हैं। मैं नैक्स मेंडलर के पीएचडी शोध प्रबंध की सिफारिश करूंगा: http://www.nuprl.org/documents/Mendler/InductiveDefinition.html ।

$\lambda$

Inductive Ord = Zero : Ord | Suc : Ord -> Ord | Lim : (Nat -> Ord) -> Ord

हमें मिलेगा:

$$\lambda(t) = 0$$ $t$ $$\lambda(\mathrm{Zero}) = 0$$ $$\lambda(\mathrm{Suc}(o)) = \lambda(o)+1$$ $$\lambda(\mathrm{Lim}(f)) = \sup_n \lambda(f\ n)$$

जहां सामान्य रूपों के साथ शर्तों पर होता है। चेतावनी यह है कि यह व्याख्या केवल 3 मामले में परिभाषित की जाती है जब का सामान्य रूप भी होता है, जिसे परिभाषाओं में कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है।$n$$f\ n$

एक तो इस अध्यादेश पर प्रेरण द्वारा पुनरावर्ती कार्यों को परिभाषित कर सकता है।

ध्यान दें कि इन डेटा प्रकार के रूप में उत्कृष्ट में संकेत शास्त्रीय सेट सिद्धांत में पहले से ही परिभाषित किया जा सकता, प्रेरक परिवार Dybjer द्वारा कागज ( http://www.cse.chalmers.se/~peterd/papers/Inductive_Families.pdf )। हालाँकि, क्योंकि फ़ंक्शन रिक्त स्थान बहुत विशाल हैं, इसलिए प्रकारों को व्याख्या करने के लिए वास्तव में बड़े अध्यादेशों की Ordआवश्यकता होती है ।

Comments

धन्यवाद, यह बहुत मददगार है! क्या आप जानते हैं कि क्या इस तरह के अध्यादेशों को टाइप थ्योरी में परिभाषित किया जा सकता है? यानी अगर मैं आगमों को प्रेरण-पुनर्संरचना के साथ एक प्रकार के सिद्धांत को प्रेरक (लेकिन कोई प्रेरण-पुनरावृत्ति) के साथ उपयोग करने की कोशिश कर रहा था, तो क्या मैं Ordअच्छी तरह से स्थापना दिखाने के लिए आवश्यक अध्यादेशों को मॉडल करने के लिए कुछ का उपयोग कर सकता हूं ?

— jmite

@jmite, आप कर सकते हैं, लेकिन रचनात्मक सिद्धांतों में अध्यादेश कुछ अजीब हैं, और आप अच्छी तरह से स्थापित आदेशों या पेड़ों के साथ काम कर सकते हैं ( मोलिटो के रूप में एक ला डब्ल्यू-प्रकार का सुझाव देते हैं)। यह एक समान प्रकार का होना कठिन हो सकता है जो वस्तु भाषा में हर आगमनात्मक की अच्छी तरह से स्थापित करता है ...

— cody

@cody उदाहरण नहीं है कि आप एक सख्ती से सकारात्मक प्रकार देते हैं?

— हेनिंग बैसल्ड

@ हेनिंगबॉल्ड हाँ यह है (यही कारण है कि मैंने इसे चित्रण के रूप में इस्तेमाल किया है!)। लेकिन यह बिल्कुल (शास्त्रीय) सेट सिद्धांत में अध्यादेशों की तरह व्यवहार नहीं करता है, और निश्चित रूप से सभी अध्यादेशों के सेट की तरह नहीं है । विशेष रूप से, इन पर एक आदेश को परिभाषित करना थोड़ा कठिन है।

— कोड़ी

@HenningBasold मुझे यह भी ध्यान देना चाहिए कि jmite का प्रश्न विशेष रूप से सख्ती से सकारात्मक प्रकारों के बारे में था, हालांकि अधिक सामान्य सेटिंग की जानकारी भी दिलचस्प है!

— कोड़ी

Answer 2

कड़ाई से सकारात्मक प्रकारों से परे जाने का एक और अच्छा स्रोत राल्फ मैथ्स की पीएचडी थीसिस है: http://d-nb.info/956895891

वह अध्याय 3 में सिस्टम एफ के साथ (कड़ाई से) सकारात्मक प्रकार के विस्तार पर चर्चा करता है और अध्याय 9 में कई मजबूत सामान्यीकरण परिणामों को साबित करता है। अध्याय 3 में कुछ दिलचस्प विचारों पर चर्चा की गई है।

1. हम मुफ्त वैरिएबल साथ किसी भी प्रकार लिए कम से कम निश्चित अंक जोड़ सकते हैं , जब तक कि हम एक मोनोटोनिकिटी गवाह । यह विचार पहले से ही मेंडलर के काम में मौजूद है जिसमें उल्लेख किया गया था। इस तरह के गवाह किसी भी सकारात्मक प्रकार के लिए विहित रूप से मौजूद होते हैं क्योंकि ये वाक्यात्मक रूप से एकरस होते हैं।$\rho$$\alpha$$\forall \alpha \forall \beta.\, (\alpha \to \beta) \to \rho \to \rho[\beta/\alpha]$

2. जब हम सख्ती से सकारात्मक प्रकारों की ओर बढ़ते हैं, तो आगमनात्मक प्रकारों को पेड़ों के रूप में नहीं देखा जा सकता है (डब्ल्यू-प्रकार एन्कोडिंग)। इसके बजाय ये कुछ प्रकार के प्रतिरूपता का परिचय देते हैं क्योंकि एक सकारात्मक आगमनात्मक प्रकार का निर्माण पहले से ही टाइप पर मात्रा निर्धारित करता है। ध्यान दें कि यह कुछ हद तक एकरूपता है, क्योंकि इस प्रकार के शब्दार्थों को अभी भी मोनोटोन कार्यों के क्रमिक पुनरावृत्ति के संदर्भ में समझाया जा सकता है।

3. मैथ्स सकारात्मक आगमनात्मक प्रकारों के कुछ उदाहरण भी प्रदान करता है। विशेष रूप से दिलचस्प हैं

   • निरंतरता का प्रकार , जहां में घटित नहीं होता है ।$\mu.\, 1 + ((\alpha \to \rho) \to \rho)$$\alpha$$\rho$
   • प्रकार जो किसी भी प्रकार को सकारात्मक प्रकार में बदलकर काम करता है । ध्यान दें कि यह सिस्टम F की impredicativity को बहुत अधिक उपयोग करता है।$\mu \alpha \forall \beta.\, (\alpha \to \beta) \to \rho[\beta/\alpha]$$\rho$

इस पेपर में, उदाहरण के लिए, डबल निगेटिव का विश्लेषण करने के लिए मैथ्स पॉजिटिव इंडक्टिव टाइप का भी इस्तेमाल करता है: https://www.irit.fr/~Ralph.Matthes/papers/MatthesStabilization.pdf । वह Parigot के के विस्तार का परिचय देता है और मजबूत सामान्यीकरण साबित करता है।$\lambda\mu$

मुझे उम्मीद है कि यह आपके प्रश्न के साथ मदद करता है।