मेरे पास निम्न टाइप्ड थ्योरी है
|- 1_X : X -> X
f : A -> B, g : B -> C |- compose(g,f) : A -> C
F, f : A -> B |- apply(F,f) : F(A) -> F(B)
सभी शर्तों के समीकरणों के साथ:
f : A -> B, g : B -> C, h : C -> D |- compose(h,compose(f,g)) = compose(compose(h,f),g)
f : A -> B |- compose(f,1_A) = f
f : A -> B |- compose(1_B,f) = f
F |- apply(F,1_X) = 1_F(X)
f, f : A -> B, g : B -> C |- apply(F,compose(g,f)) = compose(apply(F,g),apply(F,f))
मैं एक अर्ध-निर्णय प्रक्रिया की तलाश कर रहा हूं जो इस सिद्धांत में समीकरणों को साबित करने में सक्षम होगा, जिसे काल्पनिक समीकरणों का एक सेट दिया गया है। यह भी स्पष्ट नहीं है कि एक पूर्ण निर्णय प्रक्रिया मौजूद है या नहीं: इसमें समूहों के लिए शब्द समस्या को एनकोड करने का कोई तरीका प्रतीत नहीं होता है। नील कृष्णस्वामी ने दिखाया कि शब्द की समस्या को कैसे इसमें समाहित किया जाता है, इसलिए सामान्य समस्या अनिर्दिष्ट है। समरूपता और पहचान उप-सिद्धांत को सिद्धांत के एक मोनोड मॉडल का उपयोग करके आसानी से तय किया जा सकता है, जबकि पूर्ण समस्या अनुरूपता बंद होने की तुलना में कठिन है। किसी भी संदर्भ या संकेत सबसे स्वागत होगा!
यहाँ एक ऐसी चीज़ का स्पष्ट उदाहरण दिया गया है जिसकी हम उम्मीद करेंगे कि यह स्वतः सिद्ध हो सके:
f : X -> Y, F, G,
a : F(X) -> G(X), b : G(X) -> F(X),
c : F(Y) -> G(Y), d : G(Y) -> F(Y),
compose(a,b) = 1_F(X), compose(b,a) = 1_G(X),
compose(c,d) = 1_F(Y), compose(d,c) = 1_G(Y),
compose(c,apply(F,f)) = compose(apply(G,f),a)
|- compose(d,apply(G,f)) = compose(apply(F,f),b)