क्या कोल्मोगोरोव जटिलता की अपरिहार्यता लॉवेर्स फिक्स्ड प्वाइंट प्रमेय से अनुसरण करती है?

Question

कई प्रमेय और "विरोधाभास" - कैंटर के विकर्णीकरण, घृणा की अनिर्वायता, कोलमोगोरोव जटिलता की अयोग्यता, गोडेल इनकम्प्लेन्टेस, चैटिन इनकम्प्लेसेनेस, रसेल के विरोधाभास, आदि - सभी अनिवार्य रूप से विकर्णकरण द्वारा एक ही प्रमाण है (ध्यान दें कि यह विशिष्ट है) विकर्णकरण से सभी सिद्ध होते हैं, बल्कि, ऐसा लगता है कि ये सभी प्रमेय वास्तव में एक ही विकर्ण निष्कर्षों का उपयोग करते हैं, अधिक विवरण के लिए देखें, जैसे यानोफ़्स्की , या बहुत अधिक संक्षिप्त और कम औपचारिक रूप से इस प्रश्न के उत्तर के लिए मेरा खाता है )।

उपर्युक्त प्रश्न पर एक टिप्पणी में, सैशो निकोलेव ने बताया कि उनमें से ज्यादातर लॉरवे के फिक्स्ड प्वाइंट प्रमेय के विशेष मामले थे । यदि वे सभी विशेष मामले थे, तो यह उपरोक्त विचार को पकड़ने का एक अच्छा तरीका होगा: वास्तव में एक प्रमाण (लॉवेर्स) के साथ एक परिणाम होगा जिसमें से उपरोक्त सभी को प्रत्यक्ष कोरोलरीज के रूप में पालन किया गया है।

अब, गॉडल इनकम्प्लेन्टनेस और हॉल्टिंग समस्या और उनके दोस्तों की अनिच्छा के लिए, यह सर्वविदित है कि वे लॉवेरी के फिक्स्ड पॉइंट थ्योरम (देखें, उदाहरण के लिए, यहां , यहां या यानोफ्स्की से ) का पालन करते हैं। लेकिन मैं तुरंत नहीं देखता कि कोलमोगोरोव जटिलता की अनिर्वायता के लिए यह कैसे करना है, इस तथ्य के बावजूद कि अंतर्निहित प्रमाण किसी तरह "समान" है। इसलिए:

कोल्मोगोरोव जटिलता की अनिर्णयता एक त्वरित कोरोलरी है - जो कि लॉवेर्स फिक्स्ड प्वाइंट प्रमेय की - कोई अतिरिक्त विकर्ण की आवश्यकता नहीं है?

Comments

मुझे यह कहना चाहिए कि मैं कभी भी इस विषय के बारे में जानता था जो मैंने इस ब्लॉग पोस्ट से सीखा है, जो कि Bauer: math.andrej.com/2007/04/08/on-a-proof-of-cantors-theorem

— Sasho Nikolov

@MaxNew: Let च एक गणनीय समारोह, कुछ टीएम द्वारा गणना हो एम । चलो एम कश्मीर निम्नलिखित टीएम हो: रिक्त इनपुट पर, यह जब तक यह एक पाता है एक समय में तार एक से गुजर रही शुरू होता है एक्स के साथ च ( एक्स ) ≥ | x | > कश्मीर और आउटपुट एक्स । ध्यान दें | एम के | ≤ log 2 ( k ) + c कुछ ग के लिए केवल पर निर्भर करता है | एम | । फिर किसी के लिए ऐसा$f$$M$$M_k$$x$$f(x) \geq |x| > k$$x$$|M_k| \leq \log_2(k) + c$$c$$|M|$$k$k > | एम के | (किसी भी पर्याप्त रूप से बड़े कश्मीर काम हो जाएगा), या तो ऐसी कोई है एक्स (इस स्थिति में च ≠ सी या) एम कश्मीर कुछ आउटपुट एक्स ऐसी है कि च ( एक्स ) ≥ | x | > कश्मीर (निर्माण) के द्वारा, लेकिन तथ्य यह है कि एम कश्मीर उत्पादन x का तात्पर्य है कि सी ( एक्स ) ≤ | एम के | < क , तो$k > |M_k|$$k$$x$$f \neq C$$M_k$$x$$f(x) \geq |x| > k$$M_k$$x$$C(x) \leq |M_k| < k$( X ) ≠ सी ( एक्स ) । $f(x) \neq C(x)$

— जोशुआ ग्रोको

@ नीललॉग: इसी तरह, लेकिन वे मेरे सवाल का जवाब नहीं देते हैं। हॉल्टिंग की समस्या से छुटकारा HALT को असुविधाजनकता के "स्रोत" के रूप में ले रहा है और फिर कटौती का उपयोग कर रहा है। लेकिन (उदाहरण के लिए) जो सबूत मैंने ऊपर टिप्पणियों में दिए, उससे पता चलता है कि आप के-कॉम्प्लेक्सिटी को "असुविधाजनकता के स्रोत" के रूप में भी ले सकते हैं, लेकिन एचएएलटी के लिए इसके समान प्रमाण से। कि इसी तरह के सबूत वास्तव में होना दिखाया जा सकता है एक ही कुछ तकनीकी अर्थ में? (इस मामले में, यह दिखाते हुए कि वे लॉवेर्ज़ के प्रमेय के सभी उदाहरण हैं , जो मुझे किसी भी प्रकार की कमी से अधिक मजबूत लगता है।) यही मैं वास्तव में उसके बाद कर रहा हूं।

— जोशुआ ग्रोको

@ नीललॉग: हाँ, यह रोजर के निश्चित बिंदु प्रमेय को सामान्य करता है। लेकिन अगर आप इसे केवल रोजर के प्रमेय के रूप में सोचते हैं तो आप इस बिंदु को याद नहीं करेंगे; मुद्दा यह है कि लॉवरे सामान्य रूप से रोजर से परे कई अलग-अलग सबूतों की सबूत रणनीति पर कब्जा करने के लिए पर्याप्त है। प्रश्न में जुड़ा योनोफ़्स्की पेपर लॉवेर्ज़ प्रमेय का "श्रेणी-मुक्त" प्रदर्शनी होने का इरादा है, जो लोगों के लिए अनुकूल है, जिसके लिए लॉवेरी का श्रेणी सिद्धांत भयभीत हो सकता है।

— जोशुआ ग्रोचो

यह भी देखें cstheory.stackexchange.com/a/2830

— एंड्रास सालेमन

Answer 1

संपादित करें: रोजर के निश्चित-बिंदु प्रमेय के बारे में बताते हुए कहा कि लॉविएर का विशेष मामला नहीं हो सकता है।

यहाँ एक प्रमाण है जो "करीब" हो सकता है ... यह लॉवर के प्रमेय के बजाय रोजर के निश्चित-बिंदु प्रमेय का उपयोग करता है। (आगे की चर्चा के लिए नीचे टिप्पणी अनुभाग देखें।)

चलो कश्मीर ( एक्स ) की स्ट्रिंग Kolmogorov जटिलता हो एक्स । $K(x)$$x$

लेम्मा । K संगणनीय नहीं है$K$ ।

सबूत ।

1. विरोधाभास के लिए मान लीजिए कि कश्मीर कम्प्यूटेशनल है।$K$

2. परिभाषित कश्मीर ' ( x ) किसी भी ट्यूरिंग मशीन की न्यूनतम एन्कोडिंग लंबाई होने के लिए एम के साथ एल ( एम ) = { x } । $K'(x)$$M$$L(M) = \{x\}$

3. एक निरंतर c मौजूद है जैसे कि | K ( x ) - K ′ ( x ) | ≤ c सभी स्ट्रिंग्स x के लिए ।$c$$|K(x) - K'(x)|\le c$$x$

4. फ़ंक्शन निर्धारित च ऐसी है कि च ( ⟨ एम ⟩ ) = ⟨ एम ' ⟩ जहां एल ( एम ' ) = { x } ऐसी है कि एक्स न्यूनतम स्ट्रिंग ऐसी है कि कश्मीर ( एक्स ) > | ⟨ एम ⟩ | + सी । $f$$f(\langle M \rangle) = \langle M' \rangle$$L(M') = \{x\}$$x$$K(x) > |\langle M\rangle| + c$

5. चूँकि K संगणनीय है, अतः f है ।$K$$f$

6. By Roger's fixed-point theorem, $f$ has a fixed point, that is, there exists a Turing Machine $M_0$ such that $L(M_0) = L(M_0')$ where $\langle M_0' \rangle = f(\langle M_0\rangle)$.

7. By the definition of $f$ in line 4, we have $L(M_0) = \{x\}$ such that $K(x) > |\langle M_0\rangle| + c$.

8. Lines 3 and 7 imply $K'(x) > |\langle M_0\rangle|$.

9. But by the definition of $K'$ in line 2, $K'(x) \le |\langle M_0 \rangle|$, contradicting line 8.

Comments

As far as I know Roger's fixed-point theorem is not an instance of Lawvere's fixed-point theorem. It is a variant, though, because in the effective topos it reads as follows: if $f : \mathbb{N} \rightrightarrows A^\mathbb{N}$ is a mutlivalued surjection then $A$ has the fixed-point property. (Lawvere's theorem in the effective topos is: if $f : B \to A^B$ is a surjection then $A$ has the fixed-point property.)

— Andrej Bauer

Above my pay grade, @AndrejBauer -- I don't know category theory. Tried reading this and your answer here. Still don't get it. Can you tell me, in your comment above, for Rogers' theorem, what do you take for the function $f$ (with type $f:\mathbb{N}\overrightarrow{\rightarrow} A^{\mathbb{N}}$), and what is $A$? Or maybe suggest an appropriate tutorial?

— Neal Young

Slides 45 and 46 in math.andrej.com/wp-content/uploads/2007/05/syncomp-mfps23.pdf (the good news is that now I have a definite plan and a deadline for writing up an extensive paper on synthetic computability).

— Andrej Bauer