सीमित व्यास के बिंदुओं का सबसे बड़ा सेट खोजना

Question

दिए गए बिंदुओं in और एक दूरी इन बिंदुओं का सबसे बड़ा उपसमूह ढूंढती है, जैसे कि उनमें से कोई दो की यूक्लिडियन दूरी से अधिक नहीं है ।$p_1,\ldots,p_n$$\mathbb{R}^{d}$$l$$l$

इस समस्या की जटिलता क्या है?

उन बिंदुओं पर ग्राफ में, जिसमें एक छोर होता है जब भी दो बिंदुओं की दूरी अधिकतम , तो समस्या अधिकतम क्लिक खोजने के बराबर होती है। इस कांसेप्ट पर पकड़ नहीं हो सकती है, क्योंकि हर ग्राफ को इस तरह से प्राप्त नहीं किया जा सकता है (एक उदाहरण लिए स्टार )। इसलिए एक संबंधित प्रश्न यह है: रेखांकन के इस वर्ग के बारे में क्या जाना जाता है?के 1 , 7 डी = $l$$K_{1,7}$$d=2$

Comments

ध्यान दें कि यदि निश्चित है, तो एक "तुच्छ" पी-टाइम एल्गोरिथ्म है: चूंकि ऐसा सेट त्रिज्या की एक गेंद में संलग्न है , और सामान्यता के नुकसान के बिना गेंद न्यूनतम है (यानी अंक को छूता है ) बस सभी सबसेट पर गणना करें। आप बेहतर कर सकते हैं, लेकिन एक जटिलता के दृष्टिकोण से, समस्या "आसान" है। l / 2 d + $d$$l/2$$d+1$

— सुरेश वेंकट

मुझे नहीं लगता कि यह सच है कि इष्टतम सेट आवश्यक रूप से त्रिज्या l / 2 की एक गेंद में संलग्न है। उदाहरण के लिए, समतल लंबाई के समबाहु त्रिभुज के तीन कोने इतने संलग्न नहीं हैं।

— डेविड एप्पस्टीन

आह सच। लेकिन गणना की परवाह किए बिना काम करना चाहिए।

— सुरेश वेंकट

आप बॉल्स के अंदर सबमेट्स की गणना कर सकते हैं, लेकिन यदि आप त्रिज्या l / 2 बनाते हैं, तो आपको कुछ कम-व्यास वाले उपसमुच्चय नहीं मिलेंगे, और यदि आप त्रिज्या को इससे अधिक बनाते हैं, तो यह स्पष्ट नहीं है कि उपसमुच्चय को कैसे ट्रिम करें ताकि वे कम व्यास है।

— डेविड एप्पस्टीन

मैं सबसेट की गणना क्यों नहीं कर सकता, एक गेंद को घेरने वाला एक मिनट ढूंढूं, और प्रत्येक के लिए कार्डिनैलिटी की गणना करूं?

— सुरेश वेंकट

Answer 1

जेफ एरिकसन के साथ मेरे पेपर में इस समस्या के द्वि-आयामी संस्करण के लिए एक समय एल्गोरिथ्म है, " निकटतम पड़ोसियों को आईटरेट किया गया है और न्यूनतम पॉलीटॉप्स ढूंढ रहा है ", डिस्क। अनि। Geom। 11: 321-350 1994 लेकिन यह उस समस्या का उपयोग करता है जिसे आप एक सबरूटीन के रूप में वर्णित करते हैं। समय हम इसे लिखा था कम से कम में, हम उच्च आयामों के लिए कुछ भी subexponential नहीं पता था (हालांकि अगर सबसेट केवल घातीय भाग पर निर्भर बनाया जा सकता है उस में अंक के बजाय एक ही अखबार में तकनीक का उपयोग)।$O(n^3\log n)$$k$$k$$n$

Answer 2

यदि आप व्यास में सबसे छोटे साथ सबसे छोटे उपसमुच्चय में रुचि रखते हैं, तो धारणा बहुत आसान है । ग्रिड का उपयोग करके एक रैखिक समय एल्गोरिथ्म अब "मानक" है। निरंतर शायद जैसा होगा ।$(1+\epsilon)l$$2^{O(1/\epsilon^d)}$

K अंक वाले सबसे छोटी गेंद को खोजने पर कुछ काम होता है, लेकिन व्यास की समस्या स्वाभाविक रूप से कठिन है। यह देखने के लिए कि, 3 डी में व्यास की गणना के लिए एक अच्छा प्रारंभिक बिंदु क्लार्कसन-शोर पेपर है।

Btw, उच्च आयामों के लिए, गेंद समस्या में समय घातीय में approximable है (या कुछ इसी तरह के शोर), coresets का उपयोग करके (लेकिन आयाम में नहीं!)। मुझे संदेह है कि इस समस्या के लिए इस दृष्टिकोण को बढ़ाया जा सकता है, लेकिन मैं गलत हो सकता हूं। $O(1/\epsilon^2)$