क्या टाइप थ्योरी में गैर-समाप्ति और रुकने के प्रमाण की अच्छी धारणा है?

Question

करी हावर्ड पत्राचार के तहत इसकी मूल व्याख्या के साथ रचनात्मक प्रकार के सिद्धांत में कुल, गणना योग्य कार्य शामिल हैं। साहित्य में, कुछ को "कम्प्यूटेशनल प्रकार के सिद्धांत" का उपयोग करने के लिए कहा गया है ताकि कार्यात्मक कार्यक्रमों में गैर-समाप्ति का प्रतिनिधित्व किया जा सके, फिर भी मैं जिन पत्रों में आया हूं, यह सिद्धांत के लिए प्रमुख प्रेरणा नहीं लगती है (उदाहरण के लिए) बेंटन ने गैर-नियतत्ववाद, निरंतरता और अपवादों का उल्लेख किया है, गैर-समाप्ति पर बहुत विस्तार किए बिना), इसलिए मुझे अभी तक कम्प्यूटेशनल प्रकार के सिद्धांत का उपयोग करके गैर-समाप्ति की एक मजबूत व्याख्या देने वाला एक पेपर ढूंढना है।

विशेष रूप से, मैं जो खोज रहा हूं वह एक ऐसा तरीका है जो कि टाइप , टी ( ए ) के संभावित गैर-समाप्ति कम्प्यूटिंग का प्रतिनिधित्व करने वाला एक प्रकार दिया गया है , सबूत की कुछ धारणा होनी चाहिए कि एक्स : टी ( ए ) प्रकार एच ( एक्स ) की समाप्ति , ऐसा है कि दिए गए एक्स : टी ( ए ) और पी : एच ( एक्स ) , हम एक अवधि के निर्माण कर सकते हैं ~ एक्स : एक ।$A$$T(A)$$x : T(A)$$H(x)$$x:T(A)$$p:H(x)$$\tilde x : A$

इसके लिए मेरी प्रेरणा है, मैं अंततः टाइप थ्योरी के निर्माण के लिए कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में अधिक औपचारिक रूप से संबंधित धारणाओं में सक्षम होना चाहूंगा। विशेष रूप से, मैं इस बात में दिलचस्पी रखता हूं कि एक औपचारिक सिद्धांत के रूप में किस शक्ति का निर्माण एक प्रकार के पड़ाव तक पहुँचने के साथ होता है, और ऐसा करने के लिए, मुझे निश्चित रूप से संभव गैर-समाप्ति की औपचारिक धारणा, और रुकने के प्रमाण की आवश्यकता है। टाइप-थ्योरिटिक ढांचे के अंदर इसके साथ जाएं।

Comments

$f$$A$$B$ $\mathrm{dom}(f)$$x\in A$$\mathrm{dom}(f)(x)$$f$$x$

क्या आप विलंबित मोनाद की तलाश कर रहे हैं ?

— बाउर

$A$$B$

Answer 1

क्योंकि औपचारिकताओं में टाइप थ्योरी के प्रमुख अनुप्रयोगों में से एक है सामान्य रूप से गैर-समाप्तिकारी कार्यक्रमों का प्रतिनिधित्व करने के तरीकों पर विचार करने के लिए प्रोग्रामिंग भाषाओं और संगणना का अध्ययन करना।

मैं यहां एक पूर्ण सर्वेक्षण नहीं करूंगा, लेकिन मैं विभिन्न दिशाओं के मुख्य जोर की ओर संकेत करूंगा।

• $F\ x\ y$$f$$x$$f(x)=y$$\forall x (\exists y, F\ x\ y)\vee (\neg\exists y, F\ x\ y)$

  ऐसा करने का एक और अधिक परिष्कृत तरीका है "बोव-कैप्रेटा" विधि ( टाइप थ्योरी में मॉडलिंग पुनरावर्तन देखें , जो प्रत्येक पुनरावर्ती कार्य के लिए, "सुलभ विधेय" को परिभाषित करता है जो इस तथ्य को कूटबद्ध करता है कि एक दिया गया परिमित परिमित है। फ़ंक्शन परिभाषा लेता है। एक अतिरिक्त तर्क जो एक प्रमाण है कि दिए गए इनपुट सुलभ हैं। इस अतिरिक्त विधेय के बिना फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए, आपको यह साबित करने की आवश्यकता है कि इनपुट के हर संभव संयोजन सुलभ हैं।

• $A$

  codata Delay A =
  | Now : A -> Delay A
  | Later (Delay A)
  

  यह Laterटोकन की एक संभावित रूप से अनंत धारा (गणना की "टिक") हो सकता है, जिसके परिणामस्वरूप परिणाम हो सकता है Now a। गैर-समाप्ति कार्यक्रम के साथ बिसमिलर होने के बराबर है

  लूप = बाद में लूप और समाप्ति को एक आगमनात्मक विधेय द्वारा परिभाषित किया जा सकता है Delay A:

  data Terminates : Data A -> Prop =
  | Term_now : forall x, Terminates (Now x)
  | Term_later : forall d, Terminates d -> Terminates (Later d)
  

  मुझे लगता है कि AGDA-istas इस जो वे कहते हैं के बारे में कहने के लिए बहुत कुछ है पक्षपात इकाई (जैसे देखने Danielsson )।

• "आंशिक प्रकार सिद्धांत" दृष्टिकोण : यह थोड़ा अधिक प्रयोगात्मक है (सिद्धांत अभी भी काम किया जा रहा है), लेकिन कुछ प्रकार के सिद्धांत हैं जो इस तथ्य से निपटने के लिए विकसित किए जा रहे हैं कि अनिवार्य रूप से दो प्रकार के कार्य हैं जिन्हें हम करना चाहते हैं टाइप थ्योरी में लिखें: प्रमाण शब्द और कार्यक्रम। यह इन चीजों का एक उचित सिद्धांत प्राप्त करने के लिए कठिन हो जाता है (और सिद्धांत की निरंतरता को बनाए रखना), लेकिन कैसिंघिनो एट अल द्वारा एक गंभीर प्रयास और किमेल एट अल द्वारा इसी तरह का प्रयास किया जाता है ।

मुझे यकीन है कि अन्य दृष्टिकोण हैं जिनके बारे में मुझे जानकारी नहीं है, और अगर कोई इस सूची को पूरा करना चाहता है तो मुझे खुशी होगी।

$\Pi^0_1$

अन्य प्रकार, सिद्धांत और जटिलता सिद्धांत के बीच काफी फलदायक बातचीत होती है, आमतौर पर अंतर्निहित कम्प्यूटेशनल जटिलता की छतरी के नीचे ।

Comments

दिलचस्प है, जानकारी के लिए धन्यवाद! मेरा मानना ​​है कि आंशिक प्रकार के सिद्धांत का दृष्टिकोण संभवतः आत्मा के सबसे करीब है जो मैं देख रहा हूं - और बहुत कम से कम, किमेल पेपर कुछ स्तर पर प्रदान करता प्रतीत होता है विशेष रूप से मैं जो देख रहा हूं ("tcast" के लिए टाइपिंग नियम देखें) )।

— नाथन बेदेल