प्लानर रेखांकन के लिए वृक्ष का अपघटन

Question

पहले गणित पर पूछा । कोई जवाब नहीं के साथ।

1. मान लीजिए कि मेरे पास एक प्लैनर ग्राफ है, एक प्लानर एम्बेडिंग के साथ, मैं पेड़ के अपघटन को कैसे खोजूं?
2. इष्टतम पेड़ का अपघटन क्या है $d$-द्वारा-$d$वर्ग ग्रिड? पूरी तरह से सुनिश्चित नहीं है कि "इष्टतम" को कैसे परिभाषित किया जाए, लेकिन इसे एक बड़े बैग के साथ अपघटन और कई बड़े बैग के साथ अपघटन के बीच अंतर करना चाहिए।

Answer 1

यदि आप वास्तव में चाहते हैं तो एक अच्छा उन्मूलन आदेश है, आप सामान्यीकृत घोंसले के विच्छेदन के लिए देख सकते हैं । यह वह रणनीति है जो देने के लिए एक प्लानर ग्राफ के अच्छे विभाजकों का शोषण करती है$O(n^{\omega/2})$ गॉर्जियन उन्मूलन के लिए एल्गोरिदम, नियतांक आदि, मैटरिस के लिए, जो ग्राफर ग्राफ से आते हैं।

Comments

दिलचस्प है, मुझे विधि पर विस्तार से साहित्य का एक पूरा समूह मिला। अगर मैं सही ढंग से समझूं, तो इष्टतम उन्मूलन आदेश दिया गया है, इष्टतम पेड़ अपघटन आसान है

— यारोस्लाव बुलटोव

Answer 2

पहले सवाल के लिए, यह खुला है कि क्या ग्रह के रेखांकन के लिए एक पेड़ के अपघटन का पता लगाना बहुपद समय में किया जा सकता है। सबसे अच्छा सन्निकटन एल्गोरिदम सीमोर और थॉमस द्वारा रैटचैकर एल्गोरिथ्म हो सकता है , जो प्लानर ग्राफ की शाखा की गणना करता है , इसलिए इसमें शाखा और ट्रेविद के बीच संबंध द्वारा 1.5 सन्निकटन अनुपात है।

दूसरे के लिए, हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय के बारे में है $k \times k$ ग्रिड:

प्रमेय। ए$k \times k$ ग्रिड में ट्रेविदथ है $k$।

और बैग को आकार के साथ लिया जा सकता है $k+1$, कुल के साथ $k(k-1)$बैग। मुझे यकीन नहीं है कि यह वही है जो आप चाहते हैं, इसलिए ऐसा करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें यदि आप "इष्टतम" की परिभाषा को संशोधित करते हैं।

Answer 3

यदि आप एक इष्टतम वृक्ष अपघटन नहीं चाहते हैं, तो आप पुनरावर्ती रूप से विभाजकों की गणना करके एक वृक्ष अपघटन का निर्माण कर सकते हैं।