यह निर्धारित करना कि एक गैर-समूह समूह के तत्वों के क्रमचय से क्या हासिल किया जा सकता है

Question

एक परिमित समूह ठीक करें । मैं निम्नलिखित निर्णय समस्या में दिलचस्पी रखता हूं: इनपुट उन पर आंशिक आदेश के साथ जी के कुछ तत्व हैं, और सवाल यह है कि क्या उन तत्वों का एक क्रम है जो आदेश को संतुष्ट करता है और ऐसा है कि तत्वों की संरचना आदेश समूह के तटस्थ तत्व ई उपज देता है ।$G$$G$$e$

औपचारिक रूप से, -test समस्या$G$ इस प्रकार है, जहां समूह को ठीक किया जाता है:$G$

• इनपुट: एक परिमित आंशिक रूप से आदेश दिया सेट एक लेबलिंग समारोह के साथ μ से पी करने के लिए जी ।$(P, <)$$\mu$$P$$G$
• आउटपुट: की एक रेखीय विस्तार वहाँ मौजूद है या नहीं (यानी, एक कुल आदेश ( पी , < ' ) ऐसे सभी के लिए है कि एक्स , वाई ∈ पी , एक्स < y का तात्पर्य एक्स < ' y ), ऐसा है कि, के तत्वों लिख पी कुल आदेश निम्नलिखित < ' के रूप में एक्स 1 , ... , x n , हम μ ( एक्स 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ μ $P$$(P, <')$$x, y \in P$$x < y$$x <' y$$P$$<'$$x_1, \ldots, x_n$ ।$\mu(x_1) \cdot \cdots \cdot \mu(x_n) = e$

किसी भी समूह , एनपी में जी -टेस्ट समस्या स्पष्ट रूप से है। मेरा सवाल है: क्या कोई समूह G ऐसा है जो G -test समस्या NP-hard है?$G$$G$$G$$G$

समतुल्य समस्या बयानों के बारे में कुछ टिप्पणी:

• पॉज़ेट और रैखिक एक्सटेंशन की भाषा को DAG और सामयिक आदेशों के साथ समान रूप से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। है यही कारण है कि, अगर आप चाहें, तो आप समूह तत्वों के साथ लेबल कोने के साथ एक DAG के रूप में इनपुट के बारे में सोच, और पूछा था कि क्या इनपुट DAG के कुछ संस्थानिक प्रकार प्राप्त होता है के रूप में आउटपुट के रूप में कर सकते हैं ।$e$
• एक के बजाय एक कठिन समस्या है, जहां हम एक poset दिया जाता है पर विचार कर सकते और जी ∈ जी , और पूछते हैं कि क्या जी (बजाय ई ) महसूस किया जा सकता। वास्तव में मजबूत समस्या ऊपर करने के लिए कम कर देता है: हम पूछ सकते हैं कि क्या ई द्वारा महसूस किया जा सकता ( पी ' , < ) , जहां पी ' है पी लेकिन एक तत्व लेबल के साथ जी - 1 जो सभी दूसरों की तुलना में छोटा होता है। इसलिए उपरोक्त परिभाषा में ई का प्राकृतिक विकल्प है ।$(P, <)$$g \in G$$g$$e$$e$$(P', <)$$P'$$P$$g^{-1}$$e$

अब, समस्या को हल करने के मेरे प्रयासों के बारे में:

• बेशक, यदि समूह कम्यूटेटिव है, तो G -test समस्या स्पष्ट रूप से PTIME में है क्योंकि सभी रेखीय एक्सटेंशन समान समूह तत्व को प्राप्त करते हैं, इसलिए हम सिर्फ टोपोलॉजिकल सॉर्ट करके उनमें से किसी एक को चुन सकते हैं और जांच सकते हैं कि यह ई है या नहीं। तो दिलचस्प मामला गैर-कम्यूटेटिव जी है । आम तौर पर, अगर जी कुछ गैर तुच्छ विनिमेय समूह (जैसे, के लिए एक समरूपता है हस्ताक्षर , क्रमपरिवर्तन के लिए), एक आवश्यक लेकिन गैर पर्याप्त हालत विनिमेय छवि में PTIME में समरूपता के माध्यम से समस्या को देखो और यह जाँच करने के लिए है । मैं यह देखने में विफल हूं कि क्या यह सभी परिमित समूहों के लिए अपघटन योजना का सामान्यीकरण कर सकता है।$G$$G$$e$$G$$G$
• यदि ऑर्डर रिलेशन खाली है (यानी, हमें में तत्वों का एक मल्टीसेट दिया गया है और किसी भी क्रमपरिवर्तन का उपयोग कर सकते हैं), समस्या को डायनेमिक प्रोग्रामिंग द्वारा हल किया जा सकता है, जहां राज्यों G में प्रत्येक तत्व की घटनाओं की संख्या है जो अभी भी हैं उपयोग नहीं किया गया (याद रखें कि जी निश्चित है, इसलिए राज्यों की संख्या इनपुट में बहुपद है)।$G$$G$$G$
• उन इनपुटों के लिए जो निरंतर चौड़ाई के पॉसेट हैं, हम एक चेन डिकम्पोजिशन के बाद एक डायनामिक एल्गोरिथ्म का उपयोग कर सकते हैं। तो अगर कठोरता रखती है तो इसे ऐसे इनपुट पोज़ का उपयोग करना चाहिए जो मनमाने ढंग से व्यापक हों। ध्यान दें कि विस्तृत posets के लिए संभव "राज्यों" एक गतिशील प्रोग्रामिंग दृष्टिकोण में की संख्या की संख्या होगी विचलित कर देता है , poset, जो सामान्य घातीय और बहुपद नहीं है की ताकि दृष्टिकोण सीधे काम नहीं करता है।
• एक ही समस्या का अध्ययन समूहों के बजाय monoids के लिए किया जा सकता है, लेकिन monoids के लिए मैं पहले से ही जानता हूं कि यह काफी कठिन तर्क है, जिसमें एक ऑटोमेटन का संक्रमण मोनॉयड शामिल है और एक पिछले CStheory प्रश्न के एक संस्करण को कम करता है । इस का पूरा सबूत है इस प्रीप्रिंट , D.1.3 और D.1.4 परिशिष्ट, हालांकि शब्दावली बहुत अलग है। इसलिए, जब -testing PTIME है, तो इसे समूह तत्वों की अक्षमता का उपयोग करना होगा।$G$
• अगर हमने पूछा कि क्या सभी रैखिक एक्सटेंशन एहसास करते हैं (बजाय कि कुछ करता है), तो मुझे पता है कि पीटीआईईएम में होने वाली समस्या है (एक ही छाप के परिशिष्ट D.2 देखें), हालांकि मुझे यह भी पता है कि यह अन्य समस्या coNP- होगी समूहों (D.1.3 और D.1.4) के बजाय monoids के लिए कठिन है।$e$

यदि -est कुछ G के लिए कठिन है , तो निश्चित रूप से, स्वाभाविक प्रश्न यह है कि क्या कुछ dichotomy रखती है, और कौन सा मानदंड G और गैर-ट्रैफिक G को अलग करेगा । वास्तव में यह प्रश्न अधिक सामान्यतः पूछा जा सकता है जब हम समूहों के बजाय परिमित ऑटोमेटा का उपयोग करते हैं। (औपचारिक रूप से: फिक्स एक परिमित वर्णमाला Σ , और एक परिमित नियतात्मक परिमित automaton (DFA) एक पर Σ , और विचार एक टेस्ट समस्या, एक poset से तत्वों के साथ लेबल दिया Σ जाँच एक शब्द द्वारा स्वीकार कर लिया है कि क्या कुछ रैखिक विस्तार रूपों में से, ए ।) बेशक मुझे इन कठिन सवालों के बारे में कोई जानकारी नहीं है।$G$$G$$G$$G$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$

Comments

क्या आप केवल -test समस्या के बारे में परिणामों में रुचि रखते हैं जहां G एक परिमित समूह है, या क्या आप एक अनंत G के लिए रुचि रखते हैं जिसके लिए G -test NP-complete है? $G$$G$$G$$G$

— मिखाइल रूडॉय

अनंत , आपको संभवतः कुछ भी दिलचस्प पाने के लिए समूह संचालन पर जटिलता की सीमाएं लगाने की जरूरत है (क्या होगा यदि रचना फ़ंक्शन इनपुट तत्वों में गणना करने के लिए एनपी-हार्ड है?)। हालांकि, मेरे पास "उचित" अनंत जी का कोई उदाहरण नहीं है जहां कठोरता रखती है, इसलिए मुझे इस के एक उदाहरण से भी दिलचस्पी होगी। $G$$G$

— a3nm

क्या बैरिंगटन की प्रमेय (या इसके बारे में कुछ) का उपयोग करने का कोई तरीका है? मैं यह पता नहीं लगा सकता कि कैसे, क्योंकि मैं यह पता नहीं लगा सकता कि कुल आदेश का चयन करते समय किए गए विकल्पों के बीच दीर्घकालिक सहसंबंधों की व्यवस्था कैसे की जाए, लेकिन शायद कोई और इसे कैसे करना है।

— डीडब्ल्यू

Answer 1

मैं नीचे दिखाता हूं कि कुछ सरल लेकिन अनंत समूह जी के लिए -टेस्ट समस्या एनपी-हार्ड है । परिमित मामला अभी भी खुला है।$G$$G$

सबूत

निम्नलिखित कार्यों को परिभाषित करें: और g a ( x ) = x + a ।$f(x) = -x$$g_a(x) = x + a$

तब ले द्वारा उत्पन्न समूह होने के लिए च और छ एक आपरेशन के रूप में संरचना के साथ।$G$$f$$g_a$

नोट के तत्वों है कि रहे हैं { च ∘ जी एक | a ∈ Z } ∪ { g a | एक ∈ जेड } , तो यह वास्तव में एक बहुत सरल समूह है।$G$$\{f \circ g_a | a \in \mathbb{Z} \} \cup \{g_a | a \in \mathbb{Z} \}$

तब विभाजन से घटकर -test समस्या NP-hard होती है।$G$

विभाजन समस्या पूर्णांकों का एक दिया अनुक्रम के लिए पूछता है क्या समान राशि के दो भागों में उस अनुक्रम का एक विभाजन मौजूद है।$a_1, a_2, ..., a_n$

इस तरह के किसी भी अनुक्रम के लिए, हम n + 2 तत्वों को शामिल करने के लिए अपने पोसेट को लेते हैं जिसमें कोई आदेश नहीं लगाया गया है। इनमें से दो तत्व एफ हैं । अन्य n तत्व हैं जी एक मैं के लिए मैं = 1 , । । । , एन ।$P$$n+2$$f$$n$$g_{a_i}$$i = 1,..., n$

ध्यान दें कि और कहा कि च ∘ जी पी ∘ च = जी - पी । केवल इन तथ्यों का उपयोग करना, हम देखते हैं कि में तत्वों की संरचना पी किसी भी क्रम में हमेशा बराबर जी Σ मैं ∉ मैं एक मैं - Σ मैं ∈ मैं एक मैं जहां मैं सूचकांक के सेट जिसके लिए है जी एक मैं के बीच रखा गया था च की दो घटनाएं$g_p \circ g_q = g_{p+q}$$f \circ g_p \circ f = g_{-p}$$P$$g_{\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i}$$I$$g_{a_i}$$f$। के बाद से पहचान है , के एक आदेश पी तभी उस आदेश के तहत अगर पहचान में तैयार करता Σ मैं ∉ मैं एक मैं - Σ मैं ∈ मैं एक मैं = 0 , या दूसरे शब्दों में यदि और केवल यदि Σ मैं ∉ मैं एक मैं = Σ मैं ∈ मैं एक मैं ।$g_0$$P$$\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i = 0$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

तब से इस उदाहरण -problem एक समाधान यदि और केवल यदि वहाँ एक से मौजूद है मैं ऐसा है कि Σ मैं ∉ मैं एक मैं = Σ मैं ∈ मैं एक मैं ; यह ठीक उसी स्थिति में है जिसके तहत विभाजन का उदाहरण हल है।$G$$I$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

इस प्रकार यह कमी उत्तर संरक्षण है। चूंकि यह भी स्पष्ट रूप से बहुपद समय है ( के तत्वों के किसी भी उचित एन्कोडिंग को मानते हुए ), जी -टेस्ट समस्या एनपी-पूर्ण है।$G$$G$

Comments

बहुत बहुत धन्यवाद। वास्तव में मुझे विभाजन से एक कमी के बारे में पता था कि एक अनंत समूह के लिए -est की कठोरता दिखाने के लिए, लेकिन हमारी अभिव्यक्ति की अतिरिक्त अभिव्यंजक शक्ति (apx D.1.2) का उपयोग करते हुए, और हमने यह नहीं देखा कि G -est की कठोरता कैसे प्राप्त की जाए? यह। यह बहुत दिलचस्प है कि आप इसे तब भी कर सकते हैं जब अभी भी तत्वों पर एक आदेश लगाने की शक्ति का उपयोग नहीं कर रहे हैं। यह इंगित करने के लिए फिर से धन्यवाद! हालांकि, परिमित मामले के लिए, हम इस बात से सहमत हैं कि बंधे हुए रकम या मोदुल का उपयोग करने के लिए अपने सबूत को मोड़ने की कोशिश करने और एक परिमित समूह प्राप्त करने का परिणाम कठिन समस्या नहीं होगा, है ना? $G$$G$

— a3nm

Answer 2

मेरे कोथोर के साथ, हमने सिर्फ एक प्रीपेयर पोस्ट किया है जो इस समस्या का अध्ययन नियमित भाषाओं के लिए अधिक आम तौर पर करता है। परिमित समूहों के मामले में, हम दावा करते हैं कि समस्या ट्रैक्टेबल है (एनएल में) उस मामले में जहां तत्वों पर आंशिक क्रम में जंजीरों का एक संघ होता है: प्रमेय 6.2 देखें। हम अनुमान लगाएंगे कि सामान्य डीएजी के लिए समस्या भी एनएल में है, और उस सेटिंग में तकनीक का विस्तार करने की कुछ उम्मीद है, लेकिन हम इसके लिए एक घटक को याद कर रहे हैं, इस प्रश्न से संबंधित - विवरण के लिए, प्रीप्रिंट, अनुभाग देखें 6, अंत में "सीमाएं" पैराग्राफ, दूसरी सीमा।