लेबल वाले DAG के लिए Dilworth के प्रमेय का सामान्यीकरण

Question

एक antichain एक में DAG एक सबसेट है एक ⊆ वी कोने कि जोड़ो में पहुंचा नहीं जा सकता है, अर्थात्, वहाँ कोई नहीं है के वी ≠ वी ' ∈ एक ऐसी है कि वी से पहुंचा जा सकता है वी ' में ई । से Dilworth की प्रमेय आंशिक आदेश सिद्धांत रूप में, यह ज्ञात है कि यदि DAG आकार का कोई antichain है कश्मीर ∈ एन , तो यह का एक संघ में ज्यादा से ज्यादा विघटित किया जा सकता कश्मीर - 1 संबंध तोड़ना चेन, यानी, निर्देशित पथ।$(V, E)$$A \subseteq V$$v \neq v' \in A$$v$$v'$$E$$k \in \mathbb{N}$$k-1$

$v$$\lambda(v)$$\Sigma$$A \subseteq V$$\Sigma$$A$$\min_{a \in \Sigma} |\{v \in A \mid \lambda(v) = a\}|$ $k \in \mathbb{N}$, मैं इसकी संरचना के बारे में क्या मान सकता हूं? क्या मैं इसे कुछ विशेष तरीके से विघटित कर सकता हूं? मैं पहले से ही \ सिग्मा = \ {ए, बी \} के मामले से हैरान हूं $\Sigma = \{a, b\}$, लेकिन सामान्य परिमित लेबल सेट के मामले में भी रुचि रखता हूं ।

के लिए यह कल्पना करने के लिए करते हुए कहा कि लेबल आकार का कोई antichain है का मतलब है कोई युक्त कम से कम antichain है कि वहाँ कोने लेबल और कोने लेबल ; मनमाने ढंग से बड़े एंटीचाइन्स हो सकते हैं लेकिन उन्हें केवल तत्व या केवल तत्वों को शामिल करना होता है , जो कि अपवादों तक होता है। ऐसा लगता है कि बड़े एंटीकाइन्स को हटाने से यह लागू होना चाहिए कि डीएजी अनिवार्य रूप से लंबित कोने के लिए बड़ी चौड़ाई के हिस्सों और लिए बड़ी चौड़ाई के बीच "वैकल्पिक" है।$\Sigma = \{a, b\}$$G$$k$$k$$a$$k$$b$$a$$b$$k-1$$a$$b$लंबित वर्जन, लेकिन मैं इस अंतर्ज्ञान को औपचारिक रूप देने में सक्षम नहीं हूं। (बेशक, एक उपयुक्त संरचनात्मक लक्षण वर्णन में डीएजी के आकार के अलावा कोने के लेबल के बारे में बात करनी चाहिए, क्योंकि पहले से ही $k \geq 1$ और on $\{a, b\}$ लिए शर्त पूरी तरह से मनमाने ढंग से DAG द्वारा संतुष्ट है जब भी कोने एक ही लेबल ले जाते हैं।)

Comments

@ सईद, नहीं यह काम नहीं करता है। आपका भ्रम इस तथ्य से आता है कि यदि कोई पत्र एंटीचिन में नहीं दिखता है, तो उसका लेबल आकार । उदाहरण के लिए ले लो एक द्विपक्षीय ग्राफ की पूरी जी = (ए, बी, ई), एक से बी करने के लिए उन्मुख हर बढ़त के साथ एक के हर शिखर को लेबल और के साथ बी के हर शिखर । फिर प्रत्येक एंटीथिन में इसका रंग सबसे अधिक होता है और इस प्रकार यह लेबल आकार , लेकिन आप इसे असंतुष्ट श्रृंखला के साथ कवर नहीं कर सकते । एक DAG है कि आप के साथ लेबल के साथ एक ही ही। $0$$a$$b$$0$$m(k-1)$$a$

— होली

@holf, ठीक है, मुझे लगा कि हम उन लेबलों की गिनती करते हैं जहां वे एंटीचिन में दिखाई देते हैं, मैंने नोटिस नहीं किया कि मिग सिग्मा के सभी तत्वों पर जाता है। मुझे लगता है कि यह थोड़ी अजीब परिभाषा है।

— सईद

@ सईद: बिंदु एक विशाल विविधता के प्रतीक के साथ एंटीकाइन्स को हटाने के लिए है। इसके लिए अंतर्ज्ञान यह है कि हम डीएजी पर एक समस्या की जटिलता का अध्ययन कर रहे हैं, जो कि जब आपके पास इतने बड़े एंटीकाइन्स (अतुलनीय प्रतीकों की पर्याप्त रूप से कई घटनाएं) होते हैं, तो यह तुच्छ हो जाता है। समग्र ट्रैक्टिबिलिटी दिखाने के लिए हमें केवल डीएजी के मामले को संभालने की जरूरत है, जहां यह पैटर्न नहीं होता है, इसलिए हम यह पता लगाना चाहते हैं कि ऐसे डीएजी को उनके लिए ट्रैक्टेबल एल्गोरिदम डिजाइन करने के लिए कैसे विघटित किया जा सकता है। (उदाहरण के लिए,

— गैर

Answer 1

चार्ल्स पापरमन के साथ हम DAGs के लिए वर्णमाला साथ लेबल के लिए ऐसा परिणाम प्राप्त करने में सक्षम हैं । अनिवार्य रूप से, हम है कि एक DAG दी दिखा सकते हैं की बड़ी antichains है कि -labeled तत्वों, के बड़े antichains तत्वों -labeled, लेकिन कोई बड़ी दोनों कई युक्त antichains -labeled और -labeled तत्वों, तब वहाँ के अपघटन है विभाजन के रूप में , जहाँ:$\{a, b\}$$G$$a$$b$$a$$b$$G$$L_1, \ldots, L_n$

• विभाजन जिसे हम "लेयरिंग" कहते हैं, अर्थात: $L_1, ..., L_n$
  • प्रत्येक एक उत्तल सेट है, अर्थात, यदि और तो$L_i$$x, y \in L_i$$x \leq z \leq y$$z \in L_i$
  • सभी के लिए , वहाँ कोई है और ऐसी है कि$i < j$$x \in L_i$$y \in L_j$$y \leq x$
• किसी भी antichain के लिए की , वहाँ कुछ है ऐसा है कि "लगभग निहित" में है , यानी,एक स्थिर से कम है$A$$G$$i$$A$$L_i$$|A \setminus L_i|$
• प्रत्येक , निम्न में से एक सत्य है: $L_i$
  • $L_i$ की एक बड़ी antichain शामिल -labeled तत्वों और का कोई बड़ा antichain शामिल -labeled तत्वों$a$$b$
  • $L_i$ की एक बड़ी antichain शामिल -labeled तत्वों लेकिन का कोई बड़ा antichain शामिल -labeled तत्वों$b$$a$

इसके अलावा, इस तरह के विभाजन की गणना PTIME में की जा सकती है।

मैंने अपना वर्तमान प्रमाण ऑनलाइन पोस्ट किया है । यह बहुत कठिन है और अनिवार्य रूप से प्रूफरीड नहीं है क्योंकि हमारे पास अब के परिणाम के लिए कोई उपयोग नहीं है, लेकिन मैंने अभी भी यह सोचा था कि इस CStheory प्रश्न का उत्तर हमारी वर्तमान प्रगति के साथ जोड़ना होगा। यदि आप परिणाम में रुचि रखते हैं, तो मेरे साथ संपर्क करने में संकोच न करें, लेकिन सबूत का कोई मतलब नहीं निकाल सकते।