यह संख्या सिद्धांत समस्या किस जटिलता वर्ग से संबंधित है?

'दिए गए , वहाँ , ' is । $a,b,c\in\Bbb N$ $x,y\in\Bbb N$ $ax^2+by=c$ $\mathsf{NP}$

कौन सी जटिलता वर्ग 'दिया गया है , है , ' से संबंधित हैं? $a,b,c\in\Bbb N$ $x,y\in\Bbb N$ $ax^2+by^2=c$

पहली समस्या एनपी-पूर्ण क्यों है? एक संदर्भ की सराहना की जाएगी। :)

— माइकल वीहर

@ मिचेल वेबर, द्विघात डायोफैंटाइन एनपी-पूर्ण है। मुझे लगता है कि यह गैरी और जॉनसन में भी है।

— केवह

यह गैरी एंड जॉनसन में एएन 8, पृष्ठ 250: मैंडर्स एंड एडलमैन, "द्विआधारी क्वाड्रिक्स के लिए एनपी-पूर्ण निर्णय समस्याएं" है।

— केवह

तर्कसंगत समाधानों की मौजूदगी बहुपदीय रूप से फैक्टरिंग करने के लिए अतिरेक है, इसलिए : Hasse सिद्धांत का उपयोग करते हुए , यह कि हिल्बर्ट प्रतीक सभी primes के लिए ।

N P \cap c o N P

$\mathrm{NP}\cap\mathrm{coNP}$

(a / c, b / c)_{p} = 1

$(a/c,b/c)_p=1$

p ∣ 2 a b c

$p\mid2abc$

— एमिल जेकाबेक

ध्यान दें कि (पूर्णांक या परिमेय विलेयता के लिए) आपको फैक्टरिंग से कुछ भी बेहतर होने की संभावना नहीं है: पहले से ही विशेष मामला (यानी, चाहे दो वर्गों का योग हो) पूछता है कि क्या सभी में होते हैं भी बहुलता के साथ, और मेरी जानकारी के अनुसार, यह ज्ञात कैसे फैक्टरिंग अधिक कुशलता से इस परीक्षण करने के लिए नहीं कर रहा है ; सीएफ mathoverflow.net/q/57981 ।

a = b = 1

$a=b=1$

c

$c$

p \equiv 3 (\mod 4)

$p\equiv3\pmod4$

c

$c$

c

$c$

— एमिल जेकाबेक

बाद में जोड़ा गया: जैसा कि टिप्पणियों में कहा गया है, एनपी ऊपरी सीमा तुच्छ है यदि ए, बी, और सी सकारात्मक हैं, जैसा कि पूछा गया था।

इस पत्र में प्रमेय 1.2 से पता चलता है कि अगर दो चर में दिए गए डायोफैंटाइन समीकरण का एक हल है, तो इसका निर्णय एनपी में है।

— मनु
स्रोत

मुझे नहीं लगता कि यह एक अच्छा जवाब है (यह स्पष्ट बताता है)।

यह उस प्रश्न का उत्तर देता है जो पूछा गया था। यदि आप आगे की स्थिति का इरादा कर रहे थे, तो आपको उन्हें प्रश्न में शामिल करने की आवश्यकता है।

— एन्द्रस सलामोन

@ AndrásSalamon, यह नहीं है, एनपी ऊपरी बाध्य तुच्छ लगता है जब और दोनों nonnegative होते हैं (इसलिए और बहुपद के बजाए , , और ) में बंधे होते हैं । असली सवाल यह है कि अगर यह एनपी के लिए कठिन है।

a

$a$

b

$b$

x

$x$

y

$y$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

— केवह

@ केव: हाँ, लेकिन वह नहीं है जो पूछा गया था। इसके अलावा, मैं बाइनरी में दिए गए a, b, c को मानता हूं, इसलिए x और y केवल n में घातीय रूप से बंधे हैं?

— आंद्र सलाम

@ AndrásSalamon, उनका आकार बहुपद में घिरा हुआ है । जैसा कि मैंने कहा, एनपी में होना समस्या के लिए तुच्छ है। पेपर एक अधिक सामान्य मामले के बारे में बात कर रहा है जो प्रश्न के बारे में नहीं है।

n

$n$

— केवह