सामान्य रेखांकन में सही मिलान के लिए नियतात्मक समानांतर एल्गोरिदम?

Question

जटिलता वर्ग , कुछ समस्याएं हैं जो वर्ग , अर्थात नियत समांतर एल्गोरिदम के साथ समस्याएं। अधिकतम प्रवाह समस्या एक उदाहरण है। और ऐसी समस्याएँ हैं जिनका में होना , लेकिन एक प्रमाण अभी तक नहीं मिला है।$\mathsf{P}$एन $\mathsf{NC}$$\mathsf{NC}$

बिल्कुल सही मिलान समस्या सबसे मौलिक समस्या ग्राफ सिद्धांत में उठाया में से एक है: दिए गए एक ग्राफ , हम के लिए एक आदर्श मिलान खोजने के लिए । जैसा कि मैंने इंटरनेट पर पाया, एडमंड्स द्वारा सुंदर बहुपद समय ब्लॉसम एल्गोरिथ्म के बावजूद , और 1986 में Karp, Upfal और Wigderson द्वारा एक समानांतर समानांतर एल्गोरिथ्म , ग्राफ के कुछ ही उपवर्गों को एल्गोरिदम के लिए जाना जाता है ।जी एन $G$$G$$\mathsf{NC}$

जनवरी 2005 में ब्लॉग कम्प्यूटेशनल जटिलता में एक पोस्ट है जो यह दावा करती है कि यह खुला रहता है कि क्या परफेक्ट मैचिंग । मेरा सवाल यह है कि:$\mathsf{NC}$

क्या तब से कोई प्रगति है, यादृच्छिक एल्गोरिथम से परे ?$\mathsf{NC}$

मेरी रुचि को स्पष्ट करने के लिए, कोई भी एल्गोरिथ्म जो सामान्य रेखांकन से संबंधित है, अच्छा है। यद्यपि रेखांकन के उपवर्गों के लिए एल्गोरिदम ठीक हैं, लेकिन यह मेरे नजरिए पर नहीं हो सकता है। आप सभी को धन्यवाद!

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EDIT 12/27 पर:

आपकी सभी मदद के लिए धन्यवाद, मैं एक ही आंकड़े में सभी परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करने की कोशिश करता हूं:

सबसे कम ज्ञात वर्गों में निम्नलिखित समस्याएं हैं:

• सामान्य रेखांकन में मिलान: [ KUW86 ], R N C 2 [ CRS93 ]$\mathsf{RNC}$$\mathsf{RNC}^2$
• द्विदलीय प्लेनार / स्थिर जीन ग्राफ में मिलान: / एस पी एल [ डीकेटी १० ] / [[१ ९ २०१art ]$\mathsf{UL}$$\mathsf{SPL}$
• कुल संख्या बहुपद होने पर मिलान करना: [ H09 ]$\mathsf{SPL}$
• लेक्स-प्रथम अधिकतम मिलान: [ MS89 ]$\mathsf{CC}$

इसके अलावा, प्रशंसनीय जटिलता धारणा के तहत: को घातीय सर्किट की आवश्यकता होती है, सामान्य रेखांकन में मिलान S P L [ ARZ98 ] में होता है।$\mathsf{SPACE[n]}$$\mathsf{SPL}$

Comments

शायद सीधे तौर पर प्रासंगिक नहीं है, लेकिन निश्चित मिलानों की संख्या की गणना करने के लिए नियतात्मक एल्गोरिदम में कुछ प्रगति हुई है, यानी गैंमरिक की "एक 0,1 मैट्रिक्स की स्थायी गणना के लिए नियतात्मक दृष्टिकोण एल्गोरिथम"

— यारो बुलटोव

रॉबिन कोठारी द्वारा यहाँ एक संबंधित पोस्ट है: cstheory.stackexchange.com/questions/1317/…

— Hsien-Chih Chang 張顯

@ Hsien-ChihChang s in Isnt L NC में जो NC ^ 2 में है जो P में है?

— टी ....

Answer 1

सामान्य रेखांकन में सही मिलान के लिए एन सी एल्गोरिदम अभी भी खुला है, लेकिन कुछ प्रगति हुई है। यहाँ कुछ है कि मैं के बारे में पता कर रहे हैं:$NC$

सामान्य रेखांकन के लिए, अग्रवाल-होआंग-थिएरौफ ने यह दिखाया कि सही मिलान की संख्या छोटी है, इन सभी को समाहित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है।$NC^2$

प्लैनर ग्राफ्स के वर्ग के लिए, पफैफ़ियन एक बड़ी भूमिका निभाता है। Kastelyn ने दिखाया कि कैसे हर प्लानर ग्राफ को इस तरह से उन्मुख किया जा सकता है कि पफैफ़ियन बिल्कुल सही मिलान की संख्या के बराबर हो। (इसका उपयोग विभिन्न प्रकार की समस्याओं के लिए " होलोग्राफिक एल्गोरिदम " देने के लिए वैलेंट द्वारा किया गया था ) महाजन-सुब्रमण्य-विनय ने दिखाया कि कैसे फफूंदी अनुक्रमों के संशोधनों का उपयोग करते हुए में pfaffian की गणना की जा सकती है । (वास्तव में Kastelyn P में एम्बेडिंग खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म देता है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि अगर pfaffian एम्बेडिंग को N C में भी गणना की जा सकती है , यदि हाँ, तो इसका मतलब यह होगा कि planar रेखांकन में सही मिलान की गिनती N C में है ।)$NC$$P$$NC$$NC$

और विनोदचंद्रन-तिवारी के हालिया परिणाम से पता चलता है कि में प्लेनर की पुनरावृत्ति को लगाने के लिए प्लेन ग्राफ (ग्रीन की प्रमेय का उपयोग करके) के लिए आइसोलेशन लेम्मा को "आरेखित" किया जा सकता है । लेकिन प्लानर मैचिंग के लिए एन सी एल्गोरिदम अभी भी खुले हैं (मेरे दावे को सही करने के लिए रघुनाथ के लिए धन्यवाद कि यह यू एल में है )। दत्ता-कुलकर्णी-रॉय द्वारा द्विदलीय प्लेनर मिलान के लिए एक एन सी एल्गोरिथ्म दिया गया था$UL$$NC$$UL$$NC$

उम्मीद है की यह मदद करेगा।

Comments

हां, मैंने विनोदचंद्रन-तिवारी के परिणाम पर गौर किया है। वास्तव में, यह पोस्ट किसी तरह से उनके परिणाम से प्रेरित है, हालांकि सीधे नहीं। अग्रवाल-होआंग-थिएरौफ द्वारा पेपर की जाँच करूँगा!

— सीन-चिह चांग।

Answer 2

कुछ साल बाद :) और परफेक्ट मैचिंग को अब क्वसी-एनसी में जाना जाता है (यानी, आपको अर्ध-बहुपद कई प्रोसेसर की आवश्यकता है)। फेनर, गुर्जर और थायरॉफ (द्विपद आलेखों के लिए) https://arxiv.org/pdf/1601.06319.pdf और ओला स्वेन्सन (सामान्य रेखांकन के लिए) के साथ हमारा काम देखें : https://arxiv.org/pdf/1704.01929

Answer 3

तिवारी-विनोदचंद्रन द्वारा अलगाव लेम्मा का व्युत्पन्नकरण योजनाबद्ध रूप से उल ऊपरी बाध्यता नहीं देता है। वास्तव में मैं भी नहीं लगता कि एक NC एल्गोरिथ्म planar मिलान के लिए नहीं जाना जाता है। लेकिन दत्ता, कुलकर्णी और निम्बोरकर के साथ एक हालिया काम में, हम द्विपदीय ग्रहकार मिलान पर उल ऊपरी बाउंड दिखाते हैं (इस परिणाम का लेखन अभी भी प्रगति पर है)। यह दिलचस्प है क्योंकि इससे पहले भी एक एनएल बाध्य इस समस्या के लिए जाना नहीं गया था।

Comments

TCS स्टैक एक्सचेंज में आपका स्वागत है!

— हसीन-चिह चांग।

अब मुझे दत्ता, कुलकर्णी और आप द्वारा पेपर मिला । मैं इसे asap पढ़ूँगा, धन्यवाद !!

— हसीन-चिह चांग।

Answer 4

जब एक अनुकूलन समस्या को कठिन माना जाता है, तो उनके अधिकतम संस्करणों को देखना सामान्य है। उदाहरण के लिए, जबकि स्वतंत्र सेट एनपी-पूर्ण है, लेक्स पहला अधिकतम स्वतंत्र सेट है, जो पी-कम्पलीट है।

$\sqrt n$

यह सभी बिंदुओं का कहना है कि इसके लिए आसानी से समानांतर NC संस्करण नहीं हो सकता है। लेकिन फिर कौन जानता है? अगले सप्ताह आरएनसी संस्करण को कोई भी व्युत्पन्न कर सकता है!

संपादित करें: धन्यवाद रामप्रसाद लेकिन यहाँ कागज के लिए एक और कड़ी है ।

Comments

उफ़, कागज तक पहुँचने के लिए मेरे पास कोई खाता नहीं है। इसका शीर्षक क्या है?

— हसीन-चिह चांग।

"सर्किट मूल्य और नेटवर्क स्थिरता की जटिलता"। मैंने यहाँ पेपर की एक प्रति लगाई है: cmi.ac.in/~ramprasad/00041817.pdf (आशा है कि कोई कॉपीराइट समस्याएँ नहीं हैं!)

— रामप्रसाद

Answer 5

$(1-\epsilon)-$$NC$$n^{\Theta(1/\epsilon)}$$O(\log^3 n)$

टी। फिशर, एवी गोल्डबर्ग, डीजे हैगलिन, और एस। प्लोटकिन। समानांतर में मिलान। जानकारी। प्रोक। लेट।, 46 (3): 115, 1993