क्वांटम मैट्रिक्स गुणन?

ऐसा नहीं लगता है कि यह ज्ञात है - लेकिन क्या क्वांटम कंप्यूटिंग मॉडल में मैट्रिक्स गुणन की जटिलता पर कोई दिलचस्प निचली सीमा है? क्या हमारे पास कोई अंतर्ज्ञान है कि हम क्वांटमस्मिथ-विनोग्राद एल्गोरिथ्म की जटिलता को क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करके हरा सकते हैं?

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— हेनरी यूएन
स्रोत

जवाबों:

में arXiv: बल्ली से ढकेलना-पीएच / 0409035v2 Buhrman और Spalek मामलों में जहां उत्पादन मैट्रिक्स कुछ अशून्य प्रविष्टियों है में ताम्रकार-Winograd एल्गोरिथ्म की धड़कन एक क्वांटम एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हैं।

अद्यतन: डोरन और थिएरौफ द्वारा थोड़ा बेहतर क्वांटम एल्गोरिदम भी है ।

अपडेट: ले गैल बीमन बर्मन और स्पेलक द्वारा सामान्य रूप से बेहतर क्वांटम एल्गोरिदम है ।

— मार्टिन श्वार्ज
स्रोत

यह मेरे लिए नया था (मैं क्वांटम परिणामों के बारे में बहुत कम जानता हूं), लेकिन कागज पर नज़र डालना, परिणाम और भी आश्चर्यजनक था! हैं, के लिए

मैट्रिक्स गुणा, देखते हैं

A_{n x m} B_{m x n} = C_{n x n}

$A_{nxm}B_{mxn}=C_{nxn}$

आउटपुट में नॉनज़ेरो प्रविष्टियाँ, उत्पाद की गणनाउप-द्विघातसमय,

।

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

o (n m)

$o(nm)$

— डैनियल एपोन

वहाँ बूलियन मैट्रिक्स उत्पाद के विशेष मामले के लिए यह करने के लिए एक मामूली सुधार है, मिनट {

} जब देखते हैं

उत्पादन में nonzeroes। (यह हमारे FOCS'10 पेपर में `` पथ, मैट्रिक्स और त्रिभुज समस्याओं के बीच उप-विषयक समीकरण '' दिखाई दिया।)

n^{1.3} w^{17 / 30}, n^{2} + w^{47 / 60} n^{13 / 15}

$n^{1.3}w^{17/30}, n^2 + w^{47/60} n^{13/15}$

w

$w$

— 14

करने के लिए हाल ही में एक सुधार

बूलियन मैट्रिक्स उत्पाद के मामले में है arxiv.org/abs/1112.5855 भी कम सीमा से मेल खाते के साथ,।

n w^{1 / 2}

$nw^{1/2}$

— एबेल मोलिना

यदि आप दो मैट्रिसेस को गुणा करने और पूर्ण शास्त्रीय परिणाम वापस पाने में रुचि रखते हैं, तो मार्टिन की प्रतिक्रिया आपके प्रश्न का निश्चित उत्तर है। हालांकि, अगर आप की तरह कुछ गणना करना चाहते तो आप इस अत्यंत कुशलता से कर सकते हैं। हैरो, हासिडिम और लॉयड के पास गणना के लिए एक एल्गोरिथ्म ( arXiv: 0811.3171 ) है, जो विरल मैट्रिस के लिए मैट्रिक्स के आयामों में केवल लघुगणक है । व्युत्क्रमों के बजाय उत्पादों की गणना करने के लिए इस दृष्टिकोण को अनुकूलित करने के लिए यह अपेक्षाकृत सीधा लगता है। $v^\dagger X Y v$ $v X^{-1} v$ $X$

— जो फिट्जिमोंस
स्रोत

इस स्थिति में, रनटाइम अभी भी मैट्रिस की स्थिति संख्या पर निर्भर करेगा, और मैट्रिसेस के पास जटिल प्रविष्टियां होनी चाहिए। इसके अलावा, अगर एक्स और वाई विरल हैं, तो उनके उत्पाद है, और

यादृच्छिक नमूना का उपयोग कर घातीय speedup का एक ही प्रकार के साथ प्रतिष्ठित अनुमान लगाया जा सकता।

v^{'} X Y v

$v'XYv$

— अराम हैरो

@ आश्रम: अच्छी बात है! मुझे पता है कि आपका एल्गोरिथ्म विरल मैट्रिस के लिए काम करता है, लेकिन मैं इस धारणा के तहत था कि यह कुछ गैर-विरल मैट्रिस के लिए भी काम किया जा सकता है। क्या ये सही है?

— जो फिट्जसिमों ने

हां, यह गैर-विरल मैट्रिस के लिए काम करता है जब भी हम उन हैमिल्टन के अनुकरण के अच्छे तरीके जानते हैं। तो शायद यहाँ कुछ संभव है।

— अराम हैरो

@Aram: आपके द्वारा उपयोग किए जाने वाले एन्कोडिंग के साथ, क्या हमें QFT के माध्यम से सभी विरल मैट्रिस का फूरियर रूपांतरण भी नहीं मिलता है?

— जो फिट्जसिमों

@ जो: मैंने इस पर ध्यान दिया। हां, वे मैट्रेस (जिन्हें आप आधार के रूप में विरल मान सकते हैं) भी उपयोग करने योग्य हैं। यह हमारे एल्गोरिथ्म के लिए कुछ भी अनूठा नहीं है। बल्कि यह हैमिल्टन के वर्ग के बारे में एक बयान है जो हम जानते हैं कि क्वांटम कंप्यूटर पर कैसे अनुकरण करना है।

— अराम हैरो