अधिकतम वजन "निष्पक्ष" मिलान

मुझे एक ग्राफ में अधिकतम वजन मिलान के एक संस्करण में दिलचस्पी है, जिसे मैं "अधिकतम मेला मिलान" कहता हूं।

मान लें कि ग्राफ भरा हुआ है (यानी ), कोने का भी नंबर है, और है कि वजन एक लाभ समारोह द्वारा दिया जाता है । एक मेल को देखते हुए , द्वारा निरूपित करें, किनारे के लाभ से मेल खाता है। $E=V\times V$ $p:{V\choose 2}\to \mathbb N$ $M$ $M(v)$ $v$

एक मेलिंग $M$ एक उचित मेल है iff, किसी भी दो कोने $u,v\in V$ :

(\forall w \in V : p ({w, v}) \geq p ({w, u})) \to M (v) \geq M (u)

$(\forall w\in V:\ \ p(\{w,v\})\geq p(\{w,u\}))\to M(v)\geq M(u)$

यही है, अगर किसी भी शीर्ष लिए $w\in V$ , तो एक $w$ से $v$ से मेल खाता है, तो यह एक शीर्ष से मेल खाने की तुलना में अधिक लाभ देता है $u$ , एक निष्पक्ष मिलान को पर्याप्त होना चाहिए $M(v)\geq M(u)$ ।

क्या हम कुशलता से मिलान कर अधिकतम वजन मेला लगा सकते हैं?

एक दिलचस्प मामला यह है कि जब ग्राफ द्विदलीय होता है और निष्पक्षता केवल एक पक्ष पर लागू होती है, तो यह मान लिया जाता है कि $G=(L\cup R,L\times R)$ , और हमें एक लाभ फ़ंक्शन $p:L\times R\to \mathbb N$ ।

एक फेयर बाइपार्टाइट मैचिंग में एक मेल होता है $G$ जैसे कि किसी भी दो $u,v\in L$ :

(\forall w \in R : p ({v, w}) \geq p ({u, w})) \to M (v) \geq M (u)

$(\forall w\in R:\ \ p(\{v,w\})\geq p(\{u,w\}))\to M(v)\geq M(u)$

हम कितनी तेजी से अधिकतम वजन निष्पक्ष द्विदलीय मिलान पा सकते हैं?

इस समस्या के लिए प्रेरणा द्विदलीय विशेष मामले से आती है। मान लें कि आपके पास कार्यकर्ता और कार्य हैं, और कार्यकर्ता काम के से लाभ उत्पन्न कर सकता है । यहां समस्या के लिए एक उचित डिज़ाइन करना है (एक अर्थ में श्रमिकों को "रिप्ड-ऑफ '' महसूस नहीं होगा), जबकि कुल अदायगी को अधिकतम करना है। (असाइनमेंट तंत्र की शक्ति और सामाजिक लाभ के बीच यहां एक व्यापार है)। $n$ $m$ $i$ $p_{i,j}$ $j$

यदि हम श्रमिकों के असाइनमेंट के सामाजिक-कल्याण (या कारखाना लाभ) को मुनाफे के योग के रूप में परिभाषित करते हैं।

नौकरी देने वाले की शक्ति के लिए अलग-अलग परिदृश्यों को देखते हुए, हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:

अगर हमें किसी भी कर्मचारी को किसी भी काम को सौंपने की अनुमति दी जाती है, तो हम कारखाने को कुशलता से अनुकूलित कर सकते हैं (बस एक अधिकतम वजन मिलान प्राप्त करें)।
यदि प्रत्येक कार्यकर्ता अपने दम पर एक कार्य चुनता है, तो यह मानते हुए कि उसका काम चुना जाएगा (प्रत्येक कार्य के लिए केवल एक ही काम चुना जा सकता है) क्या वह सबसे योग्य कार्यकर्ता होना चाहिए जिसने कार्य को चुना है, श्रमिक 'लालची' में परिवर्तित हो जाएंगे 'संतुलन। कारण यह है कि जो कार्यकर्ता सबसे अधिक कमा सकता था ( ) सबसे अधिक लाभदायक नौकरी का चयन करेगा, और इसी तरह। मिलान के लिए लालची एल्गोरिथ्म के सन्निकटन दर से, यह अधिकतम सामाजिक-कल्याण संभव के 2-सन्निकटन देना चाहिए। $i=\mbox{argmax}_i \max_j p_{i,j}$

मैं बीच-बीच में कुछ ढूंढ रहा हूं। चलो मान लेते हैं कि हम श्रमिकों को नौकरी दे सकते हैं, लेकिन उनसे वादा करना होगा कि कोई भी "कम-योग्य" कार्यकर्ता उनसे अधिक नहीं कमाता है।

हम कर्मचारियों को कुशलतापूर्वक "निष्पक्षता" का वादा करते हुए अधिकतम वजन कैसे पा सकते हैं?

— आरबी
स्रोत

तात्कालिक रूप से, दूसरे (द्विदलीय) मामले के लिए, ऐसे उदाहरणों का निर्माण करना आसान लगता है जहां हर "निष्पक्ष" मिलान पहले श्रमिक को 1 लाभ देता है, और शेष शून्य, भले ही "अनुचित" मिलान पहले श्रमिक लाभ और बाकी सभी लाभ । इसी प्रकार, ऐसे उदाहरण जहां अधिकतम वजन मेला मिलान प्रत्येक श्रमिक को लाभ देता है , भले ही प्रत्येक कार्यकर्ता को में लाभ देने वाले अनुचित मिलान हों ।

1 - 2 ϵ

$1−2\epsilon$

1 - ϵ

$1−\epsilon$

2 / n

$2/n$

{1 - ϵ, 1 - 2 ϵ}

$\{1-\epsilon,1-2\epsilon\}$

— नील युवा

@ नीललंग - क्या मैं यह मानने के लिए सही हूं कि ये परिदृश्य मौजूद नहीं हो सकते हैं यदि मुनाफा अलग है?

— आरबी

यह खेल के सिद्धांत में एक मानक मुद्दे की तरह लगता है जहां विकल्पों के बीच अंतर करने की अक्षमता सामाजिक कल्याण को काफी कम करती है।

— RB

वूप्स, मैं अपनी टिप्पणी वापस लेता हूं - मुझे यकीन नहीं है कि वे उदाहरण सभी के बाद साकार होते हैं!

— नील यंग

मेरा मानना है कि "अधिकतम वजन उचित द्विदलीय मिलान" जैसा कि आपने परिभाषित किया है कि यह एनपी-हार्ड है। इससे भी अधिक, एक निष्पक्ष द्विदलीय मिलान के अस्तित्व का निर्धारण एनपी-हार्ड है।

इससे पहले कि मैं एक प्रूफ स्केच दूं, अंतर्ज्ञान के लिए, निम्नलिखित छोटे उदाहरण पर विचार करें। लो जहां , । लो ऐसी है कि के लिए और , जबकि के लिए और । फिर और समतुल्य हैं, इस अर्थ में कि सभी , इसलिए किसी भी निष्पक्ष मिलान को और को समान लाभ देना चाहिए । इसलिए, केवल निष्पक्ष मिलान या तो मेल खाते हैं $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $L=\{a,b\}$ $R=\{c,d,e,f\}$ $p$ $p(u,w) = 0$ $u\in L$ $w\in\{c,d\}$ $p(u,w) = 1$ $u\in L$ $w\in\{e,f\}$ $a$ $b$ $p(a, w) = p(b, w)$ $w\in R$ $a$ $b$ $a$ और से और , या वे और से और से मेल खाते हैं । इस तरह के गैजेट का उपयोग करके, हम मिलान में किनारों के समन्वय को बाध्य कर सकते हैं। यही कमी का आधार है। $b$ $c$ $d$ $a$ $b$ $e$ $f$

यहाँ एक प्रमाण पर एक प्रयास है। यह थोड़ा सा शामिल है। संभवतः कुछ गलतियाँ हैं, लेकिन उम्मीद है कि कोई भी गलतियाँ तय हो सकती हैं।

Lemma 1. दिया गया और जैसा कि समस्या में वर्णित है, यह निर्धारित करता है कि में उचित मिलान है NP -मुश्किल। $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$ $G'$

प्रमाण स्केच। इसका प्रमाण क्यूबिक ग्राफ में इंडिपेंडेंट सेट से घटाकर है। लेट इंडिपेंडेंट सेट का एक दिया गया उदाहरण है जहां एक क्यूब ग्राफ है (हर शीर्ष पर डिग्री 3 है)। हम एक ग्राफ और प्रॉफिट फ़ंक्शन का निर्माण करने का वर्णन करते हैं कि में एक उचित द्विदलीय मिलान है यदि केवल अगर का आकार का एक स्वतंत्र सेट है । $(G=(V,E),k)$ $G'$ $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$ $G'$ $G$ $k$

में कोने जोड़े में आएंगे, जिन्हें पार्टनर कहा जाता है । इसी तरह में कोने के लिए । प्रत्येक शीर्ष , हम को के भागीदार को निरूपित करते हैं । प्रत्येक शीर्ष उसका भागीदार समतुल्य होगा , जिसका अर्थ है कि हम नतीजतन, किसी भी निष्पक्ष मिलान करने के लिए एक ही लाभ असाइन करना होगा और । निम्नलिखित में, हम के मान को दर्शाने के लिए का उपयोग करते हैं । $L$ $R$ $v\in L\cup R$ $v'$ $v$ $\ell\in L$ $\ell'\in L$

p (ℓ, r) = p (ℓ^{'}, r) for all r \in R .

$p(\ell, r) = p(\ell', r) \text{ for all } r\in R.$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

π (ℓ, r)

$\pi(\ell, r)$

p (ℓ, r) = p (ℓ^{'}, r)

$p(\ell,r) = p(\ell', r)$

इसके अलावा, प्रत्येक जोड़ी के लिए में , और भागीदारों की प्रत्येक जोड़ी के में , या तो हम या हम कर पूर्व के मामले में, हम कहते हैं कि हम और को और से मिलान करने की अनुमति देते हैं (क्योंकि ऐसा करने से और को समान लाभ मिलेगा , आवश्यकतानुसार)। बाद के मामले में, हम कहते हैं कि हम और को होने से रोकते हैं (दोनों) और मेल खाते हैं $\ell$ $L$ $r, r'$ $R$

π (ℓ, r) = π (ℓ, r^{'})

$\pi(\ell, r) = \pi(\ell, r')$

π (ℓ, r) \neq π (ℓ, r^{'}) .

$\pi(\ell, r) \ne \pi(\ell, r').$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

r

$r$

r^{'}

$r'$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

r

$r$

r^{'}

$r'$ (क्योंकि ऐसा करने से और को समान लाभ नहीं मिलेगा )।

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

जैसा कि दिए गए ग्राफ घन है, यह संतुष्ट करता है, और में आकार का कोई भी स्वतंत्र सेट बिल्कुल किनारों की घटना है । यह मानने में आसानी के लिए मान लें कि । $G=(V,E)$ $3|V|=2|E|$ $I$ $k$ $G$ $3k$ $V=\{1,2,\ldots,n\}$

प्रत्येक किनारे लिए, निम्नलिखित करें। $\{i, j\}\in E$

साथी कोने की एक जोड़ी जोड़े के । $r(\{i,j\}), r'(\{i,j\})$ $R$
एंडपॉइंट , को पार्टनर वर्टिस की एक जोड़ी जोड़ें । सेट और से मेल खाने के लिए और को अनुमति देता है । $i$ $\ell(i,j), \ell'(i,j)$ $L$
$π (ℓ (i, j), r ({i, j})) = π (ℓ (i, j), r^{'} ({i, j})) = i,$ $\pi(\ell(i,j), r(\{i,j\})) = \pi(\ell(i,j), r'(\{i,j\}))= i,$ $\ell(i,j)$ $\ell'(i,j)$ $r(\{i,j\})$ $r'(\{i,j\})$
समरूप रूप से, अन्य समापन बिंदु : पार्टनर के अन्य जोड़े को जोड़ते हैं को , और सेट करें की अनुमति देता है और और से मेल खाते हैं । $j$ $\ell(j,i), \ell'(j,i)$ $L$
$π (ℓ (j, i), r ({i, j}) = π (ℓ (j, i), r^{'} ({i, j})) = j,$ $\pi(\ell(j,i), r(\{i,j\}) = \pi(\ell(j,i), r'(\{i,j\}))= j,$ $\ell(j,i)$ $\ell'(j,i)$ $r(\{i,j\})$ $r'(\{i,j\})$

प्रत्येक और को अभी तक जोड़ा गया है, अगर युग्म को स्पष्ट रूप से ) से मिलान करने की अनुमति नहीं है (ऊपर) , तो असाइन करके) मैच को रोकें और प्रत्येक कुछ अद्वितीय संख्या। $\ell\in L$ $r\in R$ $\ell, \ell'$ $r, r'$ $\pi(\ell, r)$ $\pi(\ell, r')$

इसके बाद, फिलर जोड़े को । प्रत्येक भराव के लिए शीर्ष और प्रत्येक , सेट । $3(|V|-k)$ $R$ $r$ $\ell(i,j)\in L$ $\pi(\ell(i,j), r) = 0$

अंत में, दो कोने जोड़ने और को (भागीदार) एक दो कोने के साथ साथ, और (भी भागीदार) पर । सेट , जिससे और को और मिलान किया जा । प्रत्येक अन्य शीर्ष लिए, कुछ अद्वितीय संख्या के लिए सेट करें । (इसलिए, किसी भी निष्पक्ष मिलान को और से और से मेल चाहिए ।) प्रत्येक के लिए। $L_0$ $L'_0$ $L$ $R_0$ $R'_0$ $R$ $\pi(L_0, R_0) = \pi(L_0, R'_0) = 1$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $r\in R$ $\pi(L_0, r)$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$ , हर घटना के लिए एज , सेट और । $\{i,j\}\in E$ $\pi(\ell(i,j), R_0) = i$ $\pi(\ell(i,j), R'_0) = |V|-i+1$

वह कमी पूरी करता है। खत्म करने के लिए, हम इसे सही साबित करते हैं।

पहले इस बात पर विचार करें कि के उत्तरार्ध कौन से जोड़े के पूर्ववर्ती हैं, अर्थात, $\ell(i,j),\ell(i',j')\in L$

(\forall r \in R) π (ℓ (i, j), r) \leq π (ℓ (i^{'}, j^{'}), r) .

$(\forall r\in R)~\pi(\ell(i,j),r) \le \pi(\ell(i',j'), r).$

किनारों की घटना को और को गए मुनाफे को ध्यान में रखते हुए , यह शर्त केवल तभी पूरी की जा सकती है यदि और, शेष किनारों के लिए की परिभाषा का निरीक्षण किया जाए , तो स्थिति पर्याप्त है। इसलिए एक मिलान उचित है अगर और केवल अगर यह और को और को असाइन करता है , और यह भी, कि प्रत्येक , में सभी को समान लाभ देता $R_0$ $R'_0$ $i=i'$ $\pi$ $i=i'$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$

N (i) = {ℓ (i, j) : {i, j} \in E} \cup {ℓ^{'} (i, j) : {i, j} \in E} .

$N(i) = \{\ell(i,j) : \{i,j\}\in E\} \cup \{\ell'(i,j) : \{i,j\}\in E\}.$

पहले, मान लें कि का आकार का एक स्वतंत्र सेट है । के लिए एक उचित मिलान प्राप्त से के रूप में इस प्रकार है। $G$ $I$ $k$ $G'$ $I$

मैच और से और । $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$

प्रत्येक शिखर के लिए , चलो अपने तीन घटना किनारों हो। प्रत्येक किनारे के लिए , मैच शीर्ष और उसके साथी से और । यह लाभ में सभी कोने देता है । $i\in I$ $\{i,j_1\}, \{i,j_2\}, \{i,j_3\}$ $\{i, j_h\}$ $\ell(i,j_h)$ $\ell'(i,j_h)$ $r(\{i,j_h\})$ $r'(\{i, j_h\})$ $N(i)$ $i$

से प्रत्येक के लिए कोने , तीन किनारों से प्रत्येक के लिए को घटना की , मैच और इसकी सहयोगी फ़िलर वर्टिकल और उसके पार्टनर कुछ अनोखी जोड़ी के लिए । यह लाभ में सभी लंबवत देता है । $|V|-k$ $i\in V\setminus I$ $\{i,j\}$ $i$ $\ell(i,j)$ $\ell'(i,j)$ $r$ $r'$ $N(i)$ $0$

इसलिए, यह मिलान उचित है।

अगला, मान लें कि में एक उचित मिलान । $G'$ $M$

$M$ को और से और से मेल चाहिए । प्रत्येक लिए , मिलान को प्रत्येक लाभ को में समान लाभ देना चाहिए। प्रत्येक , उसका भागीदार भी । तो, कमी के निरीक्षण से, इस तरह के प्रत्येक शीर्ष का लाभ या तो होना चाहिए (जिस स्थिति में सभी छः कोने अनुलंब और उनके साझेदारों से मेल खाते हैं ) या शून्य (जिस स्थिति में सभी छह कोने में भरने वाले कोने से मेल खाते हैं )। चलो $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$ $N(i)$ $\ell(i,j)\in N(i)$ $\ell'(i,j)$ $N(i)$ $i$ $N(i)$ $r(\{i,j\})$ $N(i)$ $R$ $I$ उन लंब रेखाओं का समूह , जिनके लिए पूर्व का मामला है। प्रत्येक किनारे के लिए , शीर्ष , और उसके साथी, प्रत्येक एक शीर्ष से मेल खाते हैं। यह इस प्रकार है कि एक स्वतंत्र सेट । चूंकि भराव कोने की संख्या है , के आकार कम से कम होना चाहिए । $\{i,j\}$ $r(\{i,j\})$ $I$ $6(|V|-k)$ $I$ $k$

QED (?)

मुझे लगता है कि यह मूल रूप से सही है, अगर थोड़ा दृढ़ हो। मुझे पता है कि क्या आप कोई गलती देखते हैं, या सबूत को आसान बनाने का एक तरीका है।

ऊपर की कटौती यह मान लेना ठीक है। अगर यह अवांछनीय है, तो मुझे लगता है कि हम साथ पैड कर सकते हैंपूरक कोने, और को किनारों को छोड़कर उनके सभी किनारों को लाभ प्रदान करते हैं । हम बाद के किनारों को लाभ प्रदान कर सकते हैं ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि किसी भी अन्य शीर्ष पर भराव का वर्चस्व (न ही हावी) है। $|R|>|L|$ $L$ $|R|-|L|$ $R_0$ $R'_0$

— नील जवान
स्रोत