बंधे हुए ट्रेविदथ के प्लानर ग्राफ़ की गणना करना

Question

मैं निम्नलिखित समस्या के लिए संदर्भ ढूंढ रहा हूं: पूर्णांक दिए गए हैं $n$ तथा $k$, सभी गैर-आइसोमॉर्फिक प्लानेर ग्राफों पर गणना करें $n$ कोने और ट्रेविद $\leq k$। मैं सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों परिणामों में दिलचस्पी रखता हूं, लेकिन ज्यादातर व्यावहारिक एल्गोरिदम जो संभव के रूप में बड़े मान के लिए कोड और चलाने के लिए संभव हैं$n$ तथा $k$ (सोच $k \leq 5$ तथा $n \leq 15$)। यदि आपके पास पहले से ही एक उत्तर है, तो नीचे दिए गए रैलिंग को अनदेखा करें।

निम्नलिखित दृष्टिकोण सभी गैर-आइसोमॉर्फिक ग्राफ़ों पर गणना करने के लिए ठीक तरह से काम करता है $n$ कोने और ट्रेविद $\leq k$ (यानी जब ग्रहों की बाधा गिरा दी जाती है):

(ए) सभी गैर-आइसोमोर्फिक रेखांकन पर गणना करें $n-1$ कोने और ट्रेविद $\leq k$।

(b) प्रत्येक शीर्ष के लिए $G$ पर $n-1$ कोने और ट्रेविद $\leq k$, हर ताली $C$ पर $\leq k$ में कोने $G$ और हर सबसेट $S$ के किनारों में $C$, बनाना $G'$ से $G - S$ एक नया शीर्ष जोड़कर $v$ बराबर में $C$। जोड़ना$G'$ सूची में ${\cal L}$ की कब्र पर $n$ कोने और ट्रेविद $\leq k$।

(c) ट्रिम ${\cal L}$ उसी ग्राफ की प्रतियाँ निकालकर।

इसको बढ़ाने के लिए एक आकर्षक तरीका treewidth के planar रेखांकन को बढ़ाता है $\leq k$बस हर पुनरावृत्ति पर गैर-प्लानर ग्राफ़ को फ़िल्टर करना है। दुर्भाग्य से यह treewidth के सभी प्लानर ग्राफ को उत्पन्न करने में विफल रहता है$\leq k$ (उदाहरण के लिए क्योंकि यह केवल गणना करता है $4$-डिजाइन ग्राफ)।

बेशक, हम सभी रेखांकन पर गणना कर सकते हैं $n$ कोने और ट्रेविद $\leq k$ और उसके बाद ही गैर-प्लानर को फ़िल्टर करें, लेकिन यह शोषण करने में विफल रहता है कि अधिकांश ग्राफ़ गैर-प्लानर हैं और बहुत उप-इष्टतम लगते हैं।

Comments

क्या आप वाकई इसे लागू करना चाहते हैं और परिणाम का परीक्षण करना चाहते हैं? गैर-आइसोमॉर्फिक पेड़ों की संख्या पहले से ही घातीय है।

— सईद

@ सईद: सुनिश्चित - 20 नोड्स के लिए पेड़ों की संख्या एक मिलियन से कम है, इसलिए मुझे उम्मीद है कि कम से कम इसके लिए संभव होगा $n \leq 15$।

— डेनियलो

कैसे से शुरू करें? $n$-वरटेक्स कॉर्डल रेखांकन अधिकतम क्लिक आकार के $k + 1$, और इसे बनाने के लिए किनारों को हटा दें?

— यिक्सिन काओ

@Yixin काओ यह गणना के ग्राफ के समान दिखता है + उनमें से पेड़ के विघटन (उदाहरण के लिए एक ही ग्राफ एक बार पेड़ के नीचे से देखा जाता है)। अब तक जो काफी धीमा रहा है (लेकिन कुछ अनुकूलन इस दृष्टिकोण को व्यवहार्य बना सकते हैं)

— डैनियलो

@daniello, मैं आपकी बात देख रहा हूं, लेकिन क्या आपने यह एप्लिकेशन देखा है: cs.anu.edu.au/~bdm/plantri , उनका दावा है कि वे एक सेकंड में 1M प्लानर ग्राफ उत्पन्न कर सकते हैं (आइसोमोर्फिज्म के संबंध में)। (यह वास्तव में आप क्या चाहते हैं, हालांकि, 1-2-3 कनेक्टेड प्लानर ग्राफ़ के लिए यह बिल्कुल सही नहीं लगता है, हालांकि 15 शीर्षों पर 4-5 कनेक्टेड प्लानर ग्राफ़ नहीं हैं)।

— सईद

Answer 1

एक अच्छा सॉफ्टवेयर है जो आइसोमोर्फिज़्म के संबंध में छोटे प्लानर ग्राफ बनाता है जो मदद कर सकता है। जैसा कि मैंने देखा कि समस्या में से एक गैर-आइसोमॉर्फिक प्लानर ग्राफ उत्पन्न करना था और अधिकांश प्लानर ग्राफ़ (15 से कम छोरों पर) छोटे ट्रेविद हैं।

यह जांचने के लिए कि उनका ट्रेविद दी गई कीमत से छोटा है या नहीं $k$एक तरीका यह है कि इस गणना को तेज करने के लिए विधर्मी एल्गोरिदम का उपयोग किया जाए, बस इस मामले में कि सटीक एल्गोरिदम व्यावहारिक नहीं हैं। जैसे एक प्लानर ग्राफ में$G$ पहले हम एक व्यास पा सकते हैं $G$ और इसी पथ $P$ लंबाई की $d$(जो एक व्यास है)। फिर एक शीर्ष खोजें$v\in P$ जिसकी सबसे कम दूरी है ($l$) किसी अन्य शीर्ष पर $u\in G\setminus P$ सभी चक्करों के बीच $w\in P$। का ट्रेविद$G$ सबसे ज्यादा है $d+l$, अगर यह से छोटा है $k$ फिर हम कर रहे हैं अन्यथा या तो कुछ अन्य अनुमानी एल्गोरिदम लागू करें या सटीक एल्गोरिथ्म चलाएं।

3-जुड़े हुए ग्राफ़ से कम के लिए यह भी संभव है कि कटे हुए झुंडों को ढूंढकर और फिर उन लंबों को ठीक करके और शेष ग्राफ़ की पेड़ की चौड़ाई का पता लगाकर हेयुरिस्टिक्स लागू करना संभव हो। लेकिन नोड्स की संख्या कम है ($15$) यदि ग्राफ है $4$-संबंधित तो व्यास बड़ा नहीं है और मुझे लगता है कि पहले उत्तराधिकारियों को वहां काम करना चाहिए। (मुझे नहीं पता कि कोई 15 से अधिक कोने पर 5 कनेक्टेड प्लानर ग्राफ है, लेकिन जैसा कि हम जानते हैं कि कोई भी नहीं है$t$के लिए योजनाबद्ध रेखांकन ग्राफ $t>5$)

पेड़ की चौड़ाई के लिए सबसे बड़ी बाधा के आकार के रूप में $k$ ज्ञात नहीं है कि हम किसी दिए गए ग्राफ़ के ट्रेविदथ के ऊपरी मान का अनुमान नहीं लगा सकते $G$। लेकिन ऐसा लगता है कि कम से कम प्लानर ग्राफ़ के लिए यह इतना बड़ा नहीं होना चाहिए (इसके लिए एक प्रमाण देना चाहिए)।

Answer 2

सभी जोड़ियों में से एक की गणना की जा सकती है $G,B$ कहाँ पे $G$ अधिक से अधिक ट्रेविद के साथ एक प्लैनर ग्राफ है $k$, $B$ आकार का एक बैग है $k$ ऐसा है कि वहाँ एक पेड़ के अपघटन मौजूद हैं $G$ साथ में $B$ एक बैग के रूप में।

अब हर जोड़ी के लिए $G,B$ कहाँ पे $G$ है $n-1$ कार्यक्षेत्र हम एक नया ग्राफ बनाते हैं $G'$ हर सबसेट के लिए $S$ का $B$ एक शीर्ष जोड़कर $v$ साथ में $S$ पड़ोसी के रूप में और जाने दो $B'$ एक आकार हो $k$ का भाग $B \cup v$। जोड़ना$G',B'$ अगर $G'$ प्लानर है और पहले से ही पाए गए किसी भी जोड़े के लिए आइसोमोर्फिक नहीं है।

स्टोर करने के लिए कितनी प्रविष्टियों की आवश्यकता है, इस पर एक आसान ऊपरी सीमा है $n \choose k$गणना किए गए रेखांकन की संख्या लेकिन यह एक निराशावादी बाध्य है। Treewidth k के अधिकांश रेखांकन के लिए, आकार k के अधिकांश सबसेट बा बैग नहीं कर सकते हैं, उदाहरण के लिए a$k \times n$ ग्रिड ही है $n \cdot 3^{k-1}$ संभव बैग।

I believe this will perform as well as the algorithm for non planar graphs since for every pair G,B we get a graph by making B a clique, most of these graphs will be non isomorphic.

There are several tricks one can apply to speed up this, I would suggest looking into: http://www.siam.org/meetings/alenex04/abstacts/HBodlaender.pdf

Comments

Won't all the enumerated graphs have bounded pathwidth rather than treewidth?

— daniello

I think you are right. the choice of B' is too limited.

— Martin Vatshelle