कैसे वास्तविक की कम्प्यूटेशनल जटिलता की परिभाषा को प्राकृतिक या उपयुक्त है?

जैसा कि हम जानते हैं, एल्गोरिथ्म की कम्प्यूटेशनल जटिलता की परिभाषा लगभग विवाद के बिना है, लेकिन वास्तविक या कम्प्यूटेशनल मॉडल की वास्तविकताओं की कम्प्यूटेशनल जटिलता की परिभाषा ऐसे मामले में नहीं है। हम ब्लम और स्मेल्स के मॉडल और मॉडल को कम्प्यूटेशनल विश्लेषण में जानते हैं। और प्रतीत होता है, कम्प्यूटेशनल विश्लेषण में मॉडल क्लासिक मॉडल के अनुरूप है, लेकिन वास्तविक की कम्प्यूटेशनल जटिलता की परिभाषा को क्लासिक मॉडल में प्रत्यारोपित नहीं किया जा सकता है।

और क्लासिक मॉडल में वास्तविक की कम्प्यूटेशनल जटिलता की परिभाषा को कैसे प्रत्यारोपण किया जाए?

— XL _At_Here_There
स्रोत

आपके पहले प्रश्न के लिए, "प्राकृतिक" एक बहुत ही व्यक्तिपरक धारणा है और आपके द्वारा पूछे जाने वाले व्यक्ति के आधार पर, एक या दूसरी परिभाषा को सबसे प्राकृतिक माना जाएगा। "उपयुक्त" के रूप में, यह निर्भर करता है: बीएसएस मॉडल कम्प्यूटेशनल ज्यामिति या कम्प्यूटेशनल बीजगणितीय ज्यामिति के लिए उपयुक्त लगता है, और कम्प्यूटेशनल विश्लेषण में मॉडल ... कम्प्यूटेशनल विश्लेषण के लिए अधिक उपयुक्त है! मुझे दूसरा सवाल समझ नहीं आ रहा है।

— ब्रूनो

@Bruno, आपकी टिप्पणी के लिए धन्यवाद, मुझे लगता है कि कम्प्यूटेशनल विश्लेषण में मॉडल, और पता नहीं कैसे कम्प्यूटिंग जटिलता की परिभाषा को लागू करने के लिए क्लासिक मॉडल पर ट्यूरिंग मशीन की तरह वास्तविक संख्या की गणना की जाती है, क्योंकि मॉडल की वास्तविक संख्या से अधिक कम्प्यूटेशनल जटिलता कम्प्यूटेशनल विश्लेषण में यह प्रतिनिधित्व पर निर्भर करता है, अर्थात्, इसकी गणना के लिए इनपुट।

— एक्स्ट्रा लार्ज _At_Here_There 8

आपको लगता है कि वास्तविक संख्या अभिकलन के लिए एक जटिलता धारणा है जो वास्तविक के प्रतिनिधित्व से स्वतंत्र है। ऐसा सोचने का क्या कारण है? शास्त्रीय जटिलता में भी ऐसा नहीं है। यह मायने रखता है कि आपके पास टेप या रैम मशीन है या नहीं, यह मायने रखता है कि क्या आप एडजैन्सी लिस्ट या 01-मैट्रिसेस, आदि द्वारा ग्राफ का प्रतिनिधित्व करते हैं

— बाउर

लेकिन यह सच नहीं है कि जटिलता प्रतिनिधित्व पर निर्भर नहीं करती है। एक बेवकूफ प्रतिनिधित्व पर स्विच करके आप हमेशा एक एल्गोरिथ्म की जटिलता को बर्बाद कर सकते हैं । सवाल पूछने के लिए है: " इनपुट का एक अच्छा प्रतिनिधित्व क्या है ?" असतत समस्याओं के लिए वास्तविक संख्याओं की तुलना में इसका उत्तर देना बहुत आसान है, क्योंकि किसी के पास "बिट्स बर्बाद न करने" के लिए इसका अच्छा अर्थ है।

— बाउर

बीएसएस मॉडल कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के लिए उपयुक्त लगता है - संबंधित प्रश्न के लिए मेरा उत्तर देखें । कम्प्यूटेशनल जियोमीटर द्वारा उपयोग किया जाने वाला रियल रैम मॉडल लगभग एक दशक बाद ब्लम, शुब, और स्मेल से पूर्ववर्ती है।

— 15

जवाबों:

मुझे बिल्कुल यकीन नहीं है कि सवाल यहाँ क्या है, लेकिन मैं संभव गलतफहमी को साफ करने के लिए थोड़ा कहने की कोशिश कर सकता हूं।

सबसे पहले, अगर हम एक मानचित्र की जटिलता के बारे में बात कर रहे हैं , यह बनाता है कोई मतलब नहीं "पूछने के लिए क्या के लिए एक अच्छा प्रतिनिधित्व है $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ? "इसके बजाय, आपको पूछना होगा"सभीइनपुट केलिए एक अच्छा प्रतिनिधित्व क्या है? "। असतत गणित में एक आसान के साथ स्थिति की तुलना करें: जब आप एक एल्गोरिथ्म पर चर्चा करते हैं जो एक इनपुट के रूप में ग्राफ लेता है, तो आप नहीं करते हैं पूछें "क्या हमें एक सहायक सूची के रूप में या एक बाइनरी मैट्रिक्स के रूप में पीटरसेन ग्राफ का प्रतिनिधित्व करना चाहिए?" लेकिन इसके बजाय आप स्वचालित रूप से एकसमानप्रतिनिधित्व केबारे में सोचते हैंजो सभी ग्राफ़ के लिए काम करेगा। $\sqrt{2}$ $f$

चेतावनी का एक और शब्द। इनपुट डेटा के प्रतिनिधित्व को बदलकर हम हमेशा किसी भी समस्या (एक गैर-संगणनीय एक सहित) को तुच्छ रूप से कम्प्यूटेशनल बना सकते हैं बनाने के लिए कम्प्यूटेबल, के तत्वों का प्रतिनिधित्व जोड़े के रूप में करें । फिर आप दूसरे प्रक्षेपण द्वारा "गणना" कर सकते हैं । इससे पता चलता है कि हमें डेटा का प्रतिनिधित्व करने के लिए इसके स्पष्ट मानदंडों की आवश्यकता है। $f : A \to B$ $A$ $(a, f(a))$ $f$

मैंने कई अवसरों पर लिखा है कि के तत्वों का प्रतिनिधित्व करने के लिए क्या होता है । इसका उत्तर इस बात पर निर्भर करता है कि आप की किस संरचना को पकड़ने की कोशिश कर रहे हैं। यदि आप किसी संरचना को पकड़ने की कोशिश कर रहे हैं, तो आप उदाहरण के लिए, खाली सूची के साथ सभी वास्तविकताओं का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। प्रतिनिधित्व के लिए शर्तों की एक उचित सूची यह है कि इसे इस तरह होना चाहिए: $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

अंकगणितीय संचालन , , , संगणनीय हैं, साथ ही पूर्ण मूल्य । $+$ $\times$ $-$ $/$ $|{-}|$
वहाँ एक प्रोग्राम है जो (के प्रतिनिधित्व) लेता है एक असली है और और आउटपुट पूर्णांकों ऐसा है कि , यानी, मनमाने ढंग से अच्छे तर्कसंगत अनुमानों की गणना करना संभव है। $x$ $k \in \mathbb{N}$ $p, q$ $|x - p/q| \leq 2^{-k}$
एक ऐसा प्रोग्राम है जो ( ) और का प्रतिनिधित्व करता है (और) समाप्त करता है, और केवल अगर, , यानी, सख्त आदेश अर्धविराम है। $x$ $y$ $x < y$
एक अनुक्रम (के निरूपण का) दिया ऐसा सीमा के लिए एक प्रतिनिधित्व गणना की जा सकती। $(x_n)_n$ $|x_{n+1} - x_n| \leq 2^{-n}$ $\lim_n x_n$

पुरानी प्रमेय हैं ( संदर्भ के लिए इस पेपर का परिचय देखें ) जो बताते हैं कि ये स्थितियां सही क्यों हैं। ये प्रमेय यह भी दिखाते हैं कि वास्तविक रूप से किन्हीं दो अभ्यावेदन कम्प्यूटेशनल रूप से आइसोमॉर्फिक हैं, अर्थात् हम उनके बीच कार्यक्रमों के साथ अनुवाद कर सकते हैं। यह शुद्धता के लिए कुछ मानदंड स्थापित करता है जो दोषपूर्ण विचारों को बाहर निकालते हैं।

उदाहरण के लिए, मैंने लोगों को यह कहते हुए सुना है कि "तर्कसंगत संख्याओं को परिमित जानकारी द्वारा दर्शाया जा सकता है, इसलिए चलो इसका उपयोग तर्कसंगत संख्याओं के लिए करें, और अपरिमेय संख्याओं को अनंत सूचनाओं द्वारा प्रस्तुत करना होगा"। इस तरह की चीज काम नहीं करती है क्योंकि यह ऊपर की चौथी स्थिति को तोड़ती है (अपरिमेय संख्या की एक सीमा पर विचार करें - आप कैसे बताएंगे कि यह एक तर्कसंगत में परिवर्तित हो रही है?)।

एक अन्य उदाहरण जो उपरोक्त शर्तों को समाप्त करता है वह ब्लम-शुब-स्मेल मॉडल है क्योंकि इसमें आप अनुक्रमों की सीमा की गणना नहीं कर सकते हैं। यह कहना बेहतर है कि बीएसएस मॉडल एक असतत पर काम करता है रियल के उपक्षेत्र का आदेश दिया (जो कुछ भी पैरामीटर मौजूद हैं), न कि खुद के दायरे पर।

वास्तविक के सही निरूपण के बीच कुछ दूसरों की तुलना में अधिक कुशल हैं, हालांकि यह चर्चा करने के लिए कुछ कठिन विषय है क्योंकि वास्तविक संख्याएं अनंत वस्तुएं हैं। मथायस श्रोडर ने कहा कि जटिलता के एक उचित सिद्धांत के लिए किसी को प्रतिनिधित्व के सामयिक गुणों पर ध्यान देना होगा।

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $x \in \mathbb{R}$

बीएसएस मॉडल भी एक उचित सर्किट जटिलता मॉडल है जिसमें हम अंकगणितीय संचालन की गणना करते हैं। यह ध्यान रखना अच्छा है कि यह मॉडल वास्तविक संख्याओं के बारे में नहीं है, बल्कि कुछ और के बारे में है।

— प्रेमिका बाउर
स्रोत

आपके उत्तर के लिए बहुत बहुत धन्यवाद, और इतने सारे संदर्भ। मैं कम्प्यूटेशनल जटिलता की कुछ धारणाओं के बारे में असहज महसूस करता हूं, मुझे संदर्भ पढ़ने और एक समय के बारे में सोचने दें, और एक उदाहरण देता हूं, अगर मुझे यह समझाने के लिए उपयुक्त मिल सकता है कि मैं इतना असहज क्यों हूं (यह अजीब लगता है, लेकिन मेरा अनुभव मुझे बताएं अगर मुझे असहज महसूस होता है, तो कुछ विलक्षण होना चाहिए)

— XL _At_Here_There

मेरे अनुभव में, नए ज्ञान के बारे में असहज महसूस करना एक अच्छा संकेत है, और आमतौर पर यह आत्मज्ञान के लिए एक शर्त है।

— एंड्रे सलामोन

$<_{k}$ $O(t)$ $O(t)$ $O(t)$ $O(t^{2}log(t)log(log(t)))$ । जैसा कि बताया गया है कि टोपोलॉजिकल विचार उपयोगी हैं, कोई यह नहीं जानता कि गणना के इस मॉडल के लिए कोई टोपोलॉजिकल संदर्भ विकसित किया गया है जो वास्तविक कम्प्यूटेशंस की अनुमति देता है-जिसमें सटीकता में अनिश्चितता है।

— user3483902
स्रोत

क्या आप संभव रैम मॉडल के लिए कुछ संदर्भ दे सकते हैं?

— एक्सएल _At_Here_There 11

क्षेत्र में ऊपर देखें, "... यह संदर्भ बताता है ..." में लेख का लिंक है।

— user3483902

ब्रात्का और हर्टलिंग कार्य की ओर इशारा करने के लिए धन्यवाद, मैं तब तक इसका उल्लेख करने जा रहा था, तब मैं भूल गया था। मैं केवल यह बताना चाहूंगा कि Feasible RAM मॉडल में कोई उच्च-क्रम वाले फ़ंक्शंस शामिल नहीं हैं, विशेष रूप से यह एक (रैपिड) कॉची अनुक्रम की सीमा की गणना नहीं कर सकता है, इसलिए मैं इसे "reals" को ठीक से लागू करने के रूप में नहीं गिनूंगा। यह "शीर्ष स्तर पर" एक सीमा की गणना कर सकता है, इसलिए बोलने के लिए (कागज के उस हिस्से को देखें जहां वे कार्यों के तर्कसंगत अनुमानों के बारे में बोलते हैं)।

— बाउर