सबसे बड़ी सामान्य भाजक की जटिलता (gcd)

निम्नलिखित गिनती समस्या (या संबंधित निर्णय समस्या) पर विचार करें: दो सकारात्मक पूर्णांक द्विआधारी में एन्कोडेड को देखते हुए, उनकी सबसे बड़ी सामान्य भाजक (gcd) की गणना करें। इस समस्या में निहित सबसे छोटी जटिलता वर्ग क्या है? क्या आप एक संदर्भ प्रदान कर सकते हैं?

इस सवाल में मुझे मुख्य रूप से दौड़ के समय में असममित सीमा में दिलचस्पी नहीं है, बल्कि जटिलता कक्षाओं में। क्या एसी में समस्या है? क्या यह AC0 में झूठ नहीं साबित हो सकता है? P के अंदर अन्य जटिलता वर्ग क्या हैं जो यहां प्रासंगिकता के हैं?

— फेलिक्स ब्रेउर
स्रोत

@ जो: मेरी व्याख्या यह है कि पूछने वाले की दिलचस्पी है कि क्या भाषा {(x, y, i) | i-th बिट ऑफ़ gcd (x, y) 1} नेकां, AC0, आदि में है, लेकिन पूछने वाले द्वारा एक स्पष्टीकरण उपयोगी होगा।

— त्सुओशी इटो

हाँ, निर्णय की समस्या के बारे में त्सुओशी की यह बात मुझे ध्यान में आई - अस्पष्टता के लिए खेद है। हालांकि, कृपया मेरे द्वारा सुझाई गई जटिलता कक्षाओं पर ध्यान केंद्रित न करें, क्योंकि मुझे नहीं पता कि कौन सी जटिलता कक्षाएं यहां प्रासंगिकता की हैं। मैं किसी भी nontrivial जटिलता वर्ग के बारे में उत्सुक हूं जो P (या FP, resp।) का सबसेट है जिसमें gcd शामिल है।

— फेलिक्स ब्रूयर

मैं गाऊसी पूर्णांक के मामले में उत्सुक हूं। त्वरित Google खोज सामान्य यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को अनुकूलित करने के तरीके दिखाती है, लेकिन उनमें से कोई भी प्राकृतिक संख्याओं और गॉसिप पूर्णांक के बीच संबंधों पर चर्चा नहीं करता है। क्या प्राकृतिक संख्याओं पर कोई भी LCD एल्गोरिथ्म हमें एक ही जटिलता के साथ गाऊसी पूर्णांकों पर एक एल्गोरिथ्म देता है? (मेरे पास कोई एप्लिकेशन नहीं है, यह शुद्ध जिज्ञासा है।) इसके अलावा, क्या जीसीडी की गणना कम समय के साथ करने के लिए कुशल यादृच्छिक एल्गोरिदम हैं?

— रॉस स्नाइडर

यह भी देखें cstheory.stackexchange.com/questions/2708/…

— Zsbán Ambrus

सही लिंक: mathoverflow.net/questions/44684/… । चेतावनी के लिए धन्यवाद, Kaveh।

— Zsbán Ambrus

जवाबों:

यह जटिलता सिद्धांत में एक प्रमुख खुला प्रश्न है: यह ज्ञात नहीं है कि क्या जीसीडी को एनसी में गणना की जा सकती है, और यह ज्ञात नहीं है कि क्या जीसीडी की गणना पी-पूर्ण है। सबसे अच्छा समानांतर एल्गोरिदम में उप-रैखिक समानांतर चलने का समय होता है, एक ऐसा एल्गोरिथ्म जो सोरेनसन के कारण होता है:

जे। सोरेनसन। दो तेज जीसीडी एल्गोरिदम । जर्नल ऑफ़ अल्गोरिद्म, 1994।

यदि मैं गलत नहीं हूं, तो यह भी ज्ञात नहीं है कि कोई यह तय कर सकता है कि दो पूर्णांक नेकां में अपेक्षाकृत प्रमुख हैं या नहीं।

— जॉन वॉट्रस
स्रोत

धन्यवाद, वही जो मैं जानना चाहता था! हालांकि, अगर किसी को पी के अन्य nontrivial सबसेट को पता है जो कि जीसीडी शामिल हैं, तो कृपया मुझे बताएं।

— फेलिक्स ब्रेउर

परीक्षण यदि दो पूर्णांक अपेक्षाकृत प्राइम होते हैं तो भी इस संदर्भ के अनुसार खुला होता है: समानांतर गणना , पृष्ठ 231, समस्या B.5.7 तक सीमित होती है।

— रॉबिन कोठारी

एक बहुत हालिया संदर्भ है: सोरेनसन, जोनाथन पी। "EWW PRAM के लिए एक यादृच्छिक सबलाइनर समांतर जीसीडी एल्गोरिदम।" सूचना प्रसंस्करण पत्र 110, सं। 5 (फरवरी 2010): 198-201। linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0020019009003640 ।

— फेलिक्स ब्रेउर

$\mathsf{AC}^0$ $\mathsf{AC}^0[p]$ $p$

— Samid
स्रोत

यह भी देखें: cstheory.stackexchange.com/questions/8000/...

— Samid

2007 में प्रकाशित यह पत्र कहता है कि पूर्णांक GCD NC में है।

संपादित करें: दावा शायद गलत है। टिप्पणियों की जाँच करें।

— अपूर्व गुप्ता
स्रोत

पेपर कभी प्रकाशित नहीं हुआ था , यह केवल लेखक की वेबसाइट पर पोस्ट किया गया था। इसके अलावा, लेखक को खुद पर विश्वास नहीं होता है कि उसका 2007 का पेपर सही है, क्योंकि वह अपने बाद के पेपर ( cs.cornell.edu/courses/CS6820/2012sp/Handouts/Sedjelmacc09.pdf ) में खुली समस्या को सूचीबद्ध करता है ।

— एमिल जेकाबेक

वह नहीं जानता था। इस पर ध्यान दिलाने के लिए धन्यवाद।

— अपूर्व गुप्ता ५'१३

मुझे नहीं लगता कि इस तरह के जवाबों को खारिज किया जाना चाहिए।

— एलेसेंड्रो कॉसेंटिनो