न्यूनतम क्षमता के लिए पेड़ की न्यूनतम चौड़ाई

कम से कम एक सर्किट से अधिक पेड़-चौड़ाई क्या है $\{\wedge,\vee,\neg\}$ कंप्यूटिंग मेजर के लिए?

यहाँ MAJ $:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ आउटपुट 1 iff कम से कम आधे इनपुट $1$ ।

मुझे केवल सर्किट के आकार की परवाह है (बहुपद होना चाहिए) और यह कि एक इनपुट को केवल एक बार पढ़ा जाना चाहिए, हालांकि इनपुट गेट के प्रशंसक-आउट मनमाने ढंग से हो सकते हैं (यह सर्किट के पेड़ की चौड़ाई को प्रभावित करता है - शाखा मेजर से Barrington की प्रमेय से प्राप्त कार्यक्रमों $\in$ $\mathsf{NC}^1$ , तिरछा सर्किट के रूप में व्याख्या, मदद नहीं करते हैं)। और निश्चित रूप से पेड़ की चौड़ाई सबसे महत्वपूर्ण बात है। मुझे गहराई या किसी अन्य पैरामीटर की परवाह नहीं है।

MAJ के कुछ सामान्य सर्किट में शामिल हैं:

वालेस ट्री सर्किट (उदाहरण के लिए यहाँ 8.9 ) जो 3 टू ट्रिक का उपयोग करके MAJ को $\mathsf{NC}^1$ ?
Valiant का मोनोटोन $\mathsf{NC}^1$ सर्किट MAJ के लिए (उदाहरण के लिए यहाँ 4 )
$\log^{O(1)}{n}$ गहराई सॉर्टिंग नेटवर्क जैसेबैचरसॉर्ट
AKS सॉर्टिंग नेटवर्क

क्या उनमें से किसी ने बंधे या यहां तक कि पॉलीग्लारिथमिक ट्री-चौड़ाई की है?

या वास्तव में,

क्या यह मानने के कारण हैं कि MAJ के लिए कोई बाउंडेड ट्री-चौड़ाई सर्किट नहीं हैं?

ध्यान दें कि एक बाउंड ट्री-चौड़ाई सर्किट द्वारा गणना की गई प्रत्येक फ़ंक्शन को सर्किट द्वारा गणना की जा सकती है, यहां तक कि जब जेनसेर्मा के माध्यम से कोई भी एक बार पढ़ा नहीं जाता है । इस प्रकार ऐसे सर्किट परिवार की अस्थिरता यह दर्शाती है कि रीड-वन्स सर्किट के मामले में इस बाध्य को और कड़ा किया जा सकता है। $\mathsf{NC}^1$

— Samid
स्रोत

यह किसी भी

भाषा के लिए तुच्छ क्यों नहीं है ? जहाँ तक मैं देख सकता हूँ, सूत्रों (यानी, पेड़ों) में पेड़ की चौड़ाई

, या मैं कुछ याद कर रहा हूँ?

{N C}^{1}

$\mathrm{NC}^1$

1

$1$

— एमिल जेकाबेक

मुझे लगता है कि ओपी उसी पेड़ के सभी पत्तों की पहचान करता है जो उसी चर के अनुरूप हैं, जो चक्र बनाता है।

— सैशो निकोलोव

बहुमत के लिए एक सर्किट treewidth O (लॉग एन) में लागू किया जा सकता है। सर्किट सिर्फ एक ऑनलाइन एल्गोरिथ्म का अनुकरण करता है जो एक समय में एक इनपुट बिट को पढ़ता है और 1 के साथ एक नंबर को O (लॉग एन) बिट्स में जोड़ता है यदि और केवल यदि इनपुट 1 है। ध्यान दें कि सर्किट की गहराई O (n) है। अंजीर 1 देखें ( arxiv.org/pdf/1404.5565v1.pdf )। छोटी गहराई के एक सर्किट में आवश्यक रूप से छोटे ट्रेविद नहीं होते हैं क्योंकि सैशो निकोलोव ने बताया कि आपको एक ही इनपुट चर के अनुरूप नोड्स की पहचान करने की आवश्यकता है।

— मेटुस डी ओलिवेरा ओलिवेरा

@MateusdeOliveiraOliveira आपके द्वारा इंगित किया गया निर्माण अच्छा और सरल है और लगभग वही है जिसकी मुझे आवश्यकता है। मुझे वास्तव में एक निर्माण की आवश्यकता है जो कि बंधे हुए पेड़ की चौड़ाई (या कुछ संकेत क्यों संभव नहीं है) में काम करता है। मैं कुछ दिनों तक प्रतीक्षा करूंगा कि क्या कोई अन्य उत्तर है - अन्यथा (यदि आप अपनी टिप्पणी को उत्तर में परिवर्तित करते हैं) तो मैं इसे स्वीकार करूंगा।

— सामी

@SamiD मैंने इस टिप्पणी को एक उत्तर में विस्तारित किया। मैंने पहले एक उत्तर के रूप में पोस्ट नहीं किया था क्योंकि यह केवल वही है जो आपने पूछा था।

— माटुस डी ओलिवेरा ओलिवेरा

जवाबों:

समीर के सवाल का आधा जवाब।

आज्ञा देना एक DAG और दो उपसमूह हैं $G=(V,E)$ $V_1,V_2\subseteq V$ । हम के द्वारा में सभी किनारों के सेट को में एक समापनबिंदु और में अन्य समापनबिंदु के साथनिरूपित करते हैं। यदि $G$ $E(V_1,V_2)$ $G$ $V_1$ $V_2$ $\omega = (v_1,...,v_n)$ के कोने की कुल आदेश है तो हम जाने $G$ की चौड़ाई निरूपित । की ऑनलाइन चौड़ाई के रूप में परिभाषित किया गया है

o w (G, ω) = max_{i} | E ({v_{1}, . . ., v_{i}}, {v_{i + 1}, . . ., v_{n}} |

$\mathbf{ow}(G,\omega) = \max_{i}\; |E(\{v_1,...,v_i\},\{v_{i+1},...,v_n\}|$

ω

$\omega$

G

$G$

जहां

के कोने के सभी स्थलाकृतिक क्रमों पर न्यूनतम लिया जाता है। ध्यान दें कि

की कटऑफ की पारंपरिक धारणा कोसमान रूप से परिभाषित किया गया है, सिवाय इसके कि न्यूनतम

सभी संभावित आदेशों पर लिया जाता है, भले ही आदेश सामयिक हो या न हो। : हम असमानताओं के निम्न क्रम है

ओ w (जी) = \underset{ω}{मिनट} ओ w (जी, ω),

$\mathbf{ow}(G) = \min_{\omega}\; \mathbf{ow}(G,\omega),$

G

$G$

G

$G$

c w (G)

$\mathbf{cw}(G)$

G

$G$

जहां

और

क्रमशः पथप्रदर्शन और

का ट्रेविद हैं।

t w (G) \leq p w (G) \leq c w (G) \leq o w (G),

$\mathbf{tw}(G) \leq \mathbf{pw}(G) \leq \mathbf{cw}(G)\leq \mathbf{ow}(G),$

p w (G)

$\mathbf{pw}(G)$

t w (G)

$\mathbf{tw}(G)$

G

$G$

हम दावा करते हैं कि ऑनलाइन चौड़ाई में बिट्स की मुख्यता की गणना की जा सकती है । अंत में सर्किट स्वीकार करता है कि क्या और केवल अगर काउंटर का मूल्य n / 2 से अधिक है। यह देखना आसान है कि एक सर्किट ADD के द्वार जो एक को काउंटर रजिस्टर में जोड़ता है, उसे टोपोलॉजिकल रूप से आदेश दिया जा सकता है कि इसकी निरंतर ऑनलाइन चौड़ाई होती है, क्योंकि इस सर्किट को ऑपरेशन पर एक कैरी लागू करने की आवश्यकता होती है। कुल सर्किट एक सर्किट का एक अनुक्रम है जिसे के इनपुट पर प्लग किया जाता है , और के आउटपुट को $n$ , और इसलिए treewidth । सर्किट एक ऑनलाइन एल्गोरिथ्म है कि एक इनपुट बिट पढ़ता simulates एक समय में और कहते हैं के साथ एक काउंटर करने के लिए बिट्स यदि और केवल यदि । भीख माँगने पर, काउंटर को से शुरू किया जाता है $O(\log n)$ $O(\log n)$ $b$ $b$ $O(\log n)$ $b=1$ $0$ जहां के उत्पादन में $C=(ADD_1,ADD_2,...,ADD_n,COMP)$ $ADD_i$ $ADD_{i+1}$ $ADD_n$ के आउटपुट को COMP के इनपुट में प्लग किया गया है। अब अगर हम सांस्थितिकी-आदेश कुल सर्किट के सभी फाटकों कि इस तरह से के द्वार के सामने प्रकट और के सभी फाटकों COMP के द्वार, तो यह पहले दिखाई देते हैं टोपोलॉजिकल ऑर्डर में ऑनलाइन चौड़ाई $C$ $ADD_i$ $ADD_{i+1}$ $ADD_n$ $O(\log n)$ । यह निर्माण चित्रण के एक पेपर के चित्र 1 में दर्शाया गया है कि लॉगरिदमिक ऑनलाइन चौड़ाई में प्रायिकता प्रवर्धन किया जा सकता है।

अवलोकन: सर्किट C की गहराई । $O(n)$

— माटेउस डी ओलिवेरा ओलिवेरा
स्रोत

एक पक्ष की टिप्पणी के रूप में, एक ही सर्किट कर रहा है, लेकिन एक द्विआधारी पेड़ के रूप में (रूट पर आउटपुट के साथ) एक पथ के बजाय ट्रेविद ओ (लॉग एन) और गहराई ओ (लॉग एन) के साथ एक सर्किट देता है

— डेनियलो

ऐसा लगता है कि पेड़ों में एक सीधा अनुवाद गहराई ओ ((एन एन) ^ 2) देगा क्योंकि हमें प्रत्येक योजक के लिए गहराई ओ (लॉग एन) की आवश्यकता होगी। लेकिन इसका सच यह है कि ट्रेविद ओ (लॉग एन) होगा।

— मेटुस डी ओलिवेरा ओलिवेरा

बेशक आप सही हैं, धन्यवाद! ऐसा लगता है कि यदि परिवर्धन को DNF के रूप में लागू किया जाता है तो हमें ट्रेविद और डेप्थ O (लॉग एन) मिलता है, लेकिन आकार

।

O (n^{3})

$O(n^3)$

— डेनियलो

डीएनएफ के रूप में योजक का प्रतिनिधित्व करने वाली बात यह है कि यह संभावित रूप से ट्रेविद को बढ़ा सकता है, क्योंकि अब प्रत्येक चर को (पहली नज़र में बहुपद के साथ) कई खंडों के साथ साझा किया जाएगा। ओ (लॉग एन) की गहराई को कम करने के लिए आपका सुझाव काम करेगा अगर आप यह दिखा सकते हैं कि ओ (लॉग एन) बिट्स के साथ दो संख्याओं के अलावा निरंतर गहराई और लॉगरिदमिक ट्रेविद में किया जा सकता है।

— माटूस डी ओलिवेरा ओलिवेरा

खैर - पर किसी भी बूलियन समारोह के लिए

इनपुट बिट और

उत्पादन बिट्स DNF गहराई है

, आकार

, और treewidth

एक स्वतंत्र सेट को हटाने इनपुट + उत्पादन फाटकों पत्ते ... के बाद से

a

$a$

b

$b$

2

$2$

2^{a} + a + b

$2^a + a + b$

\leq a + b

$\leq a+b$

— daniello

प्रश्न का दूसरा भाग का उत्तर देना - यहाँ एक के लिए एक सबूत स्केच है कुछ निरंतर के लिए treewidth के लिए बाध्य कम । बाउंड सर्किट के आकार या किसी अन्य पहलू से स्वतंत्र है। बाकी के तर्क में सर्किट है, , का treewidth और इनपुट गेट्स की संख्या है। $c \cdot \log n$ $c$ $C$ $t$ $C$ $n$

पहला कदम यह है कि संतुलित विभाजक लेम्मा का उपयोग बंधे हुए त्रिभुज के ग्राफ के लिए किया जाता है । सर्किट के द्वार (इनपुट फाटकों सहित) को तीन भागों में विभाजित किया जा सकता , और , ऐसा है कि और और दोनों में कम से कम इनपुट गेट्स, और और बीच कोई आर्क्स (तार) नहीं हैं । $L$ $R$ $S$ $|S| \leq t+1$ $L$ $R$ $n/3-|S|$ $L$ $R$

बाकी सबूत में सर्किट की एकमात्र संपत्ति जो हम उपयोग करेंगे, वह यह विभाजन है - इसलिए सबूत वास्तव में ऊपर के रूप में एक संतुलित विभाजक के आकार पर एक कम बाध्य देता है । $S$

बीत रहा है हाथ में हम एक सर्किट का निर्माण से इस प्रकार है: के लिए प्रत्येक गेट में दो और फाटकों बनाने और , और मेकअप और में फ़ीड । से में जाने वाले सभी तारों के लिए उन्हें में जाने के बजाय बनाते हैं । से में जाने वाले सभी तारों के लिए उन्हें में जाना चाहिए $(L,S,R)$ $C'$ $C$ $g$ $S$ $g_L$ $g_R$ $g_L$ $g_R$ $g$ $g$ $L$ $g_L$ $g$ $R$ $g_R$ बजाय। Let

S^{'} = {g, g_{L}, g_{R} : g \in S} .

$S' = \{g, g_L, g_R : g \in S\}.$

प्रत्येक लिए आश्वासन एक सर्किट बनाते हैं जो 1 को आउटपुट करता है अगर (ए) इनपुट गेट्स को असाइनमेंट आउटपुट को सही बनाता और (बी) इनपुट गेट्स को असाइनमेंट सभी गेट सेट करता है जैसा कि अनुमान लगाया गया है। इन सर्किट को , , लिए कॉल करें । ध्यान दें कि सर्किट स्वाभाविक रूप से दो उप- सर्किट और में टूट जाता है $2^{|S'|}$ $S'$ $C'$ $S'$ $C_1$ $C_2$ $C_3 \ldots C_x$ $x \leq 8^t$ $C_i$ $C_i^L$ ऐसा है कि केवल के इनपुट फाटकों पर निर्भर करता है $C_i^R$ $C_i^L$ , केवल के इनपुट फाटकों पर निर्भर करता है , और इनपुट फाटकों के लिए किसी भी कार्य के लिए हम उस राशि $L \cup S'$ $C_i^R$ $R \cup S'$ । $C_i = C_i^L \wedge C_i^R$

के बाद से इनपुट फाटकों के लिए हर काम क्या में क्या होता है के लिए कुछ अनुमान के अनुरूप है हम है कि । इस प्रकार हमने सर्किट को OR (fanin ) और (fanin ) के रूप में लिखा है, जहां AND गेट नंबर को का आउटपुट दिया जा रहा $S'$ $C' = C_1 \vee C_2 \vee C_3 \ldots \vee C_x$ $C$ $8^t$ $2$ $i$ क्रमशः औरहै। $C_i^L$ $C_i^R$

चलो सर्वोच्च और-फाटक के सेट हो। हम पहले साबित करेंगे कि । यह पर एक साधारण लोअर बाउंड देता है । हम तब बेहतर बाउंड साबित होंगे। $Z$ $2^{|Z|} \geq n/3-|S|$ $\log \log n$ $t$

मान लीजिए , और मान लें कि में से कम इनपुट गेट हैं । तब और दोनों में कम से कम इनपुट गेट्स कबूतर के छेद के सिद्धांत के अनुसार दो अलग-अलग संख्याएँ हैं और ऐसी हैं कि के इनपुट गेट्स के लिए दो अलग-अलग कार्य हैं , एक जो सेट करता है गेट्स ट्रू, एक जो सेट करता है $2^{|Z|} < n/3-|S|$ $L$ $R$ $L$ $R$ $n/3-|S|$ $i$ $j$ $L$ $i$ $j$ , इस तरह कि सर्किट , सभी एक ही चीज का उत्पादन करते हैं। लेकिन में इनपुट गेट्स के लिए एक असाइनमेंट मौजूद है जैसे कि MAJORITY आउटपुट FALSE अगर $C_1^L$ $C_2^L \ldots C_x^L$ $R$ में गेट्ससही पर सेट हैं, और MAJORITY आउटपुट TRUE है अगर में गेट्ससही हैं। यह एक विरोधाभास है, और इसलिए $i$ $L$ $j$ $L$ कि treewidth जिसका अर्थ है कम से कम है । $2^{|Z|} \geq n/3-|S|$ $\log \log n$

अब हम एक बेहतर बाउंड दिखाते हैं: । मान लें कि में से कम इनपुट गेट हैं । तब L और R दोनों में कम से कम $|Z| \geq n/3-|S|$ $L$ $R$ इनपुट गेट्स को "सभी झूठे" असाइनमेंट पर विचार करें। चलो के इनपुट फाटक के सबसे छोटी संख्या हो सच में इस तरह के लिए सेट किया जा करने के लिए मेजर outputs सही, यह देखते हुए कि यह सब है कि गलत पर सेट है। $n/3-|S|$ $L$ $r$ $R$ $L$

को के सभी झूठे और बिल्कुल इनपुट गेट्स पर सेट करने के बाद से सच हो जाता है वहीं कुछ ऐसा होना चाहिए कि आउटपुट TRUE करता है, Wlog यह । से कम सच्चे इनपुट गेट के साथ सभी असाइनमेंट को को असत्य पर सेट करना होगा । की स्थापना के बाद से $L$ $r$ $R$ $1$ $i$ $C_i^L$ $C_1^L$ $R$ $r$ $C_1^R$ $1$ के इनपुट गेट सच और करने के लिए के इनपुट फाटकों सच बनाता करने के लिए बहुमत उत्पादन , सेटिंग $L$ $r-1$ $R$ $1$ गेटको सच में कम से कम एक आउटपुर के लिए बनाना चाहिए, एक दे रहा है $1$ $L$ $C_i^L$ $i \neq 1$ । wlog हम मान सकते हैं । तब सभी असाइनमेंट अधिक से अधिक सेट है कि सच चाहिए सेट करने के लिए इनपुट फाटक गलत पर, और इतने पर - हम इस तर्क को दोहरा सकते हैं बार। लेकिन इसका मतलब यह है कि $i=2$ $R$ $r-2$ $C_2^R$ $r$ $|Z| \geq r \geq n/3-|S|$ लिए निचला बाउंड । $c \cdot \log n$ $t$

[मुझे पता है कि इस स्केच को स्थानों पर थोड़ा सा लहराया जाता है, दूर से पूछें कि क्या कुछ अस्पष्ट है ...]

— daniello
स्रोत