बंधे हुए त्रिभुज के ग्राफ़ पर कठिन वैश्विक समस्याओं से आसान वैश्विक समस्याओं को क्या अलग करता है?

Question

बाउंड्री ट्रेविदथ के ग्राफ पर बहुपद समय में हार्ड ग्राफ की कई समस्याएं हल करने योग्य हैं । दरअसल, पाठ्यपुस्तकें आमतौर पर उदाहरण के रूप में सेट इंडिपेंडेंट का उपयोग करती हैं, जो एक स्थानीय समस्या है । मोटे तौर पर, एक स्थानीय समस्या एक समस्या है जिसके समाधान को प्रत्येक शीर्ष के कुछ छोटे पड़ोस की जांच करके सत्यापित किया जा सकता है।

दिलचस्प है, यहां तक ​​कि वैश्विक प्रकृति की समस्याओं (जैसे हैमिल्टनियन पथ) को अभी भी बंधे हुए त्रिभुज ग्राफ़ के लिए कुशलता से हल किया जा सकता है। इस तरह की समस्याओं के लिए, सामान्य गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम को उन सभी तरीकों का ध्यान रखना होगा जिनमें समाधान पेड़ के अपघटन के संबंधित विभाजक का पता लगा सकता है (उदाहरण के लिए [1] देखें)। रैंडमाइज्ड एल्गोरिदम (तथाकथित कटन'काउंट पर आधारित) [1] में दिए गए थे, और सुधार (यहां तक ​​कि नियतात्मक) एल्गोरिदम [2] में विकसित किए गए थे।

मुझे नहीं पता कि यह कहना उचित है कि कई, लेकिन कम से कम कुछ वैश्विक समस्याओं को हल किए गए ट्रेविद के ग्राफ़ के लिए कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है। तो उन समस्याओं के बारे में क्या है जो इस तरह के ग्राफ़ पर कठिन हैं? मैं मान रहा हूँ कि वे भी एक वैश्विक प्रकृति के हैं, लेकिन और क्या? इन कठोर वैश्विक समस्याओं को वैश्विक समस्याओं से अलग करता है जिन्हें कुशलता से हल किया जा सकता है? उदाहरण के लिए, ज्ञात तरीके कैसे और क्यों हमें उनके लिए कुशल एल्गोरिदम देने में विफल होते हैं?

उदाहरण के लिए, कोई निम्नलिखित समस्या पर विचार कर सकता है:

एज प्रोलरिंग एक्सटेंशन कुछ किनारों के साथ ग्राफ को देखते हुए , यह तय करता है कि क्या इस रंग को ग्राफ G के उचित के -रंग-रंग तक बढ़ाया जा सकता है ।$G$$k$$G$

एज प्रोलरिंग एक्सटेंशन (और इसकी सूची एज कलरिंग वेरिएंट) द्वि-द्विपदीय श्रृंखला-समानांतर रेखांकन [3] के लिए एनपी-पूर्ण है (ऐसे ग्राफ़ में सबसे अधिक 2 पर ट्रेविद होता है)।

न्यूनतम राशि किनारे रंग एक ग्राफ को देखते हुए , किनारे से रंग खोजने के χ : ई → एन ऐसी है कि अगर ई 1 और ई 2 एक उभयनिष्ठ शीर्ष है, तो χ ( ई 1 ) ≠ χ ( ई 2 ) । उद्देश्य कम करने के लिए है ई ' χ ( ई ) = Σ ई ∈ ई χ ( ई $G=(V,E)$$\chi : E \to \mathbb{N}$$e_1$$e_2$$\chi(e_1) \neq \chi(e_2)$$E'_\chi(E) = \sum_{e \in E} \chi(e)$ , रंग की राशि।

दूसरे शब्दों में, हमें एक पूर्णांक के किनारों पर सकारात्मक पूर्णांक निर्दिष्ट करना होगा, जैसे कि निकटवर्ती किनारों को अलग-अलग पूर्णांक प्राप्त होते हैं और निर्दिष्ट संख्याओं का योग न्यूनतम होता है। यह समस्या आंशिक 2-पेड़ों [4] के लिए एनपी-कठिन है (यानी अधिकांश 2 पर ट्रेविदथ का ग्राफ)।

इस तरह की अन्य कठिन समस्याओं में एज-डिस्गॉइंट पाथ्स प्रॉब्लम, सबग्राफ आइसोमॉर्फिज्म प्रॉब्लम और बैंडविड्थ प्रॉब्लम (उदाहरण के लिए [5] और उसमें रेफरेंस देखें) शामिल हैं। पेड़ों पर भी कठिन रहने वाली समस्याओं के लिए, इस प्रश्न को देखें ।

---

[१] साइगन, एम।, नेपोलोफ, जे।, पिलिपिचुक, एम।, वैन रूइज, जेएम, और वोज्टस्ज़्ज़िक, जो (२०११, अक्टूबर)। एकल घातीय समय में treewidth द्वारा मानकीकृत कनेक्टिविटी समस्याओं का समाधान। कंप्यूटर विज्ञान की नींव (एफओसीएस), 2011 में IEEE 52 वें वार्षिक संगोष्ठी (पीपी 150-159)। आईईईई।

[२] बोडलेंडर, एचएल, साइगन, एम।, क्रैट्स, एस।, और नेटलॉफ, जे (२०१३)। Treewidth द्वारा निर्धारित कनेक्टिविटी समस्याओं के लिए निर्धारक एकल घातांक समय एल्गोरिदम। ऑटोमेटा, भाषा और प्रोग्रामिंग में (पीपी। 196-207)। स्प्रिंगर बर्लिन हीडलबर्ग।

[३] मार्क्स, डी। (२००५)। एनपी ar प्लानर ग्राफ के किनारों पर सूची रंग और पूर्ति विस्तार की पूर्णता। ग्राफ थ्योरी जर्नल, 49 (4), 313-324।

[४] मार्क्स, डी। (२०० ९)। न्यूनतम योग रंग के लिए जटिलता परिणाम। असतत अनुप्रयुक्त गणित, 157 (5), 1034-1045।

[५] निशिस्की, टी।, ऑक्सीजन, जे।, और झोउ, एक्स। (२००१)। श्रृंखला-समानांतर रेखांकन के लिए एज-डिसपॉइंट पाथ प्रॉब्लम NP-complete है। असतत अनुप्रयुक्त गणित, 115 (1), 177-186।

Comments

कुछ हद तक के लिए इसी तरह क्या यादृच्छिक 3-SAT के लिए treewidth और उदाहरण कठोरता के बीच संबंध है? जो गैसपर्स / एसजेडर द्वारा बंधी हुई ट्रेविद सैट के लिए मजबूत बैकलाइट का हवाला देता है

— vzn

Answer 1

बाउंड्री ट्रेविदथ के ग्राफ के लिए अधिकांश एल्गोरिदम गतिशील प्रोग्रामिंग के कुछ रूप पर आधारित हैं। इन एल्गोरिदम के कुशल होने के लिए, हमें डायनेमिक प्रोग्रामिंग तालिका में राज्यों की संख्या को सीमित करने की आवश्यकता है: यदि आप एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म चाहते हैं, तो आपको राज्यों की एक बहुपद संख्या (जैसे, एन ^ ट्व) की आवश्यकता है, यदि आप करना चाहते हैं यह दिखाएं कि समस्या एफपीटी है, आप आमतौर पर यह दिखाना चाहते हैं कि राज्यों की संख्या ट्रेविद के कुछ कार्य है। कुछ छोटे विभाजक पर ग्राफ को तोड़ने पर राज्यों की संख्या आमतौर पर विभिन्न प्रकार के आंशिक समाधानों की संख्या से मेल खाती है। इस प्रकार एक समस्या बाउंड-ट्रेविद ग्राफ पर आमतौर पर आसान है क्योंकि एक सीमित संख्या में वर्टिकल के माध्यम से बाहरी दुनिया के साथ बातचीत करने वाले आंशिक समाधानों में केवल एक सीमित संख्या में प्रकार होते हैं। उदाहरण के लिए, स्वतंत्र सेट समस्या में आंशिक समाधान का प्रकार केवल उस सीमा पर निर्भर करता है जिस पर सीमा लंब का चयन किया जाता है। हैमिल्टनियन चक्र की समस्या में, आंशिक समाधान के प्रकार का वर्णन किया जाता है कि आंशिक समाधान के उप-भाग एक दूसरे से सीमा के कोने से कैसे मेल खाते हैं। कौरसल के प्रमेय के वेरिएंट एक समस्या के लिए पर्याप्त स्थिति देते हैं कि संपत्ति में आंशिक समाधान केवल एक सीमित संख्या में प्रकार होते हैं।

यदि कोई समस्या बंधी-बंधी रेखाचित्रों पर कठिन है, तो यह आमतौर पर निम्नलिखित तीन कारणों में से एक है।

1. ग्राफ़ द्वारा कैप्चर नहीं की गई समस्या में सहभागिता होती है। उदाहरण के लिए, स्टीनर वन, ट्रेपिडिथ 3 के ग्राफ पर एनपी-हार्ड है, सहजता से क्योंकि स्रोत-गंतव्य जोड़े गैर-सटे कोने के बीच इंटरैक्शन बनाते हैं।

एलिजाबेथ गैस्नर: द स्टाइनर फॉरेस्ट प्रॉब्लम पर दोबारा गौर किया गया। जे। असतत एल्गोरिथ्म 8 (2): 154-163 (2010)

मोहम्मदहोसिन बाटेनी, मोहम्मद तागी हाजीगाय, डैनियल मार्क्स: प्लानर ग्राफ और बाउंडेड ट्रेविदथ के रेखांकन पर स्टेनर वन के लिए स्वीकृति योजनाएं। जे। एसीएम ५ 5 (५): २१ (२०११)

2. समस्या को ग्राफ़ के किनारों पर परिभाषित किया गया है। फिर भले ही ग्राफ का एक हिस्सा बाक़ी रेखाओं के माध्यम से ग्राफ़ के बाकी हिस्सों से जुड़ा हो, उन कुछ कोने में कई किनारों की घटना हो सकती है और फिर आंशिक समाधान की स्थिति का वर्णन करके ही स्थिति का वर्णन किया जा सकता है इन सभी किनारों। इसने [3,4] को मुश्किल में डाल दिया।

3. प्रत्येक शीर्ष पर विभिन्न राज्यों की एक बड़ी संख्या हो सकती है। उदाहरण के लिए, कैपेसिटेड वर्टेक्स कवर W [1] है, जिसे ट्रेविद द्वारा परिमाणित किया गया है, सहज रूप से क्योंकि आंशिक समाधान के वर्णन में न केवल यह बताया गया है कि विभाजक के कौन से कोने चुने गए थे, बल्कि यह भी बताते हुए कि विभाजक के प्रत्येक चयनित शीर्ष पर कितने थे किनारों को कवर करने के लिए इस्तेमाल किया।

माइकल डोम, डैनियल लोकशतनोव, साकेत सौरभ, यंगवे विलांगर: कैपसिटेटेड डोमिनेशन एंड कवरिंग: ए पैरामीटरी पर्सपेक्टिव। IWPEC 2008: 78-90

Comments

री # 2 "समस्या ग्राफ के किनारों पर परिभाषित की गई है": लेकिन बंधे हुए ट्रेविडेथ के लिए, कौरसल के प्रमेय ने किनारे सेटों पर मात्रा का ठहराव करने की अनुमति दी, न कि केवल शीर्ष सेट। इसलिए यदि आपके पास प्रति छोर पर केवल एक परिमित राशि है, तो यह एक बाधा नहीं है।

— डेविड एपस्टीन

@DavidEppstein एज-डिफ़ाइंड समस्याएं हैं जो कौरसल प्रमेय का उपयोग करके व्यक्त करना मुश्किल है। उदाहरण के लिए, कुछ निश्चित ग्राफ की एज-डिस्जॉस्ट प्रतियां पैक करना एक ऐसी समस्या है, लेकिन वर्टेक्स-डिस्जॉइंट संस्करण को एक सबग्राफ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहां हर घटक निश्चित ग्राफ के लिए आइसोमोर्फिक है। इसके अलावा, एज-डिफर्ड प्रॉब्लम्स में वर्टीकल पर अड़चनें आ सकती हैं (जैसे, प्रत्येक वर्टेक्स के किनारों में से ज्यादातर आधे हिस्से का चयन किया जाता है), हालाँकि आप इसे कारण के रूप में वर्गीकृत कर सकते हैं # 3 (प्रति वर्कट राज्यों की बड़ी संख्या)।

— डैनियल मार्क्स

Answer 2

मेरा सुझाव कौरसल के प्रमेय को ध्यान से देखना होगा , जो कि (कुछ के विस्तार) में व्यक्त की गई मोनैडिक सेकंड ऑर्डर लॉजिक में एफपीटी एल्गोरिदम हैं, जब ट्रेविद द्वारा पैरामीटर किए गए हैं। मेरा संदेह यह है कि यह इन ग्राफ़ों के लिए FPT समस्याओं के कई या अधिकांश ज्ञात उदाहरणों को शामिल करता है। इस दृष्टि से, आपके स्थानीय / वैश्विक अंतर को मौजूदा MSO बनाम समस्याओं में स्पष्ट रूप से अंतर के बीच निकटता से संबंधित प्रतीत होता है, ऐसी समस्याएं जिनके MSO योगों में मात्रा का उच्च स्तर होता है। अपने वास्तविक प्रश्न पर लौटने के लिए, एक MSO सूत्रीकरण की कमी (जो कि कई मामलों में बिना किसी शर्त के साबित हो सकती है, Myhill – Nerode प्रमेय से संबंधित विचारों का उपयोग करके ) एक FPT एल्गोरिदम की कमी (जटिलता प्रमेय मान्यताओं के बिना साबित करने के लिए कठिन) की ओर सबूत होगा।

Answer 3

मुझे लगता है कि इस तरह के उदाहरणों में से एक सबसे बड़ी समस्या है। यूनिफ़र्ड स्पार्स कट की समस्या , बाउंड ट्री की चौड़ाई के ग्राफ पर हल करने योग्य है, लेकिन वेटेड स्पार्स कट की समस्या नहीं है बाउंड्री ट्रेविदथ के ग्राफ़ में भी अनुमानित (17/16 से बेहतर) नहीं है।

स्पार्स कट की समस्या के कई अलग-अलग प्रकार हैं, लेकिन अच्छी तरह से ज्ञात एक में से एक इस प्रकार है।

$G=(V,E)$$w:E(G)\rightarrow N$$E(S,V\setminus S) \subseteq E(G)$$S \subset V$$\frac{W(E(S,V\setminus S))}{|S||V\setminus S|}$ऐसे सभी संभावित कटौती पर कम से कम है। (के लिये$E'\subseteq E(G)$ हमारे पास है $W(E')=\sum_{e\in E'}w(e)$, भी हम बस निर्णय संस्करण के लिए समस्या की परिभाषा बदल सकते हैं)।

मुख्य घटक दो चीजों से बना है:

1. अतिरिक्त कार्य, यहाँ वजन समारोह की तरह। लेकिन अभी भी वजन समारोह के साथ कुछ समस्याएं हैं जो बाध्य वृक्ष की चौड़ाई के अप्रत्यक्ष रेखांकन में बहुत कठिन नहीं हैं।

2. स्पर्सेस्ट कट की समस्या की प्रकृति। वास्तव में समस्या की परिभाषा में गतिशील प्रोग्रामिंग के लिए एक से अधिक निर्भरता का अस्तित्व। सहज रूप से अच्छा समाधान वह है जो हम एक ग्राफ (कुछ किनारों को हटाकर) को लगभग दो समान आकार में विभाजित करते हैं, दूसरी ओर इस विभाजन में हम उन सबसे कम किनारों को हटाते हैं जिनका हम उपयोग करते हैं। बंधे हुए त्रिभुज ग्राफ में समस्या कठिन होने का कारण यह है कि हमें दो दिशाओं में गतिशील प्रोग्रामिंग को लागू करना चाहिए, लेकिन दोनों दिशाएं एक दूसरे से निर्भर हैं।

सामान्य तौर पर, यदि समस्या इस तरह से है कि गतिशील प्रोग्रामिंग के लिए एक से अधिक आयामों की आवश्यकता होती है और उन आयामों को भी एक-दूसरे पर निर्भर किया जाता है, तो समस्या को बाध्य वृक्ष की चौड़ाई के रेखांकन में कठिन होने की संभावना है। हम इस पैटर्न को प्रश्न में दोनों समस्याओं के साथ-साथ सबसे कम कटौती की समस्या के लिए भी देख सकते हैं। (पहली समस्या में हम पिछले रंग को दूसरी तरफ रखना चाहते हैं, जितना संभव हो उतना छोटा रंग रखें, दूसरी समस्या में स्पष्ट रूप से दो कार्य हैं जो एक दूसरे पर निर्भर हैं)