पेड़ों पर एनपी-कठिन समस्याएं

Question

सामान्य ग्राफ़ पर एनपी-हार्ड होने वाली कई अनुकूलन समस्याओं को बहुपद समय (कुछ रैखिक समय में भी) में इनपुट ग्राफ एक पेड़ होने पर तुच्छ रूप से हल किया जा सकता है। उदाहरणों में न्यूनतम शीर्ष कवर, अधिकतम स्वतंत्र सेट, सबग्राफ समरूपता शामिल हैं। कुछ प्राकृतिक अनुकूलन समस्याओं को नाम दें जो पेड़ों पर एनपी-कठोर रहती हैं।

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अगर "सामुदायिक विकि" यहाँ आवश्यक है, तो जुका, यह बहस का विषय है। जाहिर है कि कम प्रासंगिकता के साथ आने वाली समस्याएँ शायद वैसे भी कम हो जाएँगी।

— रयान विलियम्स

मैं यह भी सोचने के लिए इच्छुक हूं कि सीडब्ल्यू आवश्यक नहीं है

— सुरेश वेंकट

यकीन नहीं होता कि सीडब्ल्यू की जरूरत है। मैं अपने सिर के ऊपर से किसी भी समस्या के बारे में नहीं सोच सकता। ऐसा लगता है कि इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए पोस्टर को पुरस्कृत किया जाना चाहिए।

— रॉबिन कोठारी

Google के शोध पत्रों के कुछ बेतरतीब हिट्स बताते हैं कि एक समस्या एनपी-हार्ड है भले ही इनपुट एक पेड़ हो: कैपेसिटेड व्हीकल रूटिंग , न्यूनतम विलंबता समस्या , कॉल शेड्यूलिंग ...

— जुका सुकोमेला

यह वह नहीं है जो आपने पूछा था, लेकिन यहां उल्लेख के लायक है: कुछ समस्याएं हैं जो पेड़ों पर आसान हैं, लेकिन बंधे हुए ट्रेविद पर कठिन हैं। उदाहरण के लिए, एज-डिस्जॉइंट पाथ्स (Nishizeki, Vygen, Zhou '01) और कंस्ट्रक्शन मैट्रिक्स स्पैन (McDiarmid, रीड '03)।

— डिएगो डे एस्ट्राडा

Answer 1

आप "प्राकृतिक" और "अच्छी तरह से ज्ञात" ग्राफ़ समस्याओं के उदाहरण पा सकते हैं जो हमारे मानक संदर्भ से पेड़ों तक सीमित होने पर भी कठिन हैं । उदाहरण:

• इंटीग्रल के -मूल्टिक कमोडिटी प्रवाह ,
• आम एम्बेडेड सबट्री ,
• आम सबट्री ।

(इन्हें पेड़ की समस्याओं के रूप में तैयार किया गया है, लेकिन आप इन्हें मनमाने ढंग से रेखांकन के लिए सामान्यीकृत कर सकते हैं। तब उपरोक्त सूत्र विशेष मामले के रूप में प्राप्त होते हैं, जब आप पेड़ों को अपने इनपुट को प्रतिबंधित करते हैं।)

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पेड़ों पर मुश्किल पैदा करने वाली समस्याओं के लिए एक और सामान्य नुस्खा: किसी भी एनपी-हार्ड समस्या को सुपरकिंग्स , सुपरस्ट्रिंग , सबस्ट्रिंग आदि से संबंधित लें , फिर एक स्ट्रिंग को लेबल किए गए पथ ग्राफ के रूप में फिर से व्याख्या करें। फिर सामान्य रेखांकन (बाद में subst ग्राफ माइनर, ≈ सबग्राफ के विकल्प) के लिए अनुरूप प्रश्न करें। और हम जानते हैं कि समस्या एनपी-कठोर है यहां तक ​​कि पेड़ों (और रास्तों) पर भी।

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कई समस्याएं भी हैं जो वजन वाले सितारों पर कठोर हैं, सबसेट-सम समस्या से कम करके। एक प्राकृतिक उदाहरण है:

• दो यात्रियों के साथ TSP : किनारे से भारित ग्राफ को देखते हुए और एक सीमा डब्ल्यू , हम बंद चलता दो पा सकते हैं सी 1 और सी 2 में जी प्रत्येक की पैदल दूरी पर ज्यादा से ज्यादा कुल वजन है ऐसी है कि डब्ल्यू , और के प्रत्येक नोड जी पर से कवर किया जाता है कम से कम एक चलना?$G$$W$$C_1$$C_2$$G$$W$$G$

फिर से, विषय की विविधताओं के साथ आना आसान है।

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बहुत बुरा संकलन अब अद्यतन नहीं है।

— एंथनी लैबर्रे

"लेबल पाथ ग्राफ" क्या है?

— दाविद

Answer 2

यह निर्धारित करने के लिए एनपी-पूर्ण है कि क्या एक पेड़ को दो-आयामी पूर्णांक ग्रिड में एम्बेड किया जा सकता है, जिसमें अलग-अलग ग्रिड बिंदुओं पर रखे गए पेड़ के कोने और ग्रिड किनारों पर लगाए गए पेड़ के किनारों को रखा गया है।

उदाहरण देखें ग्रेगोरी, आईपीएल 1989 ।

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तो, यह पेड़ों की आयताकार ड्राइंग की कठोरता का अर्थ है? क्या कोई डिग्री है जो कठोरता को बरकरार रखती है?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

डिग्री बाउंड करें: यदि चार से अधिक डिग्री का एक शीर्ष मौजूद है, तो कोई ग्रिड एम्बेडिंग संभव नहीं है।

— डेविड एप्पस्टीन

धन्यवाद डेविड, सरल करने के लिए अभी तक एक दिलचस्प समस्या है।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

ओह, इनपुट ट्री भी एक बाइनरी ट्री है। एक दम बढ़िया!

— साइरिक एंटनी

Answer 3

ग्रुप स्टेनर समस्या इसका एक अच्छा उदाहरण है। इस समस्या के लिए इनपुट एक अनिर्दिष्ट किनारे-भारित ग्राफ है और कोने की कश्मीर समूहों एस 1 , एस 2 , ... , एस कश्मीर । लक्ष्य एक न्यूनतम वजन का पेड़ ढूंढना है जिसमें प्रत्येक समूह से कम से कम एक शीर्ष हो। यह देखना आसान है कि जी स्टार होने पर भी सेट कवर की समस्या एक विशेष मामला है। इस प्रकार यह समस्या P = NP के अनुसार O ( लॉग एन ) कारक के भीतर अनुमानित है । इसके अलावा, यह हेल्परिन और क्रुथगामेर द्वारा दिखाया गया था कि समस्या एक के भीतर लगभग कठिन है$G=(V,E)$$S_1, S_2, \ldots, S_k$$O(\log n)$ किसी निश्चित के लिए कारक ε > 0 जब तक एनपी बेतरतीब है अर्ध बहुपद समय एल्गोरिदम (एक सटीक बयान के लिए कागज देखें)। गर्ग, कोंजदेव और रवि द्वारा पेड़ों परएक ओ ( लॉग 2 एन ) सन्निकटन है।$O(\log^{2-\epsilon} n)$$\epsilon > 0$$O(\log^2 n)$

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आआह: बेतरतीब लेटेक्स !! इससे आँखें

— दुखती हैं

खैर, मुझे नहीं पता कि लेटेक्स फॉर्मेटिंग यहाँ कैसे करें :)। संकेत ??

— चंद्रा चकुरी

बस हमेशा की तरह $ .. $ का उपयोग करें ।

— सुरेश वेंकट

ठीक है अब सब ठीक हो गया

— सुरेश वेंकट

Answer 4

पेड़ों पर सबसे कठिन समस्याओं में से एक न्यूनतम बैंडविड्थ समस्या है। यह अधिकतम डिग्री के पेड़ों पर भार है 3. इसके अलावा बालों की लंबाई 1 के परिपत्र कैटरपिलर पर एनपी-हार्ड है।$NP$

संदर्भ:

माइकल आर। गैरी, रोनाल्ड एल। ग्राहम, डेविड एस। जॉनसन और डोनाल्ड ई। नुथ। बैंडविड्थ कम करने के लिए जटिलता परिणाम। स्याम जे। Appl। गणित।, 34 (3): 477-495, 1978।

बर्कहार्ड मोनियन। बालों की लंबाई 3 के साथ कैटरपिलर के लिए बैंडविड्थ की न्यूनतम समस्या एनपी-पूर्ण है। SIAM जे। बीजीय असतत तरीके, 7 (4): 505-512, 1986।

डब्ल्यू। अनगर। बैंडविड्थ समस्या के सन्निकटन की जटिलता। एफओसीएस में, पेज 82-91, 1998

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Unger के पेपर का सही संस्करण बैंडविड्थ , चंदन दुबे, उरीएल फीगे और वाल्टर Unger को सन्निकट करने के लिए कठोरता परिणाम है ।

— युवल फिल्मस

Answer 5

$G$$G$$k$$S$$k$$G$

यह समस्या सितारों पर एनपी-हार्ड (और मैक्स एसएनपी-हार्ड) है [ 1 ]।

[ १ ] गर्ग, वजीरानी, ​​और यानाकिस, पेड़ों में इंटीग्रल फ्लो और मल्टीटीकल के लिए प्राइमल-डुअल अप्रूवल अल्गोरिद्म, अल्गोरिथमिका, १, (१), पीपी ३-२०, १ ९९,।

Answer 6

फायर फाइटर समस्या ने हाल ही में उचित मात्रा में ध्यान आकर्षित किया है, और अधिकतम डिग्री 3 के पेड़ों पर (कुछ हद तक आश्चर्यजनक रूप से) एनपी-हार्ड है । यह वास्तव में एक काफी स्वाभाविक प्रश्न है, जिसे निम्नानुसार वर्णित किया गया है:

$k$

या एक प्रकार, एनपी-हार्ड भी : क्या फायर फाइटर के लिए कोई रणनीति है जिसमें कोई पत्ता नहीं जलता है?

Answer 7

एक समस्या जो सोच सकती है कि पेड़ों पर कठिन नहीं होगी, लेकिन यह है कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में फ्रीज-टैग समस्या है : संक्षेप में, एकल जागृत बॉट से शुरू होने वाले रोबोट के लिए शेड्यूलिंग वेकअप की समस्या, जहां मेकपैन लागत उपाय है।

यह वजन वाले स्टार ग्राफ पर एनपी-हार्ड होने के लिए जाना जाता है। हालाँकि, यह खुला है कि क्या समस्या विमान में एनपी-हार्ड है। कोई यह तर्क दे सकता है कि एनपी-कठोरता 'ट्री-नेस' से नहीं, बल्कि 'मनमाने मेट्रिक-नेस' से आती है, लेकिन स्टार ग्राफ केवल आपको सीमित स्थान देता है।

Answer 8

$T$$V(T)$$k$$\phi: V(T)\to \{1,\ldots, k\}$$T$$i$$i+1$$K$$K$

$k$

Answer 9

पेड़ों के लिए एम्पायर कलरिंग एनपी-हार्ड है।

$r$$s$$G$$r$$(s, r)$$s$$\text{COL}_r$$G$$s$

$s$$\text{COL}_r$$s \in \{3,\ldots, 2r − 1\}$$s$

Answer 10

यदि यह प्रत्येक नोड पर अधिकतम एक आउटगोइंग आर्क का उपयोग करता है, तो एक नेटवर्क में प्रवाह संगम है। एक पेड़ में अधिकतम संगम प्रवाह निर्धारित करने की एनपी-कठोरता (व्यास 4 में, कई डूबने की अनुमति के साथ) में सिद्ध किया गया है: डी। ड्रेसर और एम। स्ट्रीक्लर, कैपेसिटेड कंफ़्लुएंट फ़्लो: जटिलता और एल्गोरिदम, एलएनसीएस 6078 (2010) 347-358 ।

Answer 11

$TS$$T$$T_1\in TS$$T$$T_1$$T$

समस्या एनपी-हार्ड है (वास्तव में, यह लगभग कठिन है) केवल तब जब सभी इनपुट पेड़ों में अनबाउंड डिग्री हो।

Answer 12

एक साधारण ग्राफ का एक सामंजस्यपूर्ण रंग एक उचित शीर्ष रंग है, जैसे कि प्रत्येक जोड़ी रंगों को एक किनारे पर एक साथ दिखाई देता है। ग्राफ के सुरीले रंग में एक ग्राफिकल हारमोनस क्रोमैटिक संख्या कम से कम रंगों की होती है। हार्मोंस क्रोमैटिक नंबर खोजने की इस समस्या को एडवर्ड्स और मैकडर्मिड द्वारा पेड़ों पर एनपी-पूर्ण दिखाया गया था । वास्तव में, वे यह भी बताते हैं कि समस्या त्रिज्या 3 के पेड़ों के लिए एनपी-पूर्ण है।

Answer 13

$u$$u$

ध्यान दें कि संबंधित (और अधिक प्रसिद्ध) टीएसपी समस्या में, लक्ष्य औसत विलंबता के बजाय अधिकतम को कम करना है। मुझे लगता है कि टीआरपी को आमतौर पर एक अधिक जटिल समस्या माना जाता है (वास्तव में टीएसपी पी फॉर ट्री मेट्रिक्स में है)।

पेड़ों पर एनपी-कठोरता को आरए सिटरस "द मिनिमल लेटेंसी प्रॉब्लम इज एनपी-हार्ड फॉर वेटेड ट्रीज", ISCO 2002 में दिखाया गया था।

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यह एक अच्छी समस्या है!

— तैफून पे

Answer 14

अधिकतम तापमान तीन के पेड़ों पर ग्राफ मोटिफ एनपी-पूर्ण समस्या है:

फेलो, फर्टिन, हर्मेलिन और वायलेट, वर्टेक्स-रंगीन ग्राफ़ में कनेक्टेड मोटिफ्स खोजने के लिए तीव्र ट्रैक्टेबिलिटी बॉर्डरलाइन। कंप्यूटर साइंस में लेक्चर नोट्स, वॉल्यूम 4596/2007, 340-351

Answer 15

एक परियोजना के हिस्से के रूप में मेरे सामने एक बहुत (सामान्य) समस्या है: इस समस्या का एक प्रकार दो कोने और एक किनारे के साथ ग्राफ़ पर भी एनपी-हार्ड बना हुआ है, और पेड़ों पर एक अलग संस्करण एनपी-हार्ड है। चूंकि पहले संस्करण की एनपी-कठोरता स्पष्ट रूप से ग्राफ के आकार से नहीं मिलती है, इसलिए दूसरा संभवतः अधिक दिलचस्प है।

$S$$C$$G=(V,E)$$S \subset V$$C \subset V$$S \cap C = \emptyset$$s \in S$$|s|$$F$$f \in F$$|f|$$e \in E$$t_e$$R \subseteq C \times F$$(c,f) \in R$$c$$f$

$s \in S$$A_s$$\sum_{f \in A_s} |f| \leq |s|$$P_r$$G$$r = (c,f) \in R$$c$$s$$f \in A_s$$e$$D_e$$r = (c,f) \in D_e$$P_r$$e$$\sum_{(c,f) \in D_e}|f| \leq t_e$

आप सभी डाउनलोड कराई जाने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन बजाय डाउनलोड के filesizes की राशि को अधिकतम करने की कोशिश कर रहे हैं तो आप आसानी से इस समस्या का सबसेट-राशि को कम कर सकते कराई: आप की जगह, एक विशाल मात्रा के साथ एक एकल सर्वर है उप-योग उदाहरण के लक्ष्य मान के बराबर क्षमता के साथ एक किनारे के साथ सर्वर से जुड़ा एकल ग्राहक और उप-योग उदाहरण में प्रत्येक पूर्णांक के लिए आप समान आकार के साथ एक फ़ाइल बनाते हैं; क्लाइंट तब इन सभी फ़ाइलों को डाउनलोड करना चाहता है।

इस प्रश्न के लिए ए (बहुत?) अधिक दिलचस्प संस्करण यह मामला है कि आप उन किनारों की संख्या को कम करने की कोशिश करते हैं जिनकी क्षमता पार हो गई है - शायद हम जिस नेटवर्क पर काम कर रहे हैं वह ट्रांसलेटोनिक इंटरनेट केबलों और केबल को बदलने के लिए इतना महंगा है कि अंतर एक कारक के उन्नयन में दो तेजी से और एक कारक के उन्नयन में तीन तेजी से नगण्य है। हम यह भी कहते हैं कि सर्वरों पर फाइलों का स्थान पहले से ही दिया गया है और उन्हें संशोधित नहीं किया जा सकता है, इसलिए हम पूरी तरह से रूटिंग मुद्दों को देखते हैं।

$U$$S \subseteq P(U)$$u \in U$

$s \in S$$u \in s$$u$

विचार यह है कि क्लाइंट को सभी सर्वर क्लस्टर्स के लिए अद्वितीय फ़ाइलों की आवश्यकता होती है, इसलिए क्लाइंट को सर्वर क्लस्टर्स से जोड़ने वाले किनारे पहले से ही उनकी क्षमताओं की सीमा पर हैं (उनकी क्षमता 1 है, फाइलों का आकार 1 है)। यदि क्लाइंट ब्रह्मांड के किसी भी तत्व को किसी भी क्लस्टर से डाउनलोड करता है, तो उस क्लस्टर से जुड़ने वाला किनारा ओवरलोड हो जाता है। चूंकि हमें केवल संख्या को कम करना हैओवरलोड्स (और हम कितनी क्षमता से अधिक है), क्लाइंट उस सर्वर क्लस्टर में होस्ट किए गए ब्रह्मांड के बाकी तत्वों को डाउनलोड कर सकता है (इसलिए संबंधित उपसमुच्चय के तत्वों के बाकी) दंड के बिना। इसलिए यह चुने जाने वाले सबसेट से मेल खाता है। क्लाइंट ब्रह्मांड में सभी फाइलों को एक बार डाउनलोड करना चाहता है, इसलिए ब्रह्मांड वास्तव में कवर किया जाएगा, और ओवरलोड किए गए किनारों की संख्या को कम करने के लिए हमें चुने गए सबसेट की संख्या को कम करने की आवश्यकता है।

ध्यान दें कि उपरोक्त निर्माण एक पेड़ के ग्राफ का उत्पादन करता है, इसलिए यह पेड़ों पर एक एनपी-कठिन समस्या का एक उदाहरण है।

Answer 16

अस्थिर प्रवाह समस्या। वास्तव में यूएफपी एक किनारे (नॅप्सैक) पर भी कठिन है।

Answer 17

$G(V, E)$$NP$

औपचारिक रूप से, समस्या यह है:

आंशिक रूप से ISOMORPHISM

$T = (V,E)$

$\{E1,E2 \}$$E$$T1 = (V,E1)$$T2 = (V,E2)$

एनपी-पूर्णता स्तंभ ग्राहम और रॉबिन्सन की अप्रकाशित पांडुलिपि, "आइसोमॉर्फिक फैक्टराइजेशन IX: यहां तक ​​कि पेड़ों" का हवाला देता है।

डीएस जॉनसन, एनपी-पूर्णता कॉलम: एक सतत गाइड, जर्नल ऑफ़ एल्गोरिदम 3 (1982), 288–300

Answer 18

किसी तरह मैं आखिरी जवाब में अक्रोमैटिक नंबर की समस्या से चूक गया, लेकिन यह उन सबसे प्राकृतिक समस्याओं में से एक है, जिनके बारे में मुझे पता है, जो पेड़ों पर एनपी-पूर्ण हैं।

एक ग्राफ का पूरा रंग एक उचित रंग है जैसे कि रंग वर्गों के हर जोड़े के बीच एक बढ़त है। रंग को सामंजस्यपूर्ण रंग के विपरीत कहा जा सकता है, एक उचित रंग के रूप में कि प्रत्येक जोड़ी कम से कम एक किनारे पर दिखाई देती है । साथ ही, इसे एक संपूर्ण (या पूर्ण) समरूपता के रूप में कहा जा सकता है। अक्रोमैटिक नंबर समस्या एक अधिकतम समस्या है, जहाँ हम ग्राफ़ की पूरी रंगाई में सबसे बड़ी संख्या में रंग वर्गों की तलाश करते हैं।

यानाकिस और ग्रेविल ने इस समस्या को बिपार्टाइट ग्राफ़ के पूरक पर एनपी-कठोर साबित किया । केर्नी और एडवर्ड्स ने उस परिणाम को बढ़ाया और दिखाया कि समस्या एनपी-पेड़ों पर है ।

इस समस्या पर बहुत कुछ काम किया गया है, एप्रिसिएशन अल्गोरिदम [ 3 , 4 , 5 ] के क्षेत्र में।

Answer 19

$n$$k$$\lceil\frac{n}{k}\rceil$

Answer 20

पेड़ एनपीसी पर सर्किट सैट है ?. ट्री इनर वर्टिकल को OR / AND गेट्स के रूप में लेबल किया जाता है। पत्तियां इनपुट हैं। यह निर्धारित करें कि क्या ट्रू का मूल्यांकन करने के लिए सर्किट के लिए इनपुट का एक संतोषजनक सेट है।

$2^k - 1$

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उम्म, सर्किट जो पेड़ हैं उनका एक नाम है: सूत्र। फॉर्मूला सैट बेशक एनपी-पूर्ण है, क्योंकि 3-सैट या पूर्ण सीएनएफ-सैट इसके विशेष मामले हैं।

— एमिल जेकाबेक

ऐसा कैसे? सभी सूत्र वृक्ष हैं। यदि आप चर की कई घटनाओं को प्रतिबंधित करना चाहते हैं, तो यह एक अतिरिक्त बाधा है। (मैं यह भी मानता हूं कि जब आप "इनपुट" लिखते हैं, तो आप वास्तव में "शाब्दिक" का मतलब है, सर्किट सैट के रूप में केवल और, या, और सकारात्मक शाब्दिक के साथ तुच्छ रूप से बहुपद-समय शुरू होता है।)

— एमिल जेबाबेक

$((a+b)+c)+d$$((a+b)+c)+a$

$(p \land q) \lor p$

यह खिलौने की समस्या नहीं है। यह मानक शब्दावली है, जब हम कहते हैं कि एक सर्किट एक पेड़ है इसका मतलब यह नहीं है कि चर केवल एक बार दिखाई देते हैं। किसी भी मामले में और जो हम इसे प्रस्तावित करते हैं उससे स्वतंत्र है, जैसा कि मैंने लिखा था कि आप प्रस्ताव दे रहे हैं।

— केव