शीर्ष लेबलिंग के "स्थानीय" कार्यों के संयोजन के लिए ग्राफ डिकम्पोजिशन

मान लें कि हम या

\underset{एक्स}{Σ} \underset{मैं जे \in इ}{Π} च ({एक्स}_{मैं}, {एक्स}_{जे})

$\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

\underset{एक्स}{अधिकतम} \underset{मैं जे \in इ}{Π} च ({एक्स}_{मैं}, {एक्स}_{जे})

$\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

जहां सभी लेबलिंग पर अधिकतम या योग लिया जाता है $V$ , उत्पाद को लिए सभी किनारों पर लिया जाता है और एक मनमाना कार्य है। यह मात्रा बाउंड ट्री की चौड़ाई के ग्राफ़ के लिए और प्लानर ग्राफ़ के लिए सामान्य एनपी-हार्ड के लिए खोजना आसान है। उचित रंग की संख्या, अधिकतम स्वतंत्र सेट और यूलरियन सबग्राफ की संख्या उपरोक्त समस्या के विशेष उदाहरण हैं। मैं इस तरह की समस्याओं के लिए बहुपद समय सन्निकटन योजनाओं में रुचि रखता हूं, विशेष रूप से प्लानर रेखांकन के लिए। क्या ग्राफ decompositions उपयोगी होगा? $E$ $G=\{V,E\}$ $f$

संपादित करें 11/1 : एक उदाहरण के रूप में, मैं डिकम्पोजिशन के बारे में सोच रहा हूं जो सांख्यिकीय भौतिकी के क्लस्टर विस्तार (यानी, मेयर विस्तार) के अनुरूप हो सकता है। जब $f$ कमजोर अंतःक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करता है, तो ऐसे विस्तार अभिसमय होते हैं, जिसका अर्थ है कि आप ग्राफ़ के आकार की परवाह किए बिना विस्तार के $k$ शब्दों के साथ सटीकता प्राप्त कर सकते हैं । क्या मात्रा के लिए पीटीएएस का यह अस्तित्व नहीं होगा?

अपडेट 02/11/2011

उच्च तापमान विस्तार, विभाजन फ़ंक्शन $Z$ को उन शब्दों के योग के रूप में फिर से लिखता है जहां उच्च आदेश शब्द उच्च आदेश इंटरैक्शन पर निर्भर करते हैं। जब "सहसंबंध क्षय" हो जाता है, तो उच्च आदेश शर्तें काफी तेजी से क्षय होती हैं, ताकि लगभग सभी $Z$ का द्रव्यमान कम-क्रम की शर्तों के परिमित संख्या में निहित हो।

उदाहरण के लिए ईज़िंग मॉडल अपने विभाजन फ़ंक्शन की निम्न अभिव्यक्ति पर विचार करें

जेड = \underset{एक्स \in एक्स}{Σ} \exp जे \underset{मैं जे \in इ}{Σ} {एक्स}_{मैं} {एक्स}_{जे} = सी \underset{ए \in सी}{Σ} (\tanh जे)^{| ए |}

$Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i x_j = c \sum_{A\in C} (\tanh J)^{|A|}$

यहाँ एक सरल निरंतर, हमारे ग्राफ के Eulerian subgraphs का एक सेट है,सबग्राफ में किनारों की संख्या है । $c$ $C$ $|A|$ $A$

हमने सबग्राफ पर एक योग के रूप में विभाजन फ़ंक्शन को फिर से लिखा है, जहां योग में प्रत्येक शब्द को सबग्राफ के आकार द्वारा घातीय रूप से दंडित किया गया है। अब एक ही प्रतिपादक के साथ समूह की शर्तें और पहले शब्द लेकर अनुमानित करें । जब आकार के यूलरियन सबग्राफ की संख्या बहुत तेजी से नहीं बढ़ती है, तो हमारे सन्निकटन की त्रुटि साथ तेजी से घट जाती है । $Z$ $k$ $p$ $k$

अनुमानित गिनती सामान्य रूप से कठिन है, लेकिन "सहसंबंध क्षय" उदाहरणों के लिए आसान है। उदाहरण के लिए, ईज़िंग मॉडल के मामले में, वहाँ सहसंबंध क्षय होता है जब की तुलना में धीमी गति से बढ़ता है जहां आकार के Eulerian उपसमूह की संख्या है । मैं इस तरह के मामले में विश्वास करता हूं, उच्च तापमान के विस्तार के कारण, लिए एक पीटीएएस देता है $f(k)$ $(\tanh J)^k$ $f(k)$ $k$ $Z$

एक अन्य उदाहरण भारित स्वतंत्र सेटों की गिनती कर रहा है - यह किसी भी ग्राफ के लिए ट्रैक्टेबल है यदि वजन काफी कम है क्योंकि आप समस्या को सहसंबंध क्षय दिखा सकते हैं। तब मात्रा को बंधे आकार के क्षेत्रों में स्वतंत्र सेटों की गणना करके अनुमानित किया जाता है। मेरा मानना है कि Dror Weitz 'STOC'06 परिणाम का तात्पर्य है कि किसी भी ग्राफ के लिए अधिकतम डिग्री 4 के साथ अनवीटेड स्वतंत्र सेट की गिनती संभव है।

मुझे "स्थानीय" डिकम्पोजिशन के दो परिवार मिले हैं - बेथ क्लस्टर ग्राफ और किकुची क्षेत्र रेखांकन। बेथ अपघटन अनिवार्य रूप से आपको क्षेत्रों में गिनती को गुणा करने के लिए कहता है, और क्षेत्र में गिनती से विभाजित करता है। किकुची क्षेत्र ग्राफ पद्धति इस बात पर ध्यान देती है कि "समावेशन-बहिष्करण" प्रकार के सुधार का उपयोग करके क्षेत्र स्वयं ओवरलैप कर सकता है।

वैकल्पिक दृष्टिकोण समस्या को वैश्विक ट्रैक्टेबल भागों में विघटित करना है, जैसे "कंबाइनटोरियल स्पेसेस पर वैरिएशन इंट्रेंस"। हालांकि, स्थानीय डिकम्पोजिशन आपको क्षेत्र आकार का चयन करके अनुमानित गुणवत्ता को नियंत्रित करने की अनुमति देता है

— यारोस्लाव बुलटोव
स्रोत

मैं जो कहना चाहता हूं वह एक टिप्पणी के लिए बहुत लंबा है (लेकिन वास्तव में होना चाहिए)।

यदि मैं प्रश्न को सही ढंग से पढ़ रहा हूं, तो आप उपरोक्त दोनों में से किसी एक मात्रा के लिए FPRAS (पूरी तरह से बहुपद यादृच्छिक सन्निकटन योजना) चाहते हैं, जिनमें से प्रत्येक में विशेष मामलों के रूप में विभिन्न # पी-पूर्ण समस्याएं शामिल हैं। विशेष रूप से, आप क्लस्टर विस्तार के उपयोग के द्वारा प्लानर रेखांकन के मामले में एक सामान्य FPRAS चाहते हैं।

मुझे संदेह है कि यह इस तथ्य के कारण संभव है कि अस्तित्व की समस्या की एनपी-पूर्णता (जैसे उचित रंग) का अर्थ है कि संबंधित गिनती समस्या (जैसे उचित रंग की संख्या) एपी-रिड्यूसबिलिटी (सन्निकटन) के संबंध में #P में पूर्ण है। संरक्षण)। डायर, गोल्डबर्ग, ग्रीनहिल और जीरियम, अल्गोरिथमिका (2004) 38: 471-500 देखें।

लेकिन शायद मैंने इस सवाल को गलत बताया है।

(वास्तव में, क्या आप बिना तापमान वाले विस्तार के अर्थ को समझा पाएंगे?)

— RJK
स्रोत

मैंने अपने प्रश्न का उत्तर दिया है

— यारोस्लाव बुलटोव

@ यारोस्लाव: व्यापक स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद! BTW, "रीजन" से क्या आपका मतलब "वर्सेट सब्मिट" है? (यह वही है जो मैं हेसके, जेएआईआर 26 (2006), 153-190 पर देखता हूं।) तो वास्तव में ऐसा लगता है कि आप विशिष्ट वर्गों के लिए विशिष्ट एफपीआरएएस (यानी, विशेष विकल्पों के साथ एफ) चाहते हैं (जैसे डिग्री पर प्लानेर ग्राफ़ के अधिकांश 4) जिसे आप "ग्राफ अपघटन" के रूप में संदर्भित करते हैं (जो कि अतिभारित शब्द है, निष्पक्ष होने के लिए)। क्या वो सही है?

— RJK

हां, क्षेत्र शीर्ष सबसैट हैं, और मैं ग्राफ़ के "ट्रैक्टेबल" वर्गों के लिए पीटीएएस में रुचि रखता हूं। BTW, यहाँ स्वतंत्र सेटों को गिनने के लिए एक क्लस्टर अपघटन का एक काम किया गया उदाहरण है जो मुझे लगता है कि सहसंबंध क्षय के उदाहरणों के लिए PTAS में बदल सकता है - yaroslavvb.blogspot.com/2011/02/…

— यरोस्लाव बुलटोव