नकारात्मक वजन किनारों के साथ मैक्स-कट

Let वजन समारोह के साथ एक ग्राफ होना । अधिकतम कटौती की समस्या को ढूंढना है: यदि वजन समारोह गैर-ऋणात्मक है (यानी लिए सभी ), तो अधिकतम-कट के लिए कई अत्यंत सरल 2-सन्निकटन हैं। उदाहरण के लिए, हम कर सकते हैं: $G = (V, E, w)$ $w:E\rightarrow \mathbb{R}$

\arg max_{S \subset V} \sum_{(u, v) \in E : u \in S, v \notin S} w (u, v)

$\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not \in S}w(u,v)$

w (e) \geq 0

$w(e) \geq 0$

e \in E

$e \in E$

अनुलंब की एक यादृच्छिक सबसेट चुनें $S$ ।
अब तक कटे हुए किनारों को अधिकतम करने के लिए, शीर्ष पर एक आदेश चुनें, और लालच में प्रत्येक शीर्ष $v$ को $S$ या $\bar{S}$
स्थानीय सुधार करें: यदि में कोई शीर्ष है जिसे कट (या इसके विपरीत) को बढ़ाने के $S$ लिए ले जाया जा सकता है $\bar{S}$ , तो चाल बनाएं।

इन सभी एल्गोरिदम का मानक विश्लेषण वास्तव में दर्शाता है कि परिणामी कटौती कम से कम $\frac{1}{2}\sum_{e \in E}w(e)$ , जो पर एक ऊपरी सीमा है। $1/2$ यदि $w$ गैर-ऋणात्मक है तो अधिकतम कट का वजन - लेकिन यदि कुछ किनारों को नकारात्मक भार रखने की अनुमति है, तो नहीं है!

उदाहरण के लिए, एल्गोरिथ्म 1 (वर्टीकल का सबसेट सबमिट चुनें) नेगेटिव एज वेट्स के साथ ग्राफ पर स्पष्ट रूप से विफल हो सकता है।

मेरा सवाल यह है कि:

क्या एक सरल दहनशील एल्गोरिथ्म है जो ग्राफ़ पर अधिकतम-कट समस्या के लिए ओ (1) सन्निकटन प्राप्त करता है जिसमें नकारात्मक किनारे भार हो सकते हैं?

अधिकतम-कट लेने के मूल्य के संभवतः चिपचिपा मुद्दे से बचने के लिए $0$ , मैं उस $\sum_{e \in E}w(e) > 0$ , और / या एल्गोरिदम से संतुष्ट होऊंगा जिसके परिणामस्वरूप छोटी अतिरिक्त त्रुटि हो सकती है गुणक कारक सन्निकटन।

— हारून रोथ
स्रोत

क्या शर्त "सरल संयोजन" यहां आवश्यक है?

— Hsien-Chih चांग 張顯

मैं सकारात्मक वजन मामले के लिए 2-सन्निकटन की तरह एक सरल, जुझारू एल्गोरिथ्म में दिलचस्पी रखता हूं। ध्यान दें कि मैं किसी भी ओ (1) सन्निकटन के बारे में पूछ रहा हूं, इसलिए मैं उम्मीद करूंगा कि यदि कोई एल्गोरिथम इसे प्राप्त कर सकता है, तो यह एक साधारण के साथ संभव होना चाहिए। लेकिन मुझे यह भी दिलचस्पी होगी कि नकारात्मक बढ़त भार के साथ ग्राफ पर एसडीपी एल्गोरिदम के लिए कौन से प्रदर्शन की गारंटी है, या सबूत है कि कोई स्थिर-कारक सन्निकटन एल्गोरिथ्म मौजूद नहीं है अगर ।

P \neq N P

$P \ne NP$

— एरोन रोथ

जवाबों:

यहाँ एक तर्क पर मेरा पहला प्रयास था। यह गलत था, लेकिन मैंने "EDIT:" के बाद इसे ठीक किया।

यदि आप नकारात्मक बढ़त भार के साथ अधिकतम-कट समस्या को कुशलतापूर्वक हल कर सकते हैं, तो क्या आप उस अधिकतम कट समस्या को सकारात्मक बढ़त के साथ हल करने के लिए उपयोग नहीं कर सकते हैं? अधिकतम कट समस्या के साथ शुरू करें जिसे आप हल करना चाहते हैं जिसका इष्टतम समाधान । अब, और बीच एक बड़ा नकारात्मक भार डालें (वजन साथ ) । नई समस्या का इष्टतम समाधान , इसलिए हमारा काल्पनिक अनुमान एल्गोरिथ्म आपको अधिकतम कटौती के साथ एक समाधान देगा जिसका मूल्य अधिकतम इष्टतम से भी बदतर है। मूल ग्राफ़ पर, अधिकतम कटौती अभी भी अधिकतम से अधिक खराब है। यदि आप चुनते हैं के पास $b$ $-a$ $u$ $v$ $b-a$ $(b-a)/2$ $(b-a)/2$ $a$ $b$ , यह अनुपयुक्तता के परिणाम का उल्लंघन करता है कि यदि P NP, तो आप अधिकतम-कटौती को कारक से बेहतर नहीं कर सकते । $\neq$ $16/17$

संपादित करें:

उपरोक्त एल्गोरिथ्म काम नहीं करता है क्योंकि आप गारंटी नहीं दे सकते कि और नए ग्राफ में कटौती के विपरीत पक्षों पर हैं, भले ही वे मूल रूप से थे। मैं इसे इस प्रकार ठीक कर सकता हूं, हालांकि। $u$ $v$

मान लेते हैं कि हमारे पास एक अनुमान एल्गोरिथ्म है जो हमें OPT के 2 के कारक के रूप में एक कट देगा जब तक कि सभी किनारे वजन का योग सकारात्मक हो।

ऊपर के रूप में, किनारों पर सभी गैर-नकारात्मक भार के साथ एक ग्राफ साथ शुरू करें । हम कुछ नकारात्मक भारों के साथ एक संशोधित ग्राफ़ प्राप्त करेंगे, जैसे कि यदि हम 2 के एक कारक के भीतर की अधिकतम कटौती को अनुमानित कर सकते हैं, तो हम के अधिकतम कटौती को लगभग अच्छी तरह से समझ सकते हैं । $G$ $G^*$ $G^*$ $G$

दो कोने और चुनें , और आशा करें कि वे अधिकतम कट के विपरीत किनारों पर हैं। (आप सभी संभव के लिए यह दोहरा सकते हैं सुनिश्चित करना है कि एक कोशिश काम करता है।) अब, एक बड़े नकारात्मक वजन डाल सभी किनारों पर और के लिए , और एक बड़े सकारात्मक वजन किनारे पर । मान लें कि इष्टतम कटौती का वजन । $u$ $v$ $v$ $-d$ $(u,x)$ $(v,x)$ $x \neq u,v$ $a$ $(u,v)$ $OPT$

में मान साथ एक कट , जहां कोने और कट के एक ही तरफ हैं, अब पर मान है जहां कट की दूसरी तरफ कोने की संख्या है। मूल मान साथ विपरीत पक्षों पर एक कट साथ अब । इस प्रकार, यदि हम चुनें बड़ा पर्याप्त, हम साथ सभी कटौती मजबूर कर सकते हैं और एक ही तरफ नकारात्मक मूल्य के लिए, इसलिए यदि सकारात्मक मूल्य के साथ किसी भी कटौती होती है, तो में इष्टतम कटौती होगा और $c$ $G$ $u$ $v$ $c - 2dm$ $m$ $(u,v)$ $c$ $c + a - (n-2)d$ $d$ $u$ $v$ $G^*$ $u$ $v$ विपरीत पक्षों पर। ध्यान दें कि हम विपरीत पक्षों पर और साथ किसी भी कटौती के लिए एक निश्चित वजन जोड़ रहे हैं । $(a - (n-2)d)$ $u$ $v$

आज्ञा देना । चुनें तो यह है कि (हम इस पर बाद का औचित्य साबित होगा)। वजन के साथ एक कट में होने और विपरीत दिशा में अब वजन के साथ एक कट हो जाता है । इसका मतलब है कि में इष्टतम कट का वजन । हमारा नया एल्गोरिथ्म में कट के साथ कम से कम वजन पाता है । यह कम से कम वजन के साथ मूल ग्राफ में कटौती में अनुवाद (क्योंकि में सभी कटौती अलग सकारात्मक वजन के साथ) $f=(a - (n-2)d)$ $a$ $f \approx - 0.98 OPT$ $c$ $G$ $u$ $v$ $c - 0.98 OPT$ $G^*$ $0.02 OPT$ $G^*$ $0.01 OPT$ $G$ $0.99OPT$ $G^*$ $u$ और ), जो अनुचित परिणाम से बेहतर है। $v$

चुनने के साथ कोई समस्या नहीं है बड़ा पर्याप्त के साथ किसी भी कटौती बनाने के लिए और एक ही तरफ नकारात्मक पर, क्योंकि हम चुन सकते हैं बड़े रूप में के रूप में हम चाहते हैं। लेकिन जब हमने नहीं जाना था तो हमने ऐसा कैसे चुना ? हम को लगभग अच्छी तरह से समझ सकते हैं ... यदि हम को में किनारे के भार का योग , तो हम जानते हैं । इसलिए हम के लिए मानों की एक काफी संकीर्ण श्रृंखला है , और हम से अधिक पुनरावृति कर सकते हैं बीच के सभी मानों लेने और $d$ $u$ $v$ $d$ $a$ $f \approx -.99OPT$ $OPT$ $OPT$ $T$ $G$ $\frac{1}{2}T \leq OPT \leq T$ $f$ $f$ $-.49T$ $-.99T$ अंतराल पर । इन अंतरालों में से एक के लिए, हम गारंटी देते हैं कि , और इसलिए इन पुनरावृत्तियों में से एक को एक अच्छा कटौती वापस करने की गारंटी है। $0.005T$ $f \approx -0.98 OPT$

अंत में, हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि नए ग्राफ में बढ़त वज़न है जिसका योग सकारात्मक है। हम एक ग्राफ जिसका बढ़त वजन योग था के साथ शुरू कर दिया , और कहा बढ़त वजन की राशि के। चूंकि , हम ठीक हैं $T$ $f$ $-.99T \leq f \leq -.49T$

— पीटर शोर
स्रोत

लेकिन आपके और क्या हैं ? अधिकतम कट समस्या के सामान्य निर्माण किसी भी "विशेष नोड्स" नहीं है कि जरूरत अलग किया जा रहा।

u

$u$

v

$v$

— जूका सूमेला

हाय इयान - मुझे नहीं लगता कि हालांकि काम करता है। क्यों आवश्यक रूप से किसी भी और को मौजूद होना चाहिए जो कि मूल ग्राफ़ में अधिकतम-कट द्वारा अलग हो जाते हैं, और उनके बीच एक भारी नकारात्मक बढ़त जोड़े जाने के बाद अधिकतम-कटौती से अलग रहते हैं? उदाहरण के लिए पूरा ग्राफ पर विचार करें - कहीं भी एक एकल, मनमाने ढंग से नकारात्मक बढ़त को जोड़ने से कट मूल्य को बिल्कुल भी नहीं बदलता है।

u

$u$

v

$v$

— आरोन रोथ

एक मुद्दा यह है कि यदि आप हर जोड़ी के बीच एक नकारात्मक बढ़त जोड़ते हैं, तो आप अलग-अलग कटौती के मूल्य को अलग-अलग मात्रा में संशोधित कर रहे हैं। (हम घटाते हैं, कहते हैं के मान से कट )। इसलिए हमें समस्या है कि संशोधित ग्राफ में अधिकतम कटौती की पहचान मूल ग्राफ में अधिकतम कटौती के अनुरूप नहीं है।

| S | \cdot | \bar{S} | \cdot a

$|S|\cdot|\bar{S}|\cdot a$

S

$S$

— एरोन रोथ

@Peter: एक मैं उद्धृत के बाद पैरा में आप चुन बनाने के लिए पर्याप्त रूप से छोटे । आप सुरक्षित रूप से नहीं चुन सकते हैं एक पैरा में पर्याप्त रूप से बड़े और अगले में पर्याप्त रूप से छोटे होने के लिए! विशेष रूप से, का चयन करने के कोई रास्ता नहीं है और कि सुनिश्चित करने के लिए सभी के लिए और एक साथ । यह निम्नानुसार है क्योंकि for all का तात्पर्य है कि ।

a

$a$

f \approx - 0.98 O P T

$f \approx -0.98 OPT$

a

$a$

a

$a$

d

$d$

c + a - (n - 2) d > c - d m

$c+a-(n-2)d>c-dm$

0 \leq m \leq n

$0\le m \le n$

a - (n - 2) d = f \approx - 0.98 \cdot O P T

$a-(n-2)d = f\approx -0.98 \cdot OPT$

c + a - (n - 2) d > c - d m

$c+a-(n-2)d>c-dm$

0 \leq m \leq n

$0\le m \le n$

f = a - (n - 2) d > 0

$f=a-(n-2)d > 0$

— वॉरेन शूडी

@Warren, आप चुन सकते हैं बड़ा पर्याप्त ताकि सभी कटौती के लिए। यह पर्याप्त रूप से बड़े का चयन करके किया जा सकता है । आप फिर सही आकार चुनते हैं ताकि इष्टतम कटौती केवल ऊपर हो । मेरे उत्तर के अंतिम दो पैराग्राफ पढ़ें।

d

$d$

c - d m < 0

$c-dm<0$

d

$d$

a

$a$

0

$0$

— पीटर शोर

एस। हर-पेलेड द्वारा " अनुमानित मैक्स कट " लेख में, पेपर की अंतिम पंक्ति ने उल्लेख किया कि अधिकतम-कट के वास्तविक भारित संस्करण में चर्चा की गई है

कम्प्यूटिंगकी असमानता , नोगा अलोन और असफ नोर, एसआईएएम जर्नल ऑन कम्प्यूटिंग, 2006 के माध्यम से कट-मानदंड के बारे में ।

यह वास्तव में एक SDP एल्गोरिथ्म है, और यह मुझे लगता है कि सन्निकटन अनुपात 0.56 है, हालांकि मुझे यकीन नहीं है कि अगर पेपर में चर्चा की गई कमी अनुपात संरक्षण है। शायद कागज में एक गहरी नज़र में मदद मिलेगी!

— ह्सियन-चिह चांग h h
स्रोत

Alon-Naor में समस्या समान है, लेकिन मुझे नहीं लगता कि कमी को कम करने का अनुपात है। उनकी समस्या को अधिकतम करने के लिए है जहां और एक मैट्रिक्स है। अधिकतम कटौती और उसके करीबी रिश्तेदारों के लिए यह महत्वपूर्ण है कि

x^{T} M y

$x^TMy$

x, y \in {\pm 1}^{n}

$x, y \in \{\pm 1\}^n$

M

$M$

n \times n

$n \times n$

x = y

$x = y$

— साशो निकोलेव

@SashoNikolov: कट मानदंड के लिए यह स्थिर है, निरंतर कारकों तक, चाहे हम मांग करें या नहीं।

x = y

$x=y$

— डेविड

@ डेविड मुझे यह कमी पता है, लेकिन यह कथन वास्तव में सही है किजहां सभी अधिभूतियां , और nonnegative विकर्ण के साथ सममित है। हालाँकि, समस्या से बहुत भिन्न मान हो सकता है (जो कि हमें MaxCut की आवश्यकता है)। उदाहरण के लिए, पर विचार , जहां है सभी लोगों मैट्रिक्स। आप देख सकते हैं के बारे में है , जबकि है ।

max_{x} | x^{T} M x | \leq max_{x, y} x^{T} M y \leq 4 max_{x} | x^{T} M x |

$\max_x |x^TMx| \leq \max_{x, y}{x^TMy} \leq 4 \max_x |x^TMx|$

{- 1, 1}^{n}

$\{-1, 1\}^n$

M

$M$

max_{x} | x^{T} M x |

$\max_x |x^TMx|$

max_{x} x^{T} M x

$\max_x x^TMx$

M = I - J

$M = I-J$

J

$J$

n \times n

$n\times n$

max_{x} x^{T} M x

$\max_{x}{x^TMx}$

n / 2

$n/2$

max_{x} | x^{T} M x |

$\max_{x}{|x^TMx|}$

n^{2} - n

$n^2 - n$

— साशो निकोलोव

आपकी समस्या में एक द्विघात प्रोग्रामिंग समस्या को कम करके एक लघुगणकीय सन्निकटन है।

MaxQP समस्या एक मैट्रिक्स लिए द्विघात रूप को समाप्‍त करने की समस्‍या है , जहां पर । MaxCut को इस रूप में को सेट करके लिखा जा सकता है, जहां पहचान मैट्रिक्स और आसन्न मैट्रिक्स है। चारीकर और विर्थ का मैक्सक्यूपी एल्गोरिथम मैक्सक्यूपी के लिए एक सन्निकटन देता है जब तक कि एक गैर-नकारात्मक विकर्ण है। इसलिए जब तक , तब तक नकारात्मक भार वाले MaxCut में एक लघुगणकीय सन्निकटन होता है। $x^TMx$ $n \times n$ $M$ $x$ $\{\pm 1\}^n$ $M = \frac{1}{2n}(\sum{w_e})I - \frac{1}{2}A$ $I$ $A$ $O(\log n)$ $M$ $\sum{w_e} \geq 0$

— साशो निकोलोव
स्रोत