रैखिक प्रोग्रामिंग के लिए एक दृढ़ता से बहुपद एल्गोरिथ्म के अस्तित्व का परिणाम है?

Question

एल्गोरिथ्म डिज़ाइन की पवित्र कब्रों में से एक लीनियर प्रोग्रामिंग के लिए एक दृढ़ता से बहुपद एल्गोरिथ्म की खोज कर रहा है , अर्थात, एक एल्गोरिथ्म जिसका रनटाइम चर और बाधाओं की संख्या में एक बहुपद द्वारा बाध्य है और मापदंडों के प्रतिनिधित्व के आकार से स्वतंत्र है (ग्रहण करते हुए) इकाई लागत अंकगणित)। इस प्रश्न को हल करने से रैखिक प्रोग्रामिंग के लिए बेहतर एल्गोरिदम के बाहर निहितार्थ होंगे? उदाहरण के लिए, क्या इस तरह के एल्गोरिथ्म के अस्तित्व / गैर-मौजूदगी का ज्यामिति या जटिलता सिद्धांत के लिए कोई परिणाम होगा?

संपादित करें: शायद मुझे स्पष्ट करना चाहिए कि परिणामों से मेरा क्या मतलब है। मैं गणितीय परिणामों या सशर्त परिणामों की तलाश कर रहा हूं, निहितार्थ जो अब सच होने के लिए जाने जाते हैं । उदाहरण के लिए: "बीएसएस मॉडल में एलपी के लिए एक बहुपद एल्गोरिथ्म बीजगणितीय जटिलता वर्ग FOO और BAR" को अलग / संक्षिप्त कर देगा, या "यदि कोई दृढ़ता से बहुपद एल्गोरिथ्म नहीं है, तो यह पॉलीटॉप्स के बारे में इस तरह के और इस तरह के संकल्प को हल करता है", या "a" समस्या एक्स के लिए दृढ़ता से बहुपद एल्गोरिथ्म जो एक एल.पी. के रूप में तैयार किया जा सकता दिलचस्प परिणाम होता blah "। हिर्श अनुमान एक अच्छा उदाहरण होगा, सिवाय इसके कि यह केवल तभी लागू होता है यदि सिंप्लेक्स बहुपद है।

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यह यह कहे बिना भी जाता है कि इस परिणाम को दिखाने के लिए उपयोग की जाने वाली प्रूफ तकनीक दीर्घकालिक प्रभाव के संदर्भ में परिणाम की तुलना में अधिक दिलचस्प हो सकती है।

— सुरेश वेंकट

Answer 1

इससे पता चलता है कि समानता और औसत-अदायगी के खेल पी। स्वेन शेवे में हैं। पैरिटी और पेऑफ गेम्स से लेकर लीनियर प्रोग्रामिंग तक। एमएफसीएस 2009।

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अति उत्कृष्ट। काश मैं इसे एक से अधिक +1 दे पाता। यह एक बहुत अच्छा परिणाम है।

— सुरेश वेंकट

क्या कोई विस्तृत रूप से बता सकता है कि एलपी के लिए एक बहुपठित बहुपद एल्गोरिथ्म इसका अर्थ क्या होगा? Schewe दोगुनी तेजी से बड़ी संख्या के साथ LP के बहुपद-आकार का उदाहरण बनाता है। ठीक। अब हम उस पर जोरदार बहुपद समय एल्गोरिथ्म चलाते हैं। लेकिन क्या हमें इस एल्गोरिथम को बनाने वाले अंकगणितीय कार्यों को अनुकरण करने की आवश्यकता नहीं है? सुपर-बहुपद समय व्यतीत किए बिना यह अनुकरण कैसे किया जाता है? (संख्याओं को दोगुना घातांक है याद रखें; मुझे लगता है कि कोई चीनी शेष चाल कर सकता है, लेकिन क्या हम संख्याओं की तुलना इस प्रकार बहुपद समय में कर सकते हैं?)।

— स्लिमटन

मैंने अभी तक कागज को ध्यान से नहीं पढ़ा है, लेकिन जैसा कि मैं समझता हूं कि वे केवल समस्या को साबित कर रहे हैं पी में है असली RAM / BSS मॉडल ( en.wikipedia.org/wiki/Blum%E2%80%93Shub%E2 % 80% 93Smale_machine ), पी का सामान्य संस्करण नहीं है। आप किसी भी रिंग आर पर गणना के मॉडल को परिभाषित कर सकते हैं (देखें ams.org/notices/200409/fea-blum.pdf )। Over हमें सामान्य ट्यूरिंग मशीनें मिलती हैं, और reals हमें BSS मॉडल मिलता है। प्रत्येक वलय का P का अपना संस्करण है, जो मानक P के समान नहीं हो सकता है$\mathbb{Z}_2$$\mathbb{R}$

— इयान

मेरी पिछली टिप्पणी का स्पष्टीकरण: यदि एलपी के लिए दृढ़ता से बहुपद एल्गोरिथ्म है, तो यह बीएसएस मॉडल में बहुपद है, इस मामले में पेपर समानता का अर्थ है और बीएसएस मॉडल में भुगतान गेम भी पी में हैं।

— इयान

@ इयान: दूसरे शब्दों में: यह उत्तर थोड़ा भ्रामक था (लेकिन यह आपको मान्य उत्तर के रूप में स्वीकार करने से नहीं रोक सका)।

— स्लिमटन

Answer 2

यह उत्तर पर निर्भर करता है। यदि बनाया गया एल्गोरिथ्म चल रहा है समय , तो इसका बहुत कम प्रभाव होगा। दूसरी ओर, अगर यह एलपी को हल करने के लिए एक नया तरीका है तो इसका जबरदस्त प्रभाव हो सकता है। उदाहरण के लिए, अगर मुझे इतिहास सही ढंग से याद है (और मैं पूरी तरह से गलत हो सकता है ) उदाहरण के लिए दीर्घवृत्ताभ एल्गोरिथ्म, इसके अलावा इसके सैद्धांतिक महत्व, लीड (?) के लिए आंतरिक बिंदु विधि का विकास, जो कुछ मामलों में सरल से तेज था? कलन विधि। यह व्यवहार में महत्वपूर्ण गति को जन्म देता है, क्योंकि दोनों दृष्टिकोणों को अधिकतम सीमा तक निचोड़ा जा सकता है कि क्या किया जा सकता है।$(d n)^{Ackerman(10000)}$

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लेकिन ये स्थितियां किसी भी सैद्धांतिक परिणाम के लिए बहुत अधिक हैं: यह रनटाइम के आधार पर उपयोगी हो सकता है या नहीं भी हो सकता है, और परिणाम में तकनीकों / विचारों से भविष्य में उन्नति हो सकती है।

— इयान

ज़रुरी नहीं। यदि हिर्श अनुमान का कुछ रूप सत्य है, और प्रमाण रचनात्मक है, तो यह लगभग निश्चित रूप से एलपी के लिए तेजी से ठोस को जन्म देगा। संक्षेप में, यदि प्रश्न विशिष्ट है, तो इसके निहितार्थ स्पष्ट हैं, और यदि प्रश्न विस्तृत है, तो इससे कुछ नहीं हो सकता है। या इसे अलग तरीके से रखना, एलपी के लिए बहुपद समय एल्गोरिथ्म का एकमात्र निश्चित परिणाम यह है कि हम इस समस्या को बेहतर समझेंगे जो हम अभी करते हैं।

— सरियल हर-पेलेड

Answer 3

यहां ज्यामिति के लिए एक परिणाम है: सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म के किसी भी प्रकार (यादृच्छिक या निर्धारक) के लिए एक दृढ़ता से-बहुपद। इसका तात्पर्य है कि हिर्श अनुमान का "बहुपद संस्करण" सत्य है।

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लेकिन यह मानने का कोई कारण नहीं है कि एलपी के लिए एक दृढ़ता से बहुपद समय एल्गोरिथ्म को सिम्प्लेक्स विधि से गुजरना पड़ता है। इस प्रकार अब तक ज्ञात सबसे अच्छी विधियाँ (सब-एक्पेंसेन्शियल) एक यादृच्छिक samping + recursion रणनीति का उपयोग करती हैं।

— सुरेश वेंकट

उफ़। मैं चूक गया।

— शिव किंतली

यह केवल तभी धारण करता है जब सिंप्लेक्स दृढ़ता से बहुपद हो। मैं ऐसे परिणामों की तलाश कर रहा हूं जो अधिक आम तौर पर पकड़ में हों। यह हो सकता है कि बहुपद Hirsch अनुमान गलत है, लेकिन एक और एल्गोरिथ्म दृढ़ता से बहुपद है, या बहुपद Hirsch अनुमान सही है, लेकिन सिंप्लेक्स घातीय है, क्योंकि यह बहुपद समय में एक छोटा रास्ता नहीं मिल सकता है।

— इयान

@Suresh: वास्तव में, मैं यकीन है कि subexponential यादृच्छिक नमूना + प्रत्यावर्तन रणनीति आप का उल्लेख कर रहा हूँ (? क्लार्कसन-Matousek-Sharir-Welzl / कलाई, दाएं) है एक दोहरी सिंप्लेक्स एल्गोरिथ्म। (लेकिन यह आपकी बात का खंडन नहीं करता है।)

— जेफ़ '13

अरे रुको। क्या माइकल गोल्डवेसर ने SIGACT लेख में बहुत समय पहले काम नहीं किया था? हम्म। अब मुझे जाने और खुदाई करने की आवश्यकता है।

— सुरेश वेंकट