आर-डोमिनेटिंग सेट के लिए सटीक एल्गोरिदम बाउंडेड ट्रेविदथ ग्राफ पर

Question

एक ग्राफ, यह देखते हुए , मैं एक इष्टतम लगाना चाहते हैं के लिए -domination । यही कारण है, मैं चाहता हूँ एक सबसेट के ऐसी है कि सारे कोने अधिक से अधिक की दूरी पर हैं में कुछ शीर्ष से , के आकार को कम करते हुए ।आर जी एस वी जी आर एस $G = (V, E)$$r$$G$$S$$V$$G$$r$$S$$S$

अब तक मैंने जो भी जाँच की है, उससे मुझे निम्नलिखित मिला: एक ग्राफ में a -केंटर खोजने की इस संबंधित समस्या है जो कि सबसे पर आकार का एक सबसेट है जैसे कि ग्राफ़ में सभी कोने हैं (यहाँ दोनों और इनपुट के कुछ भाग हैं) में कुछ शीर्ष से अधिकतम की दूरी पर जिसके लिए डेमिने एट अल । प्लानर रेखांकन के लिए एक FPT एल्गोरिथ्म है। अन्यथा समस्या , यहां तक ​​कि ।S k r S | एस | ≤ के आर डब्ल्यू [ २ ] आर = $(k,r)$$S$$k$$r$$S$$|S| \leq k$$r$$W[2]$$r = 1$

की सटीक जटिलता के बारे में जाना जाता है कुछ भी है घिरे पेड़ चौड़ाई रेखांकन या बस पेड़ों के लिए -domination समस्या? (क्या -डिमिनेशन MSO निश्चित है? सामान्य -dominating सेट समस्या MSO निश्चित है - जो तब किसी को कोर्टसेल के प्रमेय का उपयोग करने की अनुमति देगा ताकि यह निष्कर्ष निकाला जा सके कि समस्या के लिए एक रैखिक समय एल्गोरिदम है)। क्या इस समस्या के संबंध में कोई सशर्त कठोरता परिणाम ज्ञात हैं?आर $r$$r$$k$

Comments

एक इष्टतम के लिए -domination के लिए एक इष्टतम वर्चस्व है वें शक्ति और इसके विपरीत। तो, पेड़ों के लिए बहुपद समय में -domation समस्या हल हो जाती है और बंधे हुए पेड़ों की चौड़ाई वाले पैटर्न के लिए अधिक सामान्य होती है। जी आर जी आर$r$$G$$r$$G^r$$r$

— vb le

@ मुझे लगता है कि तय हो गया है। लेकिन बाउंड ट्री की चौड़ाई के रेखांकन के लिए -domation समस्या क्यों हल है? इस तरह के रेखांकन की शक्ति में पेड़ की चौड़ाई नहीं है। $r$$r$

— पेंग ओ

हाँ, तय हो गया है, धन्यवाद। हां, में अनबाउंड ट्री-चौड़ाई है, लेकिन बाउंड क्लिक-चौड़ाई (गुरस्की और वेन्के के कारण) और सामान्य वर्चस्व की समस्या एमएसओ के लिए निश्चित है। $r$$G^r$

— vb le

@vble धन्यवाद! क्या आप संदर्भ प्रदान कर सकते हैं और अपनी टिप्पणी का उत्तर दे सकते हैं?

— निखिल

@ निखिल: हो गया।

— vb le

Answer 1

लिए एक (इष्टतम) -डोमिनेशन th शक्ति और इसके विपरीत के लिए एक (इष्टतम) वर्चस्व है ( , अधिकतम पर दूरी के अलग-अलग कोने के बीच नए किनारों को जोड़कर से प्राप्त किया जाता है )।$r$$G$$r$$G^r$$G^r$$G$$r$

निम्नलिखित तथ्यों को अच्छी तरह से जाना जाता है: (1) एक जोरदार कॉर्डल ग्राफ की सभी शक्तियां दृढ़ता से कॉर्डल हैं (ए। ल्युबी, मास्टर थीसिस; यह भी देखें डाहलहौस और ड्यूशेट, जोरदार कॉर्डल ग्राफ पर, एर्स कॉम्बिन। 24 बी (1987) 23-30 ), और (2) वर्चस्व दृढ़ता से कॉर्डल ग्राफ (एम। फार्बर, वर्चस्व, स्वतंत्र वर्चस्व और प्रबलता से राग-द्वेष में द्वंद्व, असतत ताल। मैथ। 7, (1984: 115-130) के लिए रेखीय समय में हल करने योग्य है। इसलिए , विशेष रूप से पेड़ों के लिए विशेष रूप से रागमय रेखांकन के लिए बहुपद समय में -domation हल होता है ( फिक्स्ड या नहीं)।$r$$r$

इस पेपर में Gurski & Wanke ने साबित किया कि की क्लिच -चौड़ाई अधिकतम , जहां के पेड़-चौड़ाई है । इस प्रकार, निश्चित , पेड़-चौड़ाई के रेखांकन की शक्तियों ने क्लिक-चौड़ाई को बांधा है। इसलिए, नियत , कंडिशन बाउंड ट्री-चौड़ाई ग्राफ (कौरसल प्रमेय द्वारा) के लिए बहुपद समय में हल करने योग्य है। $G^r$$2\cdot (r+1)^{\text{tw}(G)+1}−2$$\text{tw}(G)$$G$$r$$r$$r$$r$

Answer 2

इस समस्या के लिए treewidth ग्राफ पर डायनामिक प्रोग्रामिंग करना काफी आसान है। एक बैग में प्रत्येक शीर्ष के लिए रख सकते हैं आंशिक समाधान में कुछ शीर्ष करने के लिए सबसे छोटी दूरी और भविष्य के समाधान के लिए दूरी undominated कोने पर हावी होने की जरूरत है।$k$

यह कुल में की तालिका का आकार देता है, इसलिए निश्चित यह समस्या FPT को treewidth द्वारा मानकीकृत किया गया है, हालाँकि यदि तय नहीं किया गया है तो यह एक XP एल्गोरिथ्म बन जाता है। जहां तक ​​मुझे इस सवाल का पता है कि क्या यह समस्या सभी मूल्यों के लिए एफपीटी है खुला है।$O(r^k)$$r$$r$$r$

Comments

शायद से ? r O ( k $r^k$$r^{O(k)}$

— daniello

Answer 3

डावर और क्रेयटज़र ने दिखाया है कि समस्या ग्राफ़ के घने वर्गों पर निर्धारित-पैरामीटर ट्रैक्टेबल है, जिसमें प्लानर ग्राफ़, बाउंडेड (स्थानीय) ट्री-चौड़ाई के ग्राफ और सभी वर्ग (स्थानीय रूप से बाहर रखे गए नाबालिग) शामिल हैं।

ड्वोरक ने दिखाया है कि बंधे हुए विस्तार की कक्षाओं के लिए एक बहुपद समय निरंतर कारक सन्निकटन है, जिसमें प्लानर रेखांकन, बंधी हुई वृक्ष-चौड़ाई के ग्राफ और बहिष्कृत नाबालिगों के साथ सभी वर्ग शामिल हैं।

Answer 4

ग्लेनकोरा बोर्राडेल, त्रिशंकु ले: ऑप्टिमल डायनामिक प्रोग्राम फॉर आर-डोमिनेशन प्रॉब्लम्स ऑन ट्री डिकम्पोजिशन (आईपीईसी 2016) द्वारा हाल ही में एक पेपर है । यहाँ वे एक एल्गोरिथ्म है कि इनपुट के रूप में दिए गए एक ग्राफ है कि वहाँ दिखाने , एक पूर्णांक , और की ट्री अपघटन चौड़ाई के , एक इष्टतम गणना करता है के सेट -dominating समय में । इसके अलावा, वे बताते हैं कि यह सबसे अच्छा एक कर सकते हैं, तो निम्न अर्थ में है: समय चल रहा है के साथ एक एल्गोरिथ्म के लिए खंडन होता मजबूत घातीय समय परिकल्पना।आर जी डब्ल्यू आर जी ओ ( ( 2 आर + 1 ) डब्ल्यू एन ) ओ ( ( 2 आर + १ - ϵ ) डब्ल्यू एन ओ ( १ ) ) ϵ > $G$$r$$G$$w$$r$$G$$O((2r+1)^wn)$$O((2r+1-\epsilon)^wn^{O(1)})$$\epsilon > 0$

Answer 5

एक रैखिक अनुक्रमिक एल्गोरिथ्म एक पेड़ के लिए एक इष्टतम आर-वर्चस्व की गणना करने के लिए स्लेटर के कारण है:

पी। स्लेटर। रेखांकन में आर-वर्चस्व। जे। एसीएम, २३ (३): ४४६-४५०, जुलाई १ ९ do६. डोई: १०.११४५ / ३२१ ९ ५.3.३१ ९ ६४

एक ही सेटिंग के लिए एक वितरित एल्गोरिथ्म Turau और Köhler के कारण है:

वोल्कर तुराऊ और स्वेन कॉहलर। पेड़ों में न्यूनतम दूरी-के वर्चस्व के लिए एक वितरित एल्गोरिथम। ग्राफ एल्गोरिथ्म और अनुप्रयोगों के जर्नल, 19 (1): 223-242,5 ( http://jgaa.info/getPaper?id=354 देखें )