मीट्रिक ग्राफ में सभी प्रेरित उपसमूह G [S] पर MST (G [S]) को अधिकतम करें

Question

क्या इस समस्या का पहले अध्ययन किया गया है?

मीट्रिक अप्रत्यक्ष ग्राफ़ G (बढ़त की लंबाई त्रिकोण असमानता को संतुष्ट करता है) को देखते हुए, S का एक सेट S का पता लगाएं, जैसे कि MST (G [S]) को अधिकतम किया जाता है, जहाँ MST (G [S]) सबग्राफ द्वारा प्रेरित न्यूनतम फैले हुए वृक्ष है। एस। क्या इस समस्या का पहले अध्ययन किया गया है? क्या यह एनपी-हार्ड है? बहुत बहुत धन्यवाद।

Comments

क्या सिद्धांत या व्यवहार में इस सबग्राफ का सीधा उपयोग है?

— सईद

यदि आप मीट्रिक स्थिति को निकालते हैं, तो क्या यह साबित करना आसान है कि समस्या एनपी-हार्ड है?

— इगोर शिनकर

को ले जाने में सभी वर्टिस होते हैं, जो 0.5- अपरिपक्वेशन देता है । $S$$0.5$

— नील यंग

Answer 1

यह शीर्ष आवरण से कमी द्वारा एनपी-पूर्ण है।

बता दें कि एक ग्राफ है जिसमें एक इष्टतम वर्टेक्स कवर ढूंढना मुश्किल है। जी के प्रत्येक शीर्ष पर एक नया डिग्री-एक शीर्ष संलग्न करके, कई लंबों के साथ एक नया ग्राफ एच बनाएं । H को 1 के बराबर दूरी और 2 के बराबर गैर-आसन्न कोने के बीच की दूरी बनाकर एक मीट्रिक स्थान में बदल दें । इस मीट्रिक स्थान के लिए, एक प्रेरित उपसमूह के न्यूनतम फैले हुए वृक्ष का वजन वर्टिस की संख्या और सबग्राफ माइनस एक के जुड़े घटकों की संख्या के बराबर होता है।$G$$H$$G$$H$$1$$2$

हम यह मान सकते हैं कि सबसे भारी एमएसटी के साथ सबग्राफ में सभी डिग्री-एक कोने शामिल हैं, क्योंकि इनमें से एक कोने को एक उपसमूह में जोड़ने से घटकों की संख्या में कभी कमी नहीं हो सकती है। तो जो उपसमूह बनाने के लिए हटाए गए कोने सबसेट हैं । हम यह भी मान सकते हैं कि ये हटाए गए कोने जी का एक शीर्ष कवर बनाते हैं । के लिए, यदि कुछ अन्य प्रेरित सबग्राफ का निर्माण वर्टिक्स को हटाकर किया जाता है, जो एक वर्टिकल कवर नहीं बनता है, और u v एक किनारा है जो कवर नहीं किया जाता है, तो v को हटाने से एक प्रेरित सबग्राफ बनता है जो कम से कम उतना अच्छा होता है: इसमें एक कम होता है वर्टेक्स लेकिन एच के डिग्री-वन वर्टेक्स द्वारा बनाया गया एक और जुड़ा घटक, जो v से जुड़ा था ।$G$$G$$uv$$v$$H$$v$

तो का इष्टतम उपसमूह से G से एक शीर्ष आवरण को हटाकर बनता है। इस तरह के सबग्राफ में बिल्कुल n घटक होंगे (प्रत्येक डिग्री-वन वर्टेक्स के लिए एक को H से जोड़ा जाता है, या तो स्वयं या G के एक शीर्ष से जुड़ा होता है), और कई वर्टिकल के बराबर 2 n - k जहाँ n = | वी ( जी ) | और k आवरण का आकार है। इस प्रकार, इसके एमएसटी का वजन 3 n - k + 1 होगा । इसे अधिकतम करने के लिए, हमें कश्मीर को न्यूनतम करना होगा।$H$$G$$n$$H$$G$$2n-k$$n=|V(G)|$$k$$3n-k+1$$k$