हिटिंग एक उपपरिवार के साथ सेट करता है

Question

चलो $F$ का परिवार हो $d$एक परिमित ब्रह्मांड के -Smentment सबसेट $U$वस्तुओं की। एक परिवार$H$ का $k$-सीमेंट के सबसेट $U$, साथ में $1 \le k < d$, एक है $(k,d)$- मार-सेट की$F$ अगर प्रत्येक के लिए $V \in F$ कम से कम एक सेट मौजूद है $W \in H$ ऐसा है कि $W \subset V$।

एक संग्रह दिया $F$ ऊपर के रूप में, $(k,d)$- हिटिंग-सेट की समस्या सबसे छोटी है$(k,d)$मार-सेट $H$ के लिये $F$।

कब $k = 1$हमारे पास मानक हिटिंग-सेट समस्या है, और इसके लिए बहुत सारे पिछले परिणाम हैं। मुझे इस मामले के लिए पैरामीटर विश्लेषण का पता है$k = 1$ तथा $d \le 3$( उदाहरण के लिए ब्रानकोविक और फर्नाउ देखें )।

क्या किसी को जटिलता या सन्निकटन की कठोरता के बारे में कोई परिणाम पता है $(k,d)$-हेटिंग-सेट समस्या के साथ:

1. $k = 1$ तथा $d = 4$?
2. $d = 4$ तथा $1 < k < d$?
3. $1 \le k < d$ तथा $d$ मनमाने ढंग से?

Answer 1

एक निरंतर के लिए $d$ $(k,d)$-हेटिंग सेट की समस्या मूल से कठिन नहीं है $d$-हेटिंग सेट (यानी $k=1$) सन्निकटन और पैराट्राइज्ड जटिलता दोनों को देखते हुए। से एक साधारण कमी है$kd$-एचएस को $d$-HS। एक उदाहरण के लिए$(U,\mathcal{F},d,k)$ पहली समस्या से हमें एक उदाहरण मिलता है $(U',\mathcal{F'},d)$ दूसरे तत्व जिसमें प्रत्येक तत्व $e \in U'$ से मेल खाती है $k$-सीमेंट का सबसेट $U$, और प्रत्येक सेट में $\mathcal{F'}$ में एक सेट से मेल खाती है $\mathcal{F}$ उसी तरह (यानी सभी की मैपिंग $k$-सीमेंट के सबसेट $U$ में तत्वों के लिए $U'$)। जबसे$k$ एक निरंतरता है नई आवृत्ति का आकार पहली आवृत्ति के आकार का बहुपद है$O(n^k)$)। पहली समस्या के लिए एक हिटिंग सेट दूसरी समस्या के लिए एक ही कार्डिनैलिटी के एक हिटिंग सेट से मेल खाता है और इसके विपरीत, इसलिए कमी का अनुमान लगाना संरक्षण है।