क्रोमेटिक और वेक्टर क्रोमेटिक संख्या के बीच अंतर के साथ छोटा ग्राफ?

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मैं एक छोटे से ग्राफ के लिए देख रहा हूँ जिसका वेक्टर रंगीन संख्या रंगीन संख्या, से छोटी है । $G$ $\chi_v(G)<\chi(G)$

( वेक्टर रंगीन संख्या है अगर वहाँ एक काम , जहां सहज पड़ोसी कोने के साथ जुड़े वैक्टर में अंतराल है आवश्यकता है। । उदाहरण के लिए, , एक त्रिभुज का वर्जन पर्याप्त है।) $G$ $q$ $x\colon V \rightarrow \mathbf R^d$ $\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)$ $q=3$

एक ग्राफ के वेक्टर रंगीन संख्या कोई रंगीन संख्या से अधिक है: । उदाहरण के साथ रेखांकन के लिए जाने जाते हैं । (मूल पेपर कारगर, मोटवानी, सूडान [जेएसीएम, 45: 246-265] ( पांडुलिपि ) सामान्यीकृत कांसर रेखांकन का सुझाव देता है, हाल ही में एक कागज यादृच्छिक इकाई वैक्टर के आधार पर एक निर्माण का उपयोग करता है।) $\chi_v(G)\leq \chi(G)$ $\chi_v(G)=3$ $\chi(G)=n^\delta$

मुझे लगता है कि मैं एक उदाहरण ग्राफ है के साथ और (कंप्यूटर गणना के आधार पर)। इस ग्राफ में 20 कोने और 90 किनारे हैं। $K$ $\chi_v(K)=4$ $\chi(K)=8$

क्या कोई छोटा उदाहरण है? एक आकर्षक एवेन्यू च्वाटल या ग्रोज्स्च ग्राफ के एक ठोस वेक्टर 3-रंग प्रदान करने के लिए होगा, अगर ऐसा जानवर मौजूद है।

( एक पूर्णांक बनाने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह अच्छा होगा। अपडेट: जैसा कि नीचे बताया गया है, गैर-प्रासंगिक मामला वास्तव में आसान है। धन्यवाद।) $\chi_v$

अपडेट: ग्रोट्ज़स्च और चावतल

मैं वेक्टर 3 के बारे में सोच का विरोध नहीं कर सका- च्वाटल और ग्रॉत्ज़-ग्राफ को रंग देना।

ग्रोत्स ग्राफ 3-रंग का वेक्टर हो सकता है: उत्तरी ध्रुव पर डिग्री पांच नोड डालें। 5 डिग्री -4 नोड्स समान रूप से एक ही अक्षांश पर रखे गए हैं, जो उत्तर से लगभग 77 डिग्री है: पृथ्वी के उत्तरी गोलार्ध पर चित्रित एक पेंटाग्राम की कल्पना करें। शेष 5 नोड्स (डिग्री 3 के) दक्षिणी गोलार्ध पर समाप्त होते हैं, उत्तर से लगभग 135 डिग्री। 5 अन्य लोगों के समान देशांतर है। (जब मेरे पास एक आरेखण मैं अपलोड करूँगा, लेकिन मैंने सोचा था कि यह टीकेजेड में जियोडेसिक लाइनें खींचना कठिन है।)

एक एसडीपी सॉल्वर के अनुसार, शावतल एक वेक्टर 3-रंग भी मानते हैं, लेकिन आउटपुट केवल 5 आयामों में वैक्टर का एक गुच्छा है जो मुझे व्याख्या करने में कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है।

(एक तीसरा प्रयास विफल रहा: यूरी के निर्माण से प्रेरित होकर, 5-चक्र लें और अन्य सभी से सटे एक शीर्ष शीर्ष जोड़ दें। इस ग्राफ में वर्णनात्मक संख्या 4 है। लेकिन मेरे सॉल्वर के अनुसार यह वेक्टर 3-कोलॉएबल नहीं है।)

— थोर हसफेल्ट
स्रोत

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क्या आप वेक्टर क्रोमैटिक नंबर के लिए एक लिंक या एक डीएनएन प्रदान कर सकते हैं?

— सुरेश वेंकट

4

χ_{v} (C_{5}) = \sqrt{5} < 3 = χ (C_{5})

$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5)$

C_{5}

$C_5$

C_{5}

$C_5$

G

$G$

χ_{v} (G) \neq χ (G)

$\chi_v(G) \neq \chi(G)$

7

$\chi_v(G)$ $G=C_5$

χ_{v} (C_{5}) = \sqrt{5} < 3 = χ (C_{5}) . [Lovász]

$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5) . \qquad\text{[Lovász]}$

$\chi_v(G)$ $G_1$ $C_5^{(1)}$ $C_5^{(2)}$ $C_5^{(1)}$ $C_5^{(2)}$ $G_2=K_5$ $G$ $G_1$ $G_2$

\begin{aligned} χ (G) & = max (χ (G_{1}), χ (G_{2})) = χ (G_{1}) = 6. \\ χ_{v} (G) & = max (χ_{v} (G_{1}), χ_{v} (G_{2})) = max (2 \cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{aligned}

$\begin{align*} \chi(G) &= \max(\chi(G_1), \chi(G_2)) = \chi(G_1) = 6.\\ \chi_v(G) &= \max(\chi_v(G_1), \chi_v(G_2)) = \max(2\cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{align*}$

— यूरी
स्रोत

3

यहाँ यह इकाई क्षेत्र पर गॉर्त्ज़ ग्राफ के एक एम्बेडिंग है: यहाँ छवि विवरण दर्ज करें यह स्पष्ट रूप से एक वेक्टर रंग से मेल खाती है; उदाहरण के लिए, उत्तरी ध्रुव पर शीर्ष सदिश (0,0,1) के साथ रंगीन है।

ग्रोस्च ग्राफ में 3 प्रकार के नोड हैं। एक एकल डिग्री 5 नोड्स (उत्तर में)। पांच डिग्री 4 नोड्स (उत्तरी गोलार्ध पर, एन के बराबर, आप उनमें से 3 बना सकते हैं)। पांच डिग्री 3 नोड्स (दक्षिणी गोलार्ध पर, एन के बराबर, आप उनमें से 3 बना सकते हैं)।

एन दक्षिणी गोलार्ध में हरे किनारों के साथ अपने 5 पड़ोसियों से जुड़ा हुआ है। (ध्यान दें कि हरा किनारा ऐसा लगता है जैसे कि यह उत्तरी गोलार्ध में डिग्री 4-कोने पर होता है, लेकिन यह एम्बेडिंग का एक गुण है।)

ऊपर से देखने पर, आप डिग्री 4 नोड्स द्वारा वर्णित पेंटाग्राम को बना सकते हैं , विमान में के 'एम्बेडिंग के समान : $C_5$ यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

अंत में, दक्षिणी ध्रुव के ऊपर से एक दृश्य: यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

यदि मेरी गणनाओं पर विश्वास किया जाए, तो सभी पड़ोसी लंबवत एक दूसरे से 120 डिग्री से अधिक हैं, इसलिए यह एक वैध वेक्टर 3-रंग बनाता है। ग्रोज्स्च ग्राफ 4-क्रोमैटिक है। 11 कोने, 20 किनारे। मैं इस उदाहरण के बारे में विशेष रूप से खुश हूं क्योंकि वेक्टर रंग 3 आयामों में है, आप इसे कल्पना कर सकते हैं। (और KMS ग्राफ रंग एल्गोरिथ्म की व्याख्या करने के लिए यादृच्छिक हाइपरप्लेन ड्रा करें।)

— थोर हसफेल्ट
स्रोत