टाइप-स्पेस में लॉगरिथम या रूट ऑपरेशन क्या है?

मैं हाल ही में कंप्टीशन के दो द्वंद्वों को पढ़ रहा था : नकारात्मक और भिन्नात्मक प्रकार । कागज सम-प्रकार और उत्पाद-प्रकारों पर फैलता है, प्रकारों को शब्दार्थ देता है a - bऔर a/b।

जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक, लघुगणक और मूलक के एक नहीं बल्कि दो विपरीत होते हैं। यदि फ़ंक्शन प्रकार (a → b) टाइप-थ्योरिटिक एक्सपेंसेशन हैं, तो टाइप a → b(या b^a) को टाइप logb(c)या टाइप करने का क्या मतलब है a√c?

क्या यह लघुकारक और जड़ों का विस्तार करने के लिए समझ में आता है?

यदि हां, तो क्या इस क्षेत्र में कोई काम हुआ है, और कुछ अच्छे दिशा-निर्देश क्या हैं?

मैंने तर्क के माध्यम से इस पर जानकारी देखने की कोशिश की, उम्मीद है कि करी-हावर्ड पत्राचार मेरी मदद कर सकता है, लेकिन कोई फायदा नहीं हुआ।

— efrey
स्रोत

जवाबों:

एक प्रकार आधार के लिए एक लघुगणक है के वास्तव में जब । यही है, को द्वारा दिए गए पदों में तत्वों के कंटेनर के रूप में देखा जा सकता है । वास्तव में, यह पूछने की बात है कि को प्राप्त करने के लिए हमें को किस शक्ति उठाना चाहिए । $C$ $X$ $P$ $C \cong P\to X$ $C$ $X$ $P$ $P$ $X$ $C$

यह साथ काम करने के लिए समझ में आता है जहां एक फंक्टर है, जब भी लॉगरिदम मौजूद होता है, जिसका अर्थ $\mathop{log}F$ $F$ । ध्यान दें कि यदि $\mathop{log}\!_X(F\:X)$ , तो हमारे पास निश्चित रूप से $F\:X\cong \mathop{log}F\to X$ , इसलिए कंटेनर हमें इसके तत्वों के अलावा कुछ भी दिलचस्प नहीं बताता है: आकार की पसंद वाले कंटेनरों में लॉगरिदम नहीं होते हैं। $F\:1\cong 1$

जब आप स्थिति सेट के संदर्भ में सोचते हैं तो लॉगरिथम के परिचित कानून समझ में आते हैं

\begin{array}{rcll} l o g (K 1) & = & 0 & no positions in empty container \\ l o g I & = & 1 & container for one, one position \\ l o g (F \times G) & = & l o g F + l o g G & pair of containers, choice of positions \\ l o g (F \cdot G) & = & l o g F \times l o g G & container of containers, pair of positions \end{array}

$\begin{array}{rcl@{\qquad}l} \mathop{log} (\mathop{K}1) &=& 0 & \mbox{no positions in empty container}\\ \mathop{log} I &=& 1 & \mbox{container for one, one position}\\ \mathop{log} (F\times G) &=& \mathop{log}F+\mathop{log}G & \mbox{pair of containers, choice of positions} \\ \mathop{log} (F\cdot G) &=& \mathop{log}F\times\mathop{log}G & \mbox{container of containers, pair of positions} \end{array}$

हम भी हासिल करते हैं $\mathop{log}\!_X(\nu Y. T) = \mu Z. \mathop{log}\!_X T$ $Z=\mathop{log}\!_XY$

l o g S t r e a m = l o g_{X} (ν Y . X \times Y) = μ Z . 1 + Z = N a t

$\mathop{log}\mathop{Stream} = \mathop{log}\!_X(\nu Y. X\times Y) = \mu Z. 1 + Z = \mathop{Nat}$

यह देखते हुए कि व्युत्पन्न हमें एक छेद वाले संदर्भों में प्रकार बताता है और लघुगणक हमें स्थिति बताता है, हमें एक कनेक्शन की उम्मीद करनी चाहिए, और वास्तव में

F 1 ≅ 1 \Rightarrow l o g F ≅ \partial F 1

$F\:1\cong 1 \;\Rightarrow\; \mathop{log}F\cong \partial F\:1$

$\partial F\:1$ $F$

मुझे डर है कि मुझे जड़ों के बारे में कहना कम है, लेकिन एक समान परिभाषा से शुरू हो सकता है और किसी की नाक का अनुसरण कर सकता है। प्रकारों के लघुगणक के अधिक उपयोग के लिए, राल्फ हिंज़ के "मेमो फ़ंक्शंस, पॉलीटीपिकली" की जांच करें। जाना होगा...

— pigworker
स्रोत

इसका जवाब दा मैन ने खुद दिया। आपका स्वागत है कोनोर!

— बाउर

हम्म, मुझे यह देखने में दिलचस्पी है कि मूल प्रकार क्या हैं, क्योंकि उन्हें निवासियों की काल्पनिक संख्या के प्रकारों की आवश्यकता होगी। जब तक मैं गलत हूं। मैं आपके उत्तर को स्वीकार करूंगा, लेकिन यदि आपके पास जड़ों की विस्तृत व्याख्या करने का समय है तो बहुत सराहना की जाएगी।

— एफ्री

क्या यह किसी भी तरह से ln (1 + x) की टेलर श्रृंखला से संबंधित हो सकता है?

— यतिमा २

लघुगणक और घातांक के साथ, मुझे आश्चर्य है ... हमें नेपियर ऑब्जेक्ट बनाने की क्या आवश्यकता है ? (उदाहरण के लिए माना जाता है कि अद्वितीय वस्तु eजैसे ∂e = e)

— Rhymoid

मुझे इस लाइन का अनुसरण करने वाले किसी भी काम का पता नहीं है, लेकिन कुछ ही क्षणों के बारे में सोचा कि मुझे इस परिकल्पना की ओर ले जाना है: घातीय प्रकार की "जड़" सिर्फ कोडोमैन नहीं होगी, और घातांक के "लघुगणक" सिर्फ डोमेन?

— मार्क हमन
स्रोत

ठीक है, इसलिए मुझे लगता है कि आपका अंतर्ज्ञान अच्छा है लेकिन आपका निष्कर्ष बंद है। रूट ऑपरेशन और लॉगरिथम ऑपरेशन वो होते हैं जो आपको क्रमशः कोडोमैन या डोमेन "इनवर्ट" करते हैं, न कि (को) डोमेन के खुद के। सवाल यह है कि हम इनवर्ट से क्या मतलब है और यह बाइनरी टाइप ऑपरेशन क्या है?

— एफ्रे

x^{y}

$x^y$

y

$y$

x

$x$

x

$x$

y

$y$

क्षमा करें, मैं अपनी शब्दावली में पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हूं। मेरे कहने का अर्थ यह नहीं है कि "मूल क्या है, लघुगणक कार्य करने का परिणाम क्या है"। मैं सोच रहा हूं कि रूटिंग का ऑपरेशन क्या है। लघुगणक को खोजने का कार्य क्या है। यदि →एक्सपेन्सेशन है, तो रूट ऑपरेशन के तहत दो प्रकार क्या है। लॉगरिदम ऑपरेशन के तहत दो प्रकार क्या है। "तर्क को पलटना" से मेरा क्या मतलब है, यहाँ समझाने का समय नहीं है। मैं अपने प्रश्न को स्पष्ट करूंगा, धन्यवाद।

— एफ्रे

मैंने जो पेपर जोड़ा है वह टाइप a - bऔर प्रकार के लिए एक शब्दार्थ प्रदान करता है a / b। मैं संचालन लघुगणक और मूल को कम करने के परिणाम से चिंतित नहीं हूं, लेकिन उनके शब्दार्थ को द्विआधारी प्रकार के ऑपरेटरों के रूप में समझने में।

— एफ्रे