उलटा 3-सैट के बारे में

Question

प्रसंग : Kavvadias और Sideri पता चला है कि उलटा 3-सैट समस्या coNP पूरा है: यह देखते हुए पर मॉडल का एक सेट चर, वहाँ एक 3-CNF सूत्र ऐसी है कि मॉडल की अपनी सटीक सेट है? एक तत्काल उम्मीदवार सूत्र उत्पन्न होता है, जो सभी मॉडलों के संयोजन है जो सभी मॉडलों द्वारा में संतुष्ट है ।n ϕ $\phi$$n$$\phi$$\phi$

चूँकि इसमें सभी 3-खंड शामिल हैं, इसका अर्थ है कि यह उम्मीदवार सूत्र आसानी से एक समतुल्य सूत्र में परिवर्तित हो सकता है, जो कि रिज़ॉल्यूशन के तहत 3-बंद है - किसी सूत्र का 3-क्लोज़र संकल्प के साथ इसके बंद होने का सबसेट है केवल आकार 3 या उससे कम के खंड। एक CNF सूत्र संकल्प के तहत बंद सभी संभव resolvents सूत्र का एक खंड द्वारा सम्मिलित कर रहे हैं रहा है - एक खंड एक खंड से सम्मिलित है अगर के सभी शाब्दिक में हैं । सी 1 सी 2 सी 2 सी $F_{\phi}$$c_1$$c_2$$c_2$$c_1$

को देखते हुए , चर का एक आंशिक असाइनमेंट जैसे कि के किसी भी मॉडल का सबसेट नहीं ।मैं $I$$I$$\phi$

कॉल करें , से लागू करने के लिए प्रेरित सूत्र : कोई भी खंड जिसमें शाब्दिक होता है, जो कि अंतर्गत मूल्यांकन करता , सूत्र से हटा दिया जाता है और किसी भी शाब्दिक जो कि तहत मूल्यांकन करता है, हटा दिया जाता है। सभी खंडों से। मैं एफ φ टी आर यू ई मैं च एक एल एस ई $F_{\phi|I}$$I$$F_{\phi}$$true$$I$$false$$I$

कॉल , सूत्र जो से प्राप्त होता है, सभी संभव 3-सीमित संकल्पों (जिसमें रिज़ॉल्वेंट और ऑपरेंड्स में अधिकतम 3 लीटर होते हैं ) और उपखंडों द्वारा। F ϕ | $G_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$

प्रश्न : क्या 3-रिज़ॉल्यूशन के तहत बंद है?$G_{\phi|I}$

Comments

"पी = एनपी"? के एंड एस अंजीर 1 से, "मॉडल" बिटवेक्टर के अनुरूप हैं। इस प्रश्न को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने की आवश्यकता है कि उन मॉडलों का प्रतिनिधित्व कैसे किया जाता है (और शायद संतोषजनक बिटवेटर्स के संदर्भ में यदि विश्राम किया जाता है, तो उत्तर अधिक स्पष्ट होगा?)। यदि समाधानों को बिटवेक्टर के रूप में दर्शाया जाता है, तो कुछ 3SAT सूत्रों के लिए बहुत ही संतोषजनक बिटवेक्टर सूत्र के आकार को प्रदर्शित करते हैं। यह अपेक्षित "आकार में विस्फोट" है। सही? कुछ अन्य कागजात जैसे प्राकृतिक प्रमाण भी सूत्र की "सत्य तालिका" को संदर्भित करते हैं जो कि बिटवॉकरों को संतुष्ट करने में मददगार हो सकती है ....

— vzn

क्या यह स्पष्ट है कि तीसरे चरण की गणना कुशलतापूर्वक की जा सकती है? (Ie, निर्णय लेने से वहाँ एक आंशिक काम मौजूद है या नहीं नहीं में ऐसी है कि खाली खंड शामिल नहीं है।) मैं कुछ याद आ रही किया जाना चाहिए, लेकिन यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है। ϕ F ϕ | $I$$\phi$$F_{\phi |I}$

— डैनियल एपोन

सुधार यह शायद coNP = P से अधिक संबंधित है? या संभवतः coNP = NP? बिल्कुल यकीन नहीं है। वैसे यह मुझे बहुत सारे दोहरेपन की भी याद दिलाता है जहां डीएनएफ के साथ मॉडल का "प्रतिनिधित्व" किया जा सकता है। देख जैसे इस रेफरी Bioch / इबाराकी द्वारा dualization पर

— vzn

@Daniel, IMHO हाँ, तीसरे चरण कुशलता से गणना की जा सकती जब तक चरण 1 और 2 के रूप में कर सकते हैं: में नहीं आंशिक कार्य की सेट के रूप में आकार में घिरा है, यह आसान गणना करने के लिए है ( प्रत्येक के लिए in ) और जाँच करता कि क्या खाली खंड इसमें है। संभव बग चरण 1 के बारे में आएगा (मैंने एक बग देखा था जिसे मैं इसे ठीक करने की कोशिश कर रहा हूं)। एफ ϕ | मैं मैं $\phi$$F_{\phi|I}$$I$$\phi$

— जेवियर लाबॉज

@XavierLabouze: कागज पर एक त्वरित नज़र दी, बस एक ध्यान दें: सबूत कि को बहुपद समय में गणना की जा सकती है वह मेरे लिए बहुत स्पष्ट नहीं है$F_\phi$

— Marzio De Biasi

Answer 1

उत्तर: हां (भले ही ϕ के कुछ मॉडल का सबसेट हूं )$I$$\phi$

चलो खंड के सेट है कि से निकाले जाते हैं एफ φ ∪ एफ φ | मैं हर संभव 3-सीमित प्रस्तावों और subsumptions द्वारा ( आर | मैं के 3-सीमित बंद है एफ φ ∪ एफ φ | मैं )। यह देखते हुए ग एक खंड से गर्भित एफ φ , इसके बारे में कम से कम एक सबसेट मौजूद आर | मैं जिसका खंड सी का मतलब है । नाम R c एक ऐसी सबसेट।$R_{|I}$$F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$$R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$F_{\phi}$$R_{|I}$$c$$R_c$

चलो निम्नलिखित संपत्ति: सभी के लिए ग से गर्भित एफ φ ऐसा है कि | सी | मैं | ≤ 3 ,$P(k)$$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}| \le 3$

ऐसा | आर सी | ≤ के ⇒ सी | मैं कुछ खंड द्वारा सम्मिलित है ∈ जी φ | मैं$[\exists R_c \subseteq R_{|I}$$|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$$\in G_{\phi|I}]$

यहाँ पुनरावृत्ति शुरू होती है। यह देखते हुए से गर्भित एफ φ ऐसा है कि | सी | मैं | ≤ 3 , यानी ग | मैं ∈ की 3-बंद एफ φ | मैं ।$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}|\le 3$$c_{|I} \in$$F_{\phi|I}$

1. । यदि ∃ आर सी ⊆ आर | म / | आर सी | = 1 तो आर सी = { घ } ( घ ∈ एफ φ ∪ एफ φ | मैं subsumes ग ) और ग | मैं द्वारा सम्मिलित है घ | मैं ∈ एफ φ | मैं (ध्यान दें कि एफ ϕ का कोई भी खंड |$k=1$$\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$$R_c=\{d\}$$d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$c_{|I}$$d_{|I} \in F_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$ कुछ खंड द्वारा ग्राहम किया गया है | मैं )। इस प्रकार पी ( 1 ) ।$G_{\phi|I}$$P(1)$

2. मान लीजिए के लिए कश्मीर ≥ 1 । यदि ∃ आर सी ⊆ आर | मैं ऐसा | आर सी | ≤ कश्मीर + 1 (और कोई अन्य आर सी आकार 1 की ऐसी है कि ग ∉ एफ φ और | ग | > 3 ) तो मान लीजिए ग = ( अल्फा बीटा गामा एल मैं ) जहां अल्फा , बीटा $P(k)$$k\ge1$$\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$$|R_{c}|\le k+1$$R_{c}$$c\notin F_{\phi}$$|c|>3$$c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$ द्वारा निर्धारित नहीं शाब्दिक हैं मैं और एल मैं शाब्दिक के एक सबसेट सभी के तहत 0 का मूल्यांकन है मैं ( एल मैं ≠ ∅ ) , यानी ग | मैं = ( अल्फा बीटा γ ) , के साथ अल्फा , बीटा , γ जरूरी अलग नहीं। $\alpha ,\beta ,\gamma$$I$$L_{I}$$I (L_I \neq \varnothing)$$c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\alpha ,\beta ,\gamma$

3. R c से एक क्लॉज निकालें जैसे कि | d i | मैं | < | d i | ≤ 3 , दूसरे शब्दों में, ऐसी है कि में घ मैं से कुछ शाब्दिक शामिल एल मैं (कम से कम एक ऐसी धारा नहीं है आर सी के बाद से एल मैं ≠ ∅ और) | d i | मैं | ≤ २ ।$d_{i}$$R_{c}$$|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$$d_{i}$$L_{I}$$R_{c}$$L_I \neq \varnothing$$|d_{i|I}|\leq 2$

4. शेष सेट के आकार है ≤ कश्मीर । एक निश्चित खंड हैं ग ' = ( अल्फा बीटा गामा एल ' मैं ) द्वारा निहित है आर सी ∖ घ मैं (जहां एल ' मैं शाब्दिक के एक सबसेट सभी के तहत 0 का मूल्यांकन है मैं तो) | c ′ | मैं | = 3 और ∃ आर सी ' = आर सी ∖ $R_{c}\setminus d_{i}$$\le k$$c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$$R_{c}\setminus d_{i}$$L'_{I}$$I$$|c'_{|I}|=3$ ऐसा | आर सी ′ | ≤के। द्वारापी(कश्मीर), ग ' | मैं =(अल्फाबीटागामा)फिर कुछ खंड द्वारा सम्मिलित है∈ जी φ | I ,c केलिएP(k+1)कोप्रेरित करता है।$\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$$|R_{c'}|\le k$$P(k)$$c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\in G_{\phi|I}$$P(k+1)$$c$

5. यदि शामिल ˉ अल्फा या ˉ बीटा या ˉ गामा तो d मैं | मैं [कुछ खंड निर्वाह] सी का अर्थ करने के लिए बेकार हूँ । तो फिर आर सी ∖ घ मैं तात्पर्य ग , उत्प्रेरण पी ( कश्मीर + 1 ) के रूप में पहले से दिखाया गया है।$d_{i|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}$$c$$R_{c}\setminus d_{i}$$c$$P(k+1)$

6. यदि subsumes ग | I तब P ( k + 1 ) c के लिए संतुष्ट है ।$d_{i|I}\in F_{\phi|I}$$c_{|I}$$P(k+1)$$c$

7. यदि नहीं मानती सी | मैं और शामिल नहीं है ˉ अल्फा या ˉ बीटा या ˉ गामा तो या तो d मैं | I = ( x ) या d i | I = ( a x ) या d i | मैं = ( एक्स y ) है, जहां एक्स और वाई ∉ { अल्फा बीटा $d_{i|I}$$c_{|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}=(x)$$d_{i|I}=(ax)$$d_{i|I}=(xy)$$x$$y$ और द्वारा निर्धारित नहीं कर रहे हैं मैं , और एक ∈ { अल्फा बीटा गामा } ।$\notin\{\alpha \beta \gamma \}$$I$$a \in\{\alpha \beta \gamma \}$

   • यदि तो आर सी ∖ घ मैं तात्पर्य ( ˉ एक्स अल्फा बीटा गामा एल मैं ) (याद है कि एक निश्चित खंड जिसका अर्थ सी एक खंड जो subsumes जिसका अर्थ साधन सी )। के साथ किसी भी संकल्प के बाद से घ मैं | I = ( x ) ऑपरेंड के रूप में then x को दूसरे ऑपरेंड से हटाता है तो R c i d i का कोई क्लॉज नहीं$d_{i|I}=(x)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$C$$C$$d_{i|I}=(x)$$\bar{x}$$R_{c}\setminus d_{i}$शामिल (के बाद से आर सी ∖ घ मैं ⊆ आर | मैं जिनमें से 3-सीमित बंद है एफ φ ∪ एफ φ | मैं )। तो फिर आर सी ∖ घ मैं निकलता है ( अल्फा बीटा गामा एल मैं ) , उत्प्रेरण पी ( कश्मीर + 1 ) के रूप में प्वाइंट (4) में दिखाया गया है।$\bar x$$R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • यदि तो आर सी ∖ घ मैं तात्पर्य ( ˉ एक्स अल्फा बीटा गामा एल मैं ) । बदलें ˉ एक्स से एक के प्रत्येक संभव खंड में आर सी ∖ घ मैं (यदि नए खंड में कुछ खंड द्वारा सम्मिलित है आर | मैं , बजाय subsuming खंड रखना वैसे भी, की जगह खंड में है। आर | मैं )। नाम आर $d_{i|I}=(ax)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$a$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{|I}$ जिसके परिणामस्वरूप सेट ( आर सी , d मैं ⊆ आर | मैं )। तो फिर आर सी , d मैं निकलता है(अल्फाबीटागामा एल मैं ), उत्प्रेरणपी(कश्मीर+1)ऊपर के रूप में।$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • यदि तो आर सी ∖ घ मैं तात्पर्य ( ˉ एक्स अल्फा बीटा गामा एल मैं ) और ( ˉ y अल्फा बीटा गामा एल मैं ) । बदलें ˉ एक्स द्वारा y के प्रत्येक संभव खंड में आर सी ∖ घ मैं (ऊपर के रूप में, नए खंड में कुछ खंड द्वारा सम्मिलित किया जाता है, तो आर |$d_{i|I}=(xy)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$y$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$, इसके बजाय निर्वाह उपवाक्य रखें)। नाम जिसके परिणामस्वरूप सेट ( आर सी , d मैं ⊆ आर | मैं )। तो फिर आर सी , d मैं तात्पर्य ( y अल्फा बीटा गामा एल मैं ) । चूंकि यह भी मतलब है ( ˉ y अल्फा बीटा गामा एल मैं ) तो यह विश्लेषक का तात्पर्य ( अल्फा बीटा गामा एल मैं ) , उत्प्रेरण $R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$ ।$P(k+1)$

इस पुनरावृत्ति करके, किसी भी खंड की 3-बंद एफ φ | मैं कुछ खंड द्वारा सम्मिलित है ∈ जी φ | मैं (दूसरी तरह से भी रखती हूं )। फिर जी ϕ | मैं के 3-बंद से मेल खाती है एफ φ | मैं ।$\in$$F_{\phi |I}$$\in G_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$F_{\phi |I}$

Answer 2

मैं यह नहीं देखता कि गणना बहुपद समय में कैसे की जा सकती है क्योंकि रेज़्यूएशन करने का रिज़ॉल्यूशन स्वयं घातीय समय (सबसे खराब स्थिति में) लेता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि आपका उम्मीदवार 3-CNF सूत्र जाने एफ 1 : नीचे के रूप में है एफ 1 : = { { एक , ख , ग } , { घ , ई , ¬ ग } , { एक , ¬ ख , च } , { घ , ई , ¬ च } $F_\phi$$F_1$

$$F_1 := \{ \{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}\}$$ फिर, पर संकल्प का परिणाम सूत्र है एफ 2 नीचे: एफ 2 : = { { एक , ख , ग } , { घ , ई , ¬ ग } , { एक , ¬ ख , च } , { घ , ई , ¬ च } , { एक , ख , घ , ई } $F_1$$F_2$ इस प्रकार, सूत्र एफ φ नीचे के रूप में है: एफ φ : = { { एक , ख , ग } , { घ , ई , ¬ ग } , { एक , ¬ ख , च } , { घ , ई $$F_2 := \{ \{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}, \{a,b,d,e\}, \{a,\neg b, d, e\}, \{a,d,e\}\}$$ $F_\phi$ $$F_\phi :=\{\{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}, \{a,d,e\}\}$$

लेकिन, जैसा कि आप देख सकते हैं, के क्रम में अंतिम खंड प्राप्त करने के लिए आप पहली बार सभी चार शाब्दिक खंड मिलना चाहिए। इसलिए, मुझे संकल्प के लिए तेजी से कई चरणों से छुटकारा पाने का कोई रास्ता नहीं दिख रहा है। दरअसल, कबूतर के सिद्धांत जैसी कुछ समस्याओं के लिए, हम जानते हैं कि रिज़ॉल्यूशन इसे कई चरणों से कम में हल नहीं कर सकता है (लेकिन, निष्पक्ष होने के लिए, जहां तक ​​मुझे पता है, ये उदाहरण 3-सीएनएफ फॉर्म में नहीं हैं और कुछ बुद्धिमान संकल्प हैं जब इनपुट 3-CNF फॉर्म में होने की गारंटी हो तो मौजूद हो सकता है)।$F_\phi$

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$F_1$$\phi$