मान लीजिए कि हमें के रूप में भारित colorings की गणना के द्वारा उचित colorings गिनती की समस्या आराम इस प्रकार है: हर उचित रंग वजन 1 हो जाता है और हर अनुचित रंग वजन हो जाता है जहां ग कुछ स्थिर है और वी किनारों की संख्या अंतिम बिंदुओं के साथ एक ही रंग के होते हैं है। जैसा कि c 0 पर जाता है, इससे उचित रंग गिनती में कमी आती है जो कई ग्राफ़ के लिए कठिन है। जब सी 1 होता है, तो हर रंग एक समान होता है और समस्या तुच्छ होती है। ग्राफ के निकटता मैट्रिक्स से गुणा जब - लॉग ( ग ) / 2 नीचे वर्णक्रमीय त्रिज्या है 1 - ε, यह राशि अभिसरण गारंटी के साथ विश्वास प्रसार द्वारा अनुमानित की जा सकती है, इसलिए यह अभ्यास में आसान है। यह सिद्धांत में भी आसान है क्योंकि एक विशेष संगणना वृक्ष सहसंबंधों के क्षय को प्रदर्शित करता है और इसलिए गारंटी सन्निकटन के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म की अनुमति देता है - तेताली, (2007)
मेरा सवाल है - ग्राफ़ के अन्य गुण स्थानीय एल्गोरिदम के लिए इस समस्या को कठिन बनाते हैं? हार्ड एक अर्थ में केवल एक छोटा सा रेंज कि एस 'को संबोधित किया जा सकता है।
संपादित करें 09/23 : अब तक मैं समस्या के इस वर्ग के लिए दो नियतात्मक बहुपद सन्निकटन एल्गोरिदम (Weitz के STOC2006 कागज के डेरिवेटिव और गैंकर्निक के "गुहा विस्तार" लगभग अनुमानित गिनती के दृष्टिकोण) के लिए आया था, और दोनों दृष्टिकोण स्वयं के शाखा कारक पर निर्भर करते हैं। ग्राफ पर चलने से परहेज। स्पेक्ट्रल त्रिज्या ऊपर आता है क्योंकि यह इस शाखा कारक पर एक ऊपरी बाध्य है। सवाल तब है - क्या यह एक अच्छा अनुमान है? क्या हमारे पास ग्राफ़ का एक अनुक्रम हो सकता है जहां स्व-परहेज वाले पैदल चलने वालों की शाखाएं बंधी हुई हैं, जबकि नियमित रूप से चलने वाली शाखाओं का कारक सीमा से बढ़ता है?
10/06 को संपादित करें : एलन स्ली (FOCS 2010) का यह पत्र प्रासंगिक लगता है ... परिणाम से पता चलता है कि स्वयं से बचने वाले अनंत वृक्षों की शाखाएं उस बिंदु को ठीक से पकड़ लेती हैं जिस पर गिनती कठिन हो जाती है।
संपादित करें 10/31 : एलन सोकल अनुमान ( "मल्टीवेरेट टुट्टे पोलिनोमिया" का p.42 ) कि वहाँ क्रोमैटिक बहुपद के शून्य मुक्त क्षेत्र की त्रिज्या पर ऊपरी सीमा है जो मैक्समैक्सफ़्लो (अधिकतम अधिकतम प्रवाह) के संदर्भ में रैखिक है सभी जोड़े एस, टी)। यह प्रासंगिक लगता है क्योंकि लंबी दूरी की सहसंबंध उचित वर्णक दृष्टिकोण 0 की संख्या के रूप में दिखाई देते हैं।