MALL + अप्रतिबंधित पुनरावर्ती प्रकार ट्यूरिंग-पूर्ण है?

आप इस तरह के Y Combinator या ओमेगा Combinator के रूप में untyped लैम्ब्डा-पथरी में पुनरावर्ती combinators, को देखें, तो:

\begin{array}{lcl} ω & = & (λ x . x x) (λ x . x x) \\ Y & = & λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x)) \end{array}

$\begin{array}{lcl} \omega & = & (\lambda x.\,x\;x)\;(\lambda x.\,x\;x)\\ Y & = & \lambda f.\,(\lambda x.\,f\;(x\;x))\; (\lambda x.\,f\;(x\;x)) \\ \end{array}$ यह स्पष्ट है कि ये सभी कॉम्बिनेटर अपनी परिभाषा में किसी चर का दोहराव करते हैं।

इसके अलावा, इन सभी कॉम्बिनेटरों को बस टाइप किए गए लंबो कैलकुलस में टाइप किया जा सकता है, अगर आप इसे रिकर्सिव टाइप साथ बढ़ाते हैं $\mu\alpha.\,A(\alpha)$ , जहां $\alpha$ को पुनरावर्ती प्रकार में नकारात्मक रूप से होने की अनुमति है।

हालाँकि, यदि आप पूर्ण (ऋणात्मक-घटना) पुनरावर्ती प्रकारों को रैखिक तर्क के विखंडन-मुक्त टुकड़े (यानी, MALL) से जोड़ते हैं, तो क्या होता है?

$!A$

! A ≜ μ α . I & A & (α \otimes α)

$!A \triangleq \mu\alpha.\;I \;\&\; A \;\&\; (\alpha \otimes \alpha)$

क्या यह मामला है कि MALL प्लस अप्रतिबंधित पुनरावर्ती प्रकार अभी भी सामान्य है M

lo.logic pl.programming-languages linear-logic

— नील कृष्णस्वामी
स्रोत

मैं इस दूसरे दिन के बारे में सोच रहा था, और कुछ विचारों के साथ कुछ घंटे बिता रहा था, लेकिन न तो एक पुनरावर्ती मूल्य व्यक्त करने का कोई तरीका खोज सका और न ही खुद को समझा सका कि यह संभव नहीं था। मेरा अंतर्ज्ञान है कि यह नहीं है! मैं हालांकि दूसरी दिशा पर विचार नहीं करता था - यदि आप के लिए परिचय नियम मान लेते हैं! और पुनरावर्ती प्रकार, क्या आपको एक निश्चित-बिंदु कॉम्बिनेटर को परिभाषित करने देता है?

— CA मैक्कैन

मैंने हमेशा सोचा था कि एक -term जिसमें प्रत्येक चर सबसे अधिक बार होता है बस टाइप किए गए टुकड़े में टाइप करने योग्य होता है। तो यह दिखाएगा कि आप एक फ़िक्सपॉइंट कॉम्बिनेटर को परिभाषित नहीं कर सकते हैं जिसमें चर रैखिक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

λ

$\lambda$

— लेडी बाउर

मैं तुम सिर्फ एमएलएल के लिए प्रश्न का उत्तर दिया लगता है, लेकिन additives

कर (linearity तो, कमी दृश्यों में ही घटनाओं का तात्पर्य मोटे तौर पर) चर दोहराया जा करने के लिए अनुमति देते हैं।

A & B

$A & B$

— नील कृष्णस्वामी

यदि योगात्मक कम्यूटेशन को MALL में छोड़ दिया जाता है, तो यह दिखाना आसान है कि प्रत्येक कट-उन्मूलन चरण के साथ एक प्रमाण का आकार घट जाता है। यदि additive कम्यूटेशन की अनुमति है, तो प्रमाण उतना आसान नहीं है, लेकिन यह मूल "रैखिक तर्क" पेपर में प्रदान किया गया था। इसे स्मॉल नॉर्मलाइज़ेशन प्रमेय (कोरोलरी 4.22, p71) कहा जाता है, जो कहता है कि जब तक कॉन्ट्रैक्शन-प्रमोशन नियम शामिल नहीं होता (जो MALL में मामला है) सामान्यीकरण रखता है। तर्क स्वयं सूत्रों पर भरोसा नहीं करता है, वे अनंत हो सकते हैं (उदाहरण के लिए पुनरावर्ती रूप से परिभाषित)।

इसका मतलब है कि इसके लिए प्रकार तरक्की सांकेतिक शब्दों में बदलना संभव नहीं है MALL में, क्योंकि यह फिक्स पॉइंट कॉम्बिनेटरों के लिए अनुमति देगा। उसके लिए कुछ अतिरिक्त पुनरावृत्ति निर्माण की आवश्यकता होगी। $\mu\alpha.\;I \;\&\; A \;\&\; (\alpha \otimes \alpha)$

$\mu$ $!A$

— स्टीफन जिमेनेज़
स्रोत

यह भी ध्यान दें कि सुझाए गए प्रकार का संक्षेप में कागज के पृष्ठ 101 (अंतिम पृष्ठ) पर उल्लेख किया गया है।

— स्टीफन जिमेनेज़