बूलियन सूत्र में संतुलन

मैं बूलियन सूत्र संतुलन की समस्या की जटिलता के संदर्भों की तलाश कर रहा हूं । विशेष रूप से,

क्या यह ज्ञात था कि बूलियन सूत्र में संतुलित हो सकते हैं ? $\mathsf{AC^0}$
क्या बूलियन फॉर्मूला संतुलन का एक सरल प्रमाण है ? $\mathsf{AC^0}$

"सरल" से मेरा मतलब है कि मैं नीचे दिए गए उल्लेख की तुलना में एक प्रमाण सरल हूं, विशेष रूप से मैं एक प्रमाण की तलाश में हूं जो बूलियन फॉर्मूला मूल्यांकन पर निर्भर नहीं करता है जो कि । $\mathsf{NC^1}$

पृष्ठभूमि

यहां सभी उल्लिखित जटिलता वर्ग एक समान हैं।

BFB (बूलियन सूत्र संतुलन):
एक बूलियन सूत्र को देखते हुए , एक समान संतुलित बूलियन सूत्र खोजें। $\varphi$

मुझे इस समस्या की जटिलता में दिलचस्पी है, विशेष रूप से सरल प्रमाणों में यह समस्या दिखाई दे रही है कि (या यहां तक कि या ) है। स्पिरा के लेम्मा पर आधारित सामान्य संतुलन तर्क, फार्मूला ट्री पर बार-बार संरचनात्मक संशोधनों को लागू करते हैं जो केवल । $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB \in \mathsf{NC^2}$

मेरे पास एक प्रमाण है, हालांकि प्रमाण सरल नहीं है और के प्रमाण पर निर्भर करता है । $BFB \in \mathsf{AC^0}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$

BFE (बुलियन फॉर्मूला मूल्यांकन)
एक बूलियन फॉर्मूला और एक सच असाइनमेंट को चर में लिए देखते हुए , क्या संतुष्ट ( ) को संतुष्ट करता है ? $\varphi$ $\tau$ $\varphi$
$\tau$ $\varphi$ $\tau \vDash \varphi$

यह सैम Buss के मशहूर परिणाम से ज्ञात है कि बूलियन सूत्र मूल्यांकन ( ) में की जा सकती (देखें [Buss87] और [BCGR92] )। $BFE$ $\mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime}$

यह इस प्रकार है (काफी आश्चर्यजनक रूप से, कम से कम मेरे लिए) है कि संतुलन बूलियन सूत्रों ( ) में भी है : $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

यह विचार है कि हम के इनपुट गेट्स में को हार्डकोड कर सकते हैं और एक फॉर्मूला बराबर प्राप्त कर सकते हैं और यह में पूरी तरह से वाक्य रचना योग्य है । चूँकि में संतुलित सूत्र हैं, इसलिए हम लिए एक समान संतुलित सूत्र प्राप्त करते हैं । दूसरे शब्दों में, एल्गोरिथ्म है: $\varphi$ $BFE$ $\varphi$ $\mathsf{AC^0}$ $BFE$ $\varphi$

⌜ φ ⌝ \mapsto ⌜ λ \vec{p} . E v a l (⌜ φ ⌝, \vec{p}) ⌝

$\ulcorner \varphi \urcorner \mapsto \ulcorner \lambda \vec{p}. Eval(\ulcorner \varphi \urcorner, \vec{p} )\urcorner$

प्रेरणा

के लिए एक सरल तर्क में किया जा रहा (या या यहाँ तक कि ) का एक नया सरल सबूत देना होगा के बाद से यह देखने के लिए कि आसान है संतुलित BFE के संस्करण में हल किया जा सकता और हम साथ यह रचना कर सकते हैं और परिणाम में होगा । $BFB$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

प्रशन

क्या यह ज्ञात था कि बूलियन सूत्र ( ) में संतुलित हो सकते हैं ? $\mathsf{AC^0}$ $BFB\in \mathsf{AC^1}$
क्या कोई सरल तर्क है (उदाहरण के लिए लिए ( पर निर्भर नहीं ? $BFE\in \mathsf{NC^1}$ $BFB\in\mathsf{AC^0}$

— कावेह
स्रोत

आप "बैलेंस" की किस परिभाषा का उपयोग करते हैं?

— दाना मोशकोविट्ज़

@ दाना, हम कुछ का उपयोग कर सकते हैं जैसे (यानी विशिष्ट स्थिरांक के साथ)। इन्हें भी देखें बोनट और Buss के कागज " आकार गहराई बूलियन सूत्र के लिए दुविधा ", 2002

D e p t h < 10 \lg S i z e + 100

$Depth < 10\lg Size + 100$

D e p t h = O (\lg S i z e)

$Depth = O(\lg Size)$

— कावेह

सहमत "संतुलन" के अवगुण को स्पष्ट किया जाना चाहिए। क्या यह बाइनरी पेड़ों में संतुलन की अवधारणा के समान है? उदाहरण के लिए "स्व संतुलित पेड़"

— vzn

मुझे यकीन नहीं है कि यह बहुत प्रासंगिक है, लेकिन k-Trees में पथ और मिलान के लिए लॉग-स्पेस एल्गोरिदम में (पिछले काम के एक लंबे इतिहास पर निर्माण और विशेष रूप से NC1 और L के द्वारा लिमये-महाजन-राव के आसपास के वर्गों पर हम दिखाते हैं) कैसे लॉगस्पेस में एक पेड़ के लिए पुनरावर्ती संतुलित विभाजक खोजने के लिए। यदि इनपुट ट्री को सीधे स्ट्रिंग प्रतिनिधित्व में दिया गया है, तो यह बाध्य बहुत अच्छी तरह से लिए हो सकता है । $\mathsf{NC}^1$

मूल विचार यह है कि पेड़ को एक कोष्ठक की अभिव्यक्ति के रूप में दर्शाया जाए और इन के लिए संतुलित विभाजक खोजें। ध्यान दें कि हम पत्ती विभाजक पाते हैं, जो उप-पंक्तियों की संख्या को संतुलित करते हैं।

— Samid
स्रोत