एक मोनोटोनिक के न्यूनतम तत्व अधिकार पर निर्भर करते हैं

शक्तियों पर एक मोनोटोनिक विधेय पर विचार करें (समावेशन द्वारा आदेशित)। "मोनोटोनिक" से मेरा मतलब है: जैसे कि , यदि तो । मैं सभी न्यूनतम तत्वों को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म की तलाश कर रहा हूं , अर्थात, तरह के लेकिन , । की चौड़ाई के बाद से है $P$ $2^{|n|}$ $\forall x, y \in 2^{|n|}$ $x \subset y$ $P(x)$ $P(y)$ $P$ $x \in 2^{|n|}$ $P(x)$ $\forall y \subset x$ $\neg P(y)$ $2^{|n|}$ $n \choose n/2$ , घातांक रूप से कई न्यूनतम तत्व हो सकते हैं, और इसलिए इस तरह के एल्गोरिथ्म के चलने का समय सामान्य रूप से घातीय हो सकता है। हालांकि, क्या इस कार्य के लिए एक एल्गोरिथ्म मौजूद हो सकता है जो आउटपुट के आकार में बहुपद है?

[संदर्भ: एक अधिक सामान्य प्रश्न पूछा गया था, लेकिन आउटपुट के आकार में एल्गोरिथ्म की जटिलता का मूल्यांकन करने के लिए उत्तरों में कोई प्रयास नहीं किया गया था। यदि मैं मानता हूं कि उदाहरण के लिए केवल एक न्यूनतम तत्व है, तो मैं इस उत्तर के बाद एक द्विआधारी खोज कर सकता हूं और इसे पा सकता हूं । हालांकि, अगर मैं अधिक न्यूनतम तत्वों को खोजना जारी रखना चाहता हूं, तो मुझे वर्तमान जानकारी को बारे $P$ में एक तरह से बनाए रखना होगा, जो कि पहले से ही ज्ञात समय पर समय बर्बाद किए बिना खोज जारी रखने के लिए इसे ट्रैक करने योग्य बना देगा। क्या ऐसा करना संभव है और उत्पादन के आकार में बहुपद समय में सभी न्यूनतम तत्व मिल सकते हैं?]

आदर्श रूप से, मैं यह समझना चाहूंगा कि क्या यह सामान्य डीएजी के साथ किया जा सकता है, लेकिन मुझे पहले से ही पता नहीं है कि के लिए प्रश्न का उत्तर कैसे दिया जाए $2^{|n|}$ ।

— a3nm
स्रोत

सम्मिलित करने के लिए की शक्तियां एक DAG है ( के विभिन्न भागों के साथ कोने के जोड़ों के बीच और एक किनारों के रूप में जो एक दूसरे में शामिल हैं, केवल रखते हुए इस ग्राफिकल की सकर्मक कमी (ट्रांसड्यूशन द्वारा निहित बेमानी किनारों को हटाने के लिए)। डीएजी की मनमानी के बारे में एक ही सवाल पूछना स्वाभाविक है।

2^{| n |}

$2^{|n|}$

{1, . . ., n}

$\{1, ..., n\}$

— a3nm

आपकी समस्या को सीखने के साहित्य में "सदस्यता प्रश्नों का उपयोग करके मोनोटोन फ़ंक्शन सीखने" के रूप में जाना जाता है। मोनोटोन कार्यों का एक वर्ग जिसके लिए सभी मिन्टरम की पहचान कर सकते हैं, "सदस्यता प्रश्नों का उपयोग करके बहुपद रूप से सीखने योग्य" के रूप में जाना जाता है।

ऐसा लगता है कि एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म का अस्तित्व अभी भी खुला है। श्मुलेविच एट अल। साबित करें कि "लगभग सभी मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शन सदस्यता प्रश्नों का उपयोग करके बहुपद रूप से सीखने योग्य हैं"। अगर हमें यह भी आवश्यकता है कि th minterm को और में बहुपद में उत्पन्न किया जाए , तो समस्या मोनोटोन दोहरेकरण के बराबर है, जैसा कि बायोच और इबाराकी द्वारा दिखाया गया है । यहाँ एक मोनोटोन दोहरीकरण को संबोधित करने वाला सर्वेक्षण है । $t$ $n$ $t$

— युवल फिल्मस
स्रोत

इस अत्यंत उपयोगी उत्तर के लिए धन्यवाद। क्या आप डीएजी (यानी, ईटर एट अल की धारा 5.2 में विशेष मामलों से अधिक) के लिए सामान्यीकरण के बारे में जानते हैं?

— a3nm

नहीं बदकिस्मती से नहीं।

— युवल फिल्मस

ठीक है, मैं इस जवाब को वैसे भी स्वीकार करूंगा। अतिरिक्त टिप्पणियां: (1) यह उत्तर कम्प्यूटेशनल जटिलता के बारे में है, के मूल्यांकन की संख्या में जटिलता नहीं है (देखें cstheory.stackexchange.com/a/14862/4795 इस अंतिम मामले के लिए), और (2) सटीक खुला सवाल है "क्या आप में बहुपद समय में एक मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शन सीख सकते हैं और इसकी मिनिमा और मैक्सिमा की संख्या", बहुपद समय में इसे और मैक्सिमा की संख्या में करने की कोई उम्मीद नहीं है क्योंकि मैक्सिमा की एक रैखिक संख्या हो सकती है लेकिन ऊपर उल्लिखित सर्वेक्षण में मिनीमा की एक घातीय संख्या (सीएफ सेक। 6.1 पैरा 2)।

P

$P$

n

$n$

n

$n$

— a3nm

मेरे अन्य प्रश्न cstheory.stackexchange.com/q/16258/4795 को मनमाने ढंग से DAG के लिए वैश्विक सबसे खराब स्थिति के बारे में जानकारी के लिए देखें।

— a3nm

फिर से मोनोटोन दोहरीकरण (CNF ot → DNF) और DAGs। एक बहुत कुछ लगता है जैसे कि जुकनस बुक बूलियन फंक्शन कॉम्प्लेक्सिटी सेकंड 9.4 से एक प्रमेय । "लोअर

— बाउंड्स