निचले-प्राथमिक पुनरावर्ती कार्यों के लिए जटिलता परिणाम?

Question

प्राथमिक-पुनरावर्ती कार्यों पर क्रिस प्रेसे के दिलचस्प सवाल से प्रेरित होकर , मैं वेब पर इस प्रश्न का उत्तर खोजने के लिए अधिक खोज कर रहा था और असमर्थ था।

प्राथमिक पुनरावर्ती कार्यों घातीय पदानुक्रम के लिए अच्छी तरह से अनुरूप,$\text{DTIME}(2^n) \cup \text{DTIME}(2^{2^n}) \cup \cdots$।

यह परिभाषा से सीधा लगता है कि निर्णय-समस्याएँ (शब्द?) कम-से- अधिशेष कार्यों द्वारा EXP में समाहित होनी चाहिए, और वास्तव में DTIME में$(2^{O(n)})$; इन कार्यों को भी उनके इनपुट लंबाई [1] में रेखीय तारों के उत्पादन के लिए विवश किया जाता है।

लेकिन दूसरी ओर, मुझे कोई स्पष्ट निचली सीमा नहीं दिख रही है; पहली नज़र में यह बोधगम्य लगता है कि LOWER-ELEMENTARY में सख्ती से NP शामिल हो सकता है, या शायद P में कुछ समस्याएँ होने में विफल रहता है, या सबसे अधिक संभावना है कि मैंने अभी तक कल्पना नहीं की है। अगर LOWER-ELEMENTARY = NP है तो यह बहुत ही अच्छा होगा।

तो मेरे सवाल:

1. क्या मेरी समझ अब तक सही है?
2. निम्न प्राथमिक पुनरावर्ती कार्यों को सीमित करने वाली जटिलता वर्गों के बारे में क्या जाना जाता है?
3. (बोनस) क्या पुनरावर्ती कार्यों पर और प्रतिबंध लगाने पर हमारे पास कोई अच्छी जटिलता-श्रेणी के लक्षण हैं? मैं विशेष रूप से प्रतिबंध के बारे में सोच रहा था$\log(x)$-समाप्त योग, जो मुझे लगता है कि बहुपद समय में चलते हैं और रैखिक उत्पादन करते हैं; या निरंतर-बंधे हुए योग, जो मुझे लगता है कि बहुपद समय में चलते हैं और अधिकांश समय लंबाई का उत्पादन करते हैं$n + O(1)$।

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[१]: हम दिखा सकते हैं कि निचले-प्राथमिक कार्य संरचनात्मक प्रेरण द्वारा इन प्रतिबंधों के अधीन हैं, जो उस कार्य को दबाते हैं $h,g_1,\dots,g_m$ जटिलता है $2^{O(n)}$ और बिटलेंथ के आउटपुट $O(n)$ लंबाई के इनपुट पर $n$। कब$f(x) = h(g_1(x),\dots,g_m(x))$, दे रहा है $n := \log x$, से प्रत्येक $g$ लंबाई का उत्पादन किया है $O(n)$, इसलिए $h$ ए है $O(n)$-Length इनपुट (और इसलिए $O(n)$-प्रत्यक्ष उत्पादन); सभी कंप्यूटिंग की जटिलता$g$s है $m2^{O(n)}$ और का $h$ है $2^{O(n)}$, इसलिए $f$ जटिलता है $2^{O(n)}$ और लंबाई का उत्पादन $O(n)$ जैसा दावा किया गया है।

कब $f(x) = \sum_{i=1}^x g(x)$, को $g$s की लंबाई के आउटपुट हैं $O(n)$, इसलिए आउटपुट के योग का मान है $2^n 2^{O(n)} \in 2^{O(n)}$, इसलिए उनकी राशि की लंबाई है $O(n)$। इन मूल्यों को जोड़ने की जटिलता से घिरा हुआ है$2^n$ (योगों की संख्या) बार $O(n)$ (प्रत्येक जोड़ की जटिलता) देना $2^{O(n)}$, और आउटपुट कंप्यूटिंग की जटिलता से घिरा हुआ है $2^{n}$ (अभिकलन की संख्या) बार $2^{O(n)}$ (प्रत्येक की जटिलता), दे रहा है $2^{O(n)}$। इसलिए$f$ जटिलता है $2^{O(n)}$ और लंबाई का उत्पादन $O(n)$ जैसा दावा किया गया है।

Comments

आप जिस विकिपीडिया लेख से जुड़ते हैं, वह बताता है कि निचले-प्राथमिक कार्यों में बहुपद वृद्धि होती है (लेकिन यह कोई संदर्भ नहीं देता है।) यह दर्शाता है कि प्राथमिक कार्यों के साथ पी-पूर्ण समस्या को हल किया जा सकता है या नहीं किया जा सकता है, इसे और कम करने की दिशा में एक अच्छा कदम होगा। यह बंद नहीं होता है, n चरणों के लिए ट्यूरिंग मशीन को अनुकरण करना असंभव लगता है - शायद प्रत्येक राज्य संक्रमण के अनुरूप किसी अन्य बंधी हुई राशि के चरणों की संख्या के अनुरूप एक बंधी हुई राशि?

— क्रिस प्रेसे

@ क्रिस - मेरा अनुमान था कि "बहुपद वृद्धि" आउटपुट में बिट्स की संख्या को दर्शाता है इनपुट में बिट्स की संख्या में रैखिक से अधिक नहीं है। मैं मानता हूं कि सिमुलेशन बहुत प्रशंसनीय लगता है, और बहुपद समय में उल्लेखनीय लगता है (लेकिन इसे सत्यापित करने के लिए कुछ विवरण ले सकते हैं!)।

— usul

क्षमा करें, वह पहला भाग स्पष्ट नहीं हो सकता है, लेकिन यह तब है क्योंकि मूल्य के इनपुट पर $x$ आउटपुट में बहुपद में सबसे अधिक मूल्य है $x$।

— usul

प्रश्न 3 के बारे में: वेरिएंट में निश्चित कार्य $\log(x)$-समय योग सभी जटिलता वर्ग की वर्दी में हैं $\mathsf{TC}^0$। निरंतर बंधे हुए योग के साथ आपको वर्दी का उपवर्ग मिलता है$\mathsf{AC}^0$।

— जन जोहानसन

@ एक्सऑफ मेरा मानना ​​है कि यह सब संक्षेप में है: हम इससे सहमत हैं $1$ सेवा $x$, जहां (के इनपुट पर $n$ बिट्स) $x$ आकार हो सकता है $2^n$, तो हमारा योग होगा $2^n$प्रत्येक समंद का आकार।

— usul

Answer 1

के संबंध में (बोनस) प्रश्न 3: प्रकार में निश्चित कार्य $\log(x)$-समय योग सभी जटिलता वर्ग की वर्दी में हैं $\mathsf{TC}^0$। यह चंद्रा, स्टॉकमेयेर और विस्किन के निर्माण से "कॉन्स्टैंट डेप्थ रिड्यूसबिलिटी", एसआईएएम जे। कॉम्पुट में आता है। 13 (1984) दिखा रहा है कि का योग$n$ किसी की संख्या $n$ बिट्स को poynomial आकार निरंतर गहराई सर्किट द्वारा बहुमत गेट्स के साथ गणना की जा सकती है।

निरंतर बंधे हुए योग के साथ आपको वर्दी का उपवर्ग मिलता है $\mathsf{AC}^0$। लगातार बंधे हुए जोड़ को जोड़कर और रचना के लिए कम किया जा सकता है, और इसके अलावा कैरी-लुकहेड विधि का उपयोग करके लगातार गहराई बूलियन सर्किट द्वारा गणना की जा सकती है।

Answer 2

1. "कम प्राथमिक कार्य EXP में हैं " सही है। वे वास्तव में DPSPACE ( n ) में हैं; उदाहरण के लिए संरचनात्मक प्रेरण से देखा जा सकता है।

2. यह यहाँ दिखाया गया है [1] कि बूलियन संतुष्टि एसटी ग्रेजेर्ग्स्की हायरार्की के सबसे निचले स्तर ई _० में निहित है , जो कि बंधे हुए सारांश के बजाय बंधे हुए पुनरावृत्ति के साथ है।

[१] क्रिस्टियन ग्राज़िया: एनपी प्रेडेटेट्स कम्फ़र्टेबल इन द वेकेस्ट लेवल ऑफ़ ग्रेज़गोरसी (सिक!) पदानुक्रम। ऑटोमेटा, भाषाएँ और संयोजक 9 (2/3) जर्नल : 269-279 (2004)।

मूल विचार द्विआधारी लंबाई के दिए गए सूत्र एन्कोड करने के लिए है n एक पूर्णांक में एन मूल्य का लगभग में घातीय n ; और फिर उक्त N ( n के बजाय ) द्वारा परिबद्ध परिमाणीकरण के संदर्भ में एक संतोषजनक असाइनमेंट के अस्तित्व को व्यक्त करते हैं ।

यह विधि E ₀ से लोअर एलिमेंट्री
(और सैट से QBF _{k के} लिए सामान्यीकृत लेकिन फिक्स्ड k के लिए सामान्यीकृत ) पर ले जाती है।

एनपी (या यहां तक कि उस मामले के लिए भी पी ) को शामिल करने के लिए ई ₀ का मतलब नहीं है , हालांकि, क्योंकि पॉलीटाइम गणना को ई ₂ छोड़ने के लिए जाना जाता है ।