ग्राफ के विशेष वर्गों पर अधिकतम स्वतंत्र सेट के लिए अनुमान एल्गोरिदम

Question

हम जानते हैं कि अधिकतम स्वतंत्र सेट (एमआईएस) के एक पहलू के भीतर अनुमान लगाने के लिए कठिन है किसी के लिए जब तक पी = एनपी। ग्राफ़ के कुछ विशेष वर्ग क्या हैं जिनके लिए बेहतर सन्निकटन एल्गोरिदम ज्ञात हैं?$n^{1-\epsilon}$$\epsilon > 0$

वे रेखांकन क्या हैं जिनके लिए बहुपद-कालिक एल्गोरिदम ज्ञात हैं? मुझे पता है कि यह सही ग्राफ़ के लिए जाना जाता है, लेकिन क्या ग्राफ़ के अन्य दिलचस्प वर्ग हैं?

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इस सवाल का सही (गैर अनुमान) संस्करण: cstheory.stackexchange.com/q/2503/109

— एंड्रास सालेमन

Answer 1

सभी ज्ञात ग्राफ कक्षाओं की वास्तव में भयानक सूची है जिसमें एमआईएस के लिए कुछ nontrivial एल्गोरिदम हैं : ग्राफ कक्षाओं की वेबसाइट में इस प्रविष्टि को देखें ।

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यह सूची विशेष रूप से सटीक एल्गोरिदम के लिए लक्षित है। सन्निकटन पर, प्रमुख वर्ग प्लानर रेखांकन, बंधे हुए जीनस ग्राफ, और एच-माइनर-मुक्त रेखांकन पर पीटीएएस हो सकता है।

— यिकिन काओ

धन्यवाद सुरेश। सूची काफी व्यापक है। सन्निकटन परिणामों के लिए यान को भी धन्यवाद।

— अरिंदम पाल

इसी संदर्भ में हैं: बे्रन्डा एस। बेकर: एनपी-कंप्लीट प्रॉब्लम्स फॉर प्लेजर ग्राफ्स के लिए अप्रत्यक्ष एल्गोरिदम। जे। एसीएम 41 (1): 153-180 (1994); डेविड एपपस्टीन: डायमीटर और ट्रेविदथ माइनर-क्लोज्ड ग्राफ परिवार में। एलगोरिदमिका 27 (3): 275-291 (2000); एरिक डी। डेमेन, मोहम्मद तागी हाजीगाही, केन-इची कवाराबायशी: एलगोरिदमिक ग्राफ़ माइनर थ्योरी: अपघटन, अनुमोदन और रंग। एफओसीएस 2005: 637-646। यह भी देखें: पाठ्यक्रम ।csail.mit.edu / 6.889 / fall11 / lectures / L08.html और courses.csail.mit.edu/6.889/fall11/lectures/L09.html

— क्रिश्चियन सोमवती

Answer 2

मेरे पास इस समस्या का अच्छा अवलोकन नहीं है, लेकिन मैं कुछ उदाहरण दे सकता हूं। एक सरल सन्निकटन एल्गोरिदम नोड्स के कुछ क्रम को खोजने के लिए होगा और लालच से नोड्स का चयन स्वतंत्र सेट में होगा यदि इसके पिछले पड़ोसियों में से किसी को भी स्वतंत्र सेट में चुना गया हो।

ग्राफ अपकर्ष है तो पतन आदेश का उपयोग कर एक दे देंगे $d$$d$ डिजनरिटी मैपेशन देगा। इसलिए अध: पतन के रेखांकन के लिए हमारे पास एक अच्छा पर्याप्त सन्निकटन है।$n^{1-\epsilon}$

सन्निकटन के लिए कुछ अन्य तकनीकें हैं जो काम भी करती हैं, लेकिन मैं उन्हें अच्छी तरह से नहीं जानता। देखें: http://en.wikipedia.org/wiki/Baker%27s_technique और http://courses.engr.illipedia.edu/cs598csc/sp2011/Lectures/lecture_7.pdf

बहुपद एल्गोरिदम के लिए समस्याओं को हल करने के लिए लिंक सुरेश ने सबसे अच्छा दिया है। कौन सा ग्राफक्लास अधिक दिलचस्प है यह कहना मुश्किल है।

उस सूची में आपके द्वारा खोजा गया एक वर्ग -dgenerate रेखांकन का पूरक है । अधिकतम गुट में हल किया जा सकता चूंकि हे ( 2 कश्मीर एन ) अपकर्ष का रेखांकन पर कश्मीर को देखने http://en.wikipedia.org/wiki/Bron%E2%80%93Kerbosch_algorithm विशेष रूप से Eppstein के काम करते हैं। तब स्वतंत्र सेट G पर बहुपद है यदि G के पूरक में अध: पतन O ( लॉग एन ) है ।$k$$O(2^k n)$$k$$O(\log n)$

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जैसा कि मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी ने कहा कि उनके उत्तर में क्यूबिक प्लानर ग्राफ़ उन गैर-परिपूर्ण ग्राफ़ों में से एक हैं जहाँ स्वतंत्र सेट का अनुमान लगाया जा सकता है। सभी प्लानर ग्राफ़ में अधिकाँश भाग 5 में अध: पतन होता है, और जीनस k के रेखांश में अध: पतन O (k) होता है और इसलिए स्वतंत्र सेट का अनुमान लगाया जा सकता है।

— बजे मार्टिन वत्सल 5

Answer 3

क्यूबिक प्लैनर ग्राफ्स की कक्षा के लिए, यह पेपर, एलारबी चौखमैन और जॉन फ्रेंको द्वारा क्यूबिक प्लानर ग्राफ़ में अधिकतम स्वतंत्र सेट समस्या के लिए एक अनुमानित एल्गोरिथ्म, एक बहुपद समय सन्निकटन एल्गोरिदम देता है। उनके एल्गोरिथ्म का सन्निकटन कारक 6/7 है।

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यह पहले से ही बेकर की तकनीक (FOCS'83) से अप्रचलित था, जब यह 1986 में प्रकाशित हुआ था

— डेविड

Answer 4

मैंने ऊपर दिए गए उत्तरों की जाँच नहीं की है, इसलिए यदि कोई ओवरलैप है तो मेरी क्षमा याचना। यहां एक विशेष मामला है जहां आप इसे बहुपद समय में हल कर सकते हैं। यदि आपका ग्राफ जी एक लाइन ग्राफ है , तो रूट ग्राफ एच को खोजने के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म चलाएं , और फिर एच में अधिकतम मिलान ढूंढें।

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रेखा रेखांकन और रेखा रेखांकन दोनों बहुपद हैं और सुरेश वेंकट द्वारा दी गई सूची द्वारा कवर किए गए हैं।

— बजे मार्टिन वात्शेल

Answer 5

ज्यामितीय चौराहे के ग्राफ़ में, कई दिलचस्प सन्निकटन, पीटीएएस और उप-घातीय सटीक एल्गोरिदम हैं। एक सर्वेक्षण के लिए विकिपीडिया लेख अधिकतम विवाद सेट देखें ।