सकारात्मक सामयिक आदेश, 2 लें

Question

यह डेविड एप्पस्टीन के हालिया प्रश्न का अनुवर्ती है और उन्हीं समस्याओं से प्रेरित है।

मान लीजिए कि मेरे पास अपने कोने पर वास्तविक संख्या में वजन के साथ एक डैग है। प्रारंभ में, सभी कोने अचिह्नित हैं। मैं या तो (1) चिह्नित चिह्न के सेट को बदल सकता हूं, जिसमें बिना किसी पूर्व चिन्हित किए पूर्ववर्तियों के साथ एक शीर्ष चिह्नित किया जा सकता है, या (2) बिना किसी चिह्नित उत्तराधिकारियों के साथ एक शीर्ष को चिह्नित कर सकता है। (इस प्रकार, चिह्नित कोने का सेट हमेशा आंशिक क्रम का एक उपसर्ग होता है।) मैं चिह्नित / अचिह्नित संचालन का एक क्रम खोजना चाहता हूं जो सभी लंबित चिह्नों के साथ समाप्त होता है, जैसे कि चिह्नित कोने का कुल वजन हमेशा गैर-नकारात्मक होता है ।

• इस तरह के संचालन का क्रम कितना कठिन है? डेविड की समस्या के विपरीत , यह भी स्पष्ट नहीं है कि यह समस्या एनपी में है; सिद्धांत रूप में (हालांकि मेरे पास कोई उदाहरण नहीं है) हर कानूनी चाल अनुक्रम में घातीय लंबाई हो सकती है। सबसे अच्छा मैं यह साबित कर सकता हूं कि समस्या PSPACE में है।

• क्या अचिह्नित संचालन वास्तव में अनावश्यक है? यदि एक वैध चाल अनुक्रम है, तो क्या एक वैध चाल अनुक्रम होना चाहिए जो कभी भी एक शीर्ष चिह्न नहीं देता है? एक सकारात्मक जवाब इस समस्या को डेविड के समान बना देगा । दूसरी ओर, यदि अचिह्नित करना कभी-कभी आवश्यक होता है, तो एक छोटा (स्थिर आकार) उदाहरण होना चाहिए जो इसे साबित करता है।

Comments

इस पत्र से पता चलता है कि एक शिथिल समस्या से जूझ रहे है PSPACE मुश्किल: arxiv.org/abs/1009.3217

— Jeffε

एक कंकड़ खेल की तरह लगता है: en.wikipedia.org/wiki/Pebble_game ।

— वारेन शूडी

हाल ही में एक कंकड़ कागज: cs.utoronto.ca/~philipp/pages/papers/BWPebbling.pdf । काले कंकड़ का खेल आपके समान है लेकिन उस मध्यवर्ती नोड में भिन्न हो सकता है भले ही एक उत्तराधिकारी चिह्नित हो।

— वॉरेन शूडी

Answer 1

हमारे नियमित 666 शोध संगोष्ठी में हम निम्नलिखित प्रमाण के साथ आए।

हम कुछ परिभाषाओं के साथ शुरू करते हैं। P को हमारा पोसैट होने दें। सादगी के लिए, मान लीजिए कि कोई भी वजन शून्य तक नहीं है। W (x) द्वारा एक शीर्ष के वजन और w (X) द्वारा एक सेट के भार का योग निरूपित करें। हम कहते हैं कि एक सेट X Y-up (बंद) है यदि यह Y में समाहित है और Y का प्रत्येक तत्व जो X के एक तत्व से बड़ा है तो X में भी है। इसी तरह, कहें कि एक सेट X Y- डाउन है यदि यह Y में निहित है और Y का प्रत्येक तत्व जो X के एक तत्व से छोटा है वह भी X में है। इस भाषा में चिह्नित तत्वों का सेट हमेशा पी-डाउन होना चाहिए।

हम विरोधाभास से साबित करते हैं। हर तत्व को चिह्नित करने वाला सबसे छोटा चिह्न / चिह्न अनुक्रम लें। हम ऐसे दृश्यों को पूर्ण कहते हैं। किसी भी बिंदु पर, उन तत्वों के समूह पर विचार करें जो पहले चिन्हित किए गए थे लेकिन अब चिन्हित नहीं हैं। यू द्वारा इस सेट को अस्वीकार करें।

दावा: w (U)> 0।

सबूत: हम साबित करते हैं कि किसी भी यू-अप सेट, एक्स का वजन सकारात्मक है। प्रमाण X के आकार पर प्रेरण द्वारा होता है। यदि कोई X-डाउन सेट है, Y, जैसे कि w (Y)> 0, तो प्रेरण के बाद से हम जानते हैं कि w (X \ Y)> 0 (क्योंकि यह है) एक्स-अप), हमारे पास w (X)> 0 भी है। यदि प्रत्येक X-डाउन सेट के लिए, Y, हमारे पास w (Y) <0 है, तो इस बिंदु तक हटाकर, हमारे अनुक्रम से X के तत्वों के सभी चिह्नों और अचिह्ननों, हमें एक पूर्ण पूर्ण अनुक्रम प्राप्त होता है। हम दावे के प्रमाण के साथ किया जाता है।

अब मान लीजिए कि हमारे पास एक पूर्ण अनुक्रम है जहाँ w (U)> 0 किसी भी बिंदु पर वर्तमान में unmarked तत्वों के सेट U के लिए है। हर तत्व की पहली मार्किंग लेने से जो क्रम हमें प्राप्त होता है, उसे लें और कभी भी किसी चीज को चिन्हित न करें। यह स्पष्ट है कि यह भी एक पूर्ण अनुक्रम संतोषजनक होगा कि चिह्नित तत्वों का सेट हमेशा पी-डाउन होता है। इसके अलावा, वजन का योग हमेशा कम से कम मूल अनुक्रम में होगा क्योंकि किसी भी समय अंतर w (U) है। हमारा हो गया।

इस पद्धति से कोई यह भी साबित कर सकता है कि यदि हम पूरे P को चिन्हित करने के बजाय केवल P का एक उपसमूह चिह्नित करना चाहते हैं, तो इसे चिन्हों के अनुक्रम के साथ किया जा सकता है और उसके बाद चिन्हों का क्रम बनाया जा सकता है। प्रमाण समान है सिवाय इसके कि कुछ तत्व, यू, अनमार्क रहते हैं लेकिन इन्हें अनुक्रम के अंत में ले जाया जा सकता है क्योंकि किसी भी यू-अप सेट का वजन सकारात्मक है।

Comments

वाई-अप और वाई-डाउन की आपकी परिभाषाएं समान हैं। संभवतः Y का एक सबसेट X Y- डाउन है यदि Y का प्रत्येक तत्व जो X के एक तत्व से छोटा है, वह भी X में है।

— जेफ

बहुत ही शांत! उत्तर स्पष्ट हो सकता है यदि पहली पंक्ति में कहा गया है कि आप क्या कथन साबित कर रहे हैं। मैं इकट्ठा करता हूं कि यह एक प्रमाण है कि अनमार्किंग की कभी आवश्यकता नहीं है (यदि आप इसे अनमार्किंग का उपयोग करके हल कर सकते हैं, तो आप एक अनुक्रम पा सकते हैं जो इसे बिना किसी चीज के भी हल करता है)? (और नहीं, उदाहरण के लिए, एक समस्या यह है कि यह समस्या एनपी-हार्ड / पीएसपीईएस-हार्ड है, या एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म है जो यह तय कर सकती है कि क्या ऐसा अंकन अनुक्रम मौजूद है (या इसे ढूंढें)।) इसके अलावा, बाद में प्रदर्शनी में जहां। यह कहता है "किसी भी बिंदु पर", मैं स्पष्ट नहीं हूं कि इसका अर्थ "सभी बिंदुओं पर" या "कुछ बिंदु पर" है; मुझे संदेह है कि आप पूर्व का मतलब है?

— डीडब्ल्यू